专题 概率统计

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1、专题十专题十 概率统计概率统计统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，为人们制定决策提供依据概率 是研究随机现象规律的学科，为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方 法在义务教育的基础上，统计一章进一步介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基 本方法；概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型在必修课程学习统 计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用 统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用概率为统计学的发展 提供了理论基础 101 概概 率率 【知识要点知识要点】 1事件与基本事件空间 随机事件：当我们在同样

2、的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为 不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；在试验中可能发生也 可能不发生的结果称为随机事件，随机事件简称为事件 基本事件与基本事件空间：在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结 果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述，这样的事 件称为基本事件所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间，常用 表示 2频率与概率 频率：在相同的条件 S 下，重复 n 次试验，观察某个事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 的出现次数 m 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例为事件 A 出现的

3、频nm率概率：一般的，在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发生的频率，当 n 很大时总是在nm某个常数附近摆动，随着 n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件 A 的 概率，记做 P(A)显然有 0P(A)1 不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1，随机事件的概率在(0，1)之间 3互斥事件的概率加法公式 事件的并：由事件 A 或 B 至少有一个发生构成的事件 C 称为事件 A 与 B 的并，记做 CAB 互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件 互斥事件加法公式：如果事件 A、B 互斥，则事件 AB 发生的概率等于这两个事件分 别发生的概率和，即 P(AB)P(A

4、)P(B) 如果 A1，A2，An两两互斥，那么事件 A1A2An发生的概率，等于这 n 个事 件分别发生的概率和，即 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件事件 A 的对立事件记作，满足 P()1P(A)AA概率的一般加法公式(选学)：事件 A 和 B 同时发生构成的事件 D，称为事件 A 与 B 的 交(积)，记作 DAB在古典概型中，P(AB)P(A)P(B)P(AB) 4古典概型 古典概型：一次试验有下面两个特征：(1)有限性，在一次试验中可能出现的结果只有 有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性，每

5、个基本事件发生的可能性是均等的，则称这个试验为古典概型 古典概型的性质：对于古典概型，如果试验的 n 个基本事件为 A1，A2，An，则有P(A1A2An)1 且.nAPi1)(概率的古典定义：在古典概型中，如果试验的基本事件总数为 n()，随机事件 A 包含的基本事件数为 n(A)，则 p(A)，即.事事事事事事事事事事事事事事事事事事事A )()()(nAnAP5几何概型 几何概型：一次试验具有这样的特征：事件 A 理解为区域 的一个子区域 A，A 的概 率只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与 A 的位置和形状无关，这样 的试验称为几何概型 几何概型的特点：(1)无限

6、性，一次试验中可能出现的结果有无穷多个；(2)等可能性， 每个基本事件发生的可能性相等几何概型中事件 A 的概率定义：，其中 表示区域 的几何度量，A表AAP)(示子区域 A 的几何度量 随机数：就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会均 等计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法， 可以节约大量的人力物力 【复习要求复习要求】 1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率 的区别； 2了解两个互斥事件的概率加法公式； 3理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发 生的概率；

7、 4了解随机数的意义，了解几何概型的意义 【例题分析例题分析】 例例 1 国家射击队的某队员射击一次，命中 710 环的概率如下表：命中环数10 环9 环8 环7 环 概率0.320.280.180.12 求该队员射击一次， (1)射中 9 环或 10 环的概率； (2)至少命中 8 环的概率； (3)命中不足 8 环的概率 【分析分析】射击运动员一次射击只能命中 1 个环数，命中不同的环数是互斥事件，射中 9 环或 10 环的概率等于射中 9 环与射中 10 环的概率和命中不足 8 环所包含的事件较多，而其对立事件为“至少命中 8 环” ，可先求其对立事件的概率，再通过 P(A)1P()求A

8、解 解：解：设事件“射击一次，命中 k 环”为事件 Ak(kN，k10)，则事件 Ak彼此互斥 (1)记“射击一次，射中 9 环或 10 环”为事件 A，则 P(A)P(A10)P(A9)0.60；(2)记“射击一次，至少命中 8 环”为事件 B，则 P(B)P(A10)P(A9)P(A8)0.78；(3)“射击一次，命中不足 8 环”为事件 B 的对立事件，则P()1P(B)0.22B【评析评析】解决概率问题时，要先分清所求事件由哪些事件组成，分析是否是互斥事件， 再决定用哪个公式当用互斥事件的概率加法公式解题时，要学会不重不漏的将事件拆为 几个互斥事件，要善于用对立事件解题例例 2 现有

9、8 名奥运会志愿者，其中志愿者 A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄 语，C1，C2通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组 (1)求 A1被选中的概率； (2)求 B1和 C1不全被选中的概率【分析分析】本题是一个古典概型的问题，可以直接用概率公式求解)()()(nAnAP解：解：(1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本 事件空间 (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)， (A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A

10、2，B2，C1)，(A2，B2，C2)， (A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)， (A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2) 由 18 个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的 发生是等可能的 用 M 表示“A1恰被选中”这一事件，则 M(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)， (A1，B3，C2)事件 M 由 6 个基本事件组成，因而.31 186)(MP(2)用 N 表示“B1，C1不全被选中”这一事

11、件，则其对立事件表示“B1，C1全被选N中”这一事件，由于(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，事件由 3 个基本事件组成，NN所以，由对立事件的概率公式得.61 183)(NP65 611)(1)(NPNP【评析评析】古典概型解决概率问题时，选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是重 要的一步本题中选定“从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果” 为基本事件空间，计算时采用列举法，也可以利用乘法计数原理计算 33218本题第 一问还可以选定“从通晓日语的 3 人中选出 1 人的可能结果”为基本事件空间，共有 3 个基本事件，选出 A1

12、只有一种可能，故所求概率为.31例例 3 一个口袋中装有大小相同的 2 个红球，3 个黑球和 4 个白球，从口袋中一次摸出 一个球，摸出的球不再放回(1)连续摸球 2 次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率； (2)如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过 3 次的概率 【分析分析】本题是一个古典概型问题，因为基本事件空间中所含基本事件的个数较多，宜 用两个计数原理计数做第二问时，要分为三个事件：“第一次摸到红球” ， “第一次摸到不 是红球，第二次摸到红球” ， “前两次摸到不是红球，第三次摸到红球” ，显然三个事件是互斥事件 解：解：(1)从袋中依次摸出 2 个球共有 9872 种结

13、果，第一次摸出黑球且第二次摸出 白球共有 3412 种结果，所求概率为.61 89431P(2)设“第 i 次时第一次摸出红球”为事件 Ai(i1、2、3)，Ai 彼此互斥，则 P(A1)，92,61 789267)(,367 8927)(32APAP所述概率为 P2P(A1)P(A2)P(A3).127 61 367 92【评析评析】利用古典概率求解时，求基本事件的个数和事件发生的总数时求法要一致，若 无序则都无序，若有序则都有序，分子和分母的标准要相同在求事件个数时常用列举法 (画树状图、列表、坐标系法)，有时也与排列组合联系紧密，计算时灵活多变，但要注意分类 讨论，做到不重不漏例例 4

14、(1)两根相距 6 米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离 都大于 2 米的概率是_ (2)甲乙两人约定在 6 点到 7 点之间在某处会面，并约好先到者等候另一人一刻钟，过 时即可离去则两人能会面的概率是_ (3)正方体内有一个内切球，则在正方体内任取一点，这个点在球内的概率为 _ 【分析分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解分别转化为线段长度、图形面积、几 何体体积问题求解解：解：(1)本题可转化为：“在长为 6m 的线段上随机取点，恰好落在 2m 到 4m 间的概率为多少？”易求得 P；31(2)本题可转化为面积问题：即“阴影部分面积占总面积的多少？” ，解得 P(A)

15、；167(3)本题可转化为体积问题：即“内切球的体积与正方体体积之比是多少？” 解得 P6【评析评析】几何概型也是一种概率模型，它具有等可能性和无限性两个特点解题的关 键是要建立模型，将实际问题转化为几何概率问题基本步骤是：把基本事件空间转化为与之对应的区域 ；把随机事件 A 转化为与之对应的区域 A；利用概率公式 P(A)计)()( A算常用的几何度量包括：长度、面积、体积例例 5 设有关于 x 的一元二次方程 x22axb20 (1)若 a 是从 0，1，2，3 四个数中任取的一个数，b 是从 0，1，2 三个数中任取的一个 数，求上述方程有实根的概率 (2)若 a 是从区间0，3任取的一个数，b 是从区间0，2任取的一个数，求上述方程有 实根的概率 【分析分析】本题第一问是古典概型问题，第二问由于 a、b 在实数区间选取，可以转化为几 何概型问题求解解：解：设事件 A 为“方程 x22axb20 有实根” 当 a0，b0 时，方程 x22axb20 有实根的充要条件为 ab (1)基本事件共 12 个： (0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，