《2010年考研数学强化线性代数讲义(五至七讲)174140》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010年考研数学强化线性代数讲义(五至七讲)174140（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考研资料共享考研资料共享 QQ776597299 新浪共享新浪共享 id：ncut20100930考研资料共享考研资料共享 QQ776597299 新浪共享新浪共享 id：ncut201009308820102010 考研强化班线形代数讲义考研强化班线形代数讲义主讲：主讲：尤承业尤承业欢迎使用新东方在线电子教材欢迎使用新东方在线电子教材第五讲第五讲 线性方程组线性方程组概念部分概念部分一. 线性方程组解的情况的判别即AXnnxxxL2211有解可用表示AXn,21L),(),(2121nnrrLL.)()(ArAr有唯一解.AXnArAr)()(判别其解的情况用三个数:未知数的个数.)(),(
2、,ArArn 无解.)()(ArAr 有唯一解.nArAr)()(当 A 是方阵时,就推出克莱姆法则.) 有无穷多解.nArAr)()(方程的个数 m 虽然在判别公式中没有出现,但它是和的上界,因此)(Ar)(Ar当时, 一定有解.mAr)(AX当时,一定不是唯一解.nm 对于齐次方程组,判别解的情况用两个数: .0AX)(,Arn只有零解 nAr)(考研资料共享考研资料共享 QQ776597299 新浪共享新浪共享 id：ncut20100930考研资料共享考研资料共享 QQ776597299 新浪共享新浪共享 id：ncut2010093089有非零解. nAr)(A 列满秩只有零解.0
3、AX推论 1 当 A 列满秩时, A 在矩阵乘法中有左消去律:.; 00BABCBACAB证明 设，,),(21tBL),(21tAAAABL则. 都是的解. siAABi, 2 , 1, 00Li,21L0AX而 A 列满秩, 只有零解,即.0AX, 2 , 1, 0siiL0B推论 2 如果 A 列满秩,则.)()(BrABr证明 只用证明齐次方程组和同解.(此时矩阵和 的列0ABX0BXABB向量组有相同的线性关系,从而秩相等.)是的解 是的解. 0ABX00BAB0BX二. 线性方程组的通解1. 齐次方程组0AX(1) 解的性质:如果是齐次方程组的一组解,则它们的任何线s,21L0AX
4、性组合也都是解.sscccL2211.0)(22112211ssssAcAcAccccALL(2) 齐次方程组的基础解系和通解如果齐次方程组有非零解,则它的解集 J(全部解的集合)是无穷集,称 J 的每0AX个极大无关组为的基础解系.0AX判别一组向量是的基础解系的条件为s,21L0AX 是的一组解.s,21L0AX 线性无关.s,21L考研资料共享考研资料共享 QQ776597299 新浪共享新浪共享 id：ncut20100930考研资料共享考研资料共享 QQ776597299 新浪共享新浪共享 id：ncut2010093090 的每个解可同线性表示.0AXs,21L于是, 当是的基础解
5、系时:s,21L0AX向量是的解可用线性表示. 0AXs,21L的通解为:0AX, 其中可取任何常数.sscccL2211sccc,21L定理 设有 n 个未知数,则.即它的基础解系中包含解的0AX)()(ArnJr个数为.)(Arns于是“的每个解可同线性表示.”可换成0AXs,21L .)(Arns推论 如果,为的列数(的行数),则.0ABnABnBrAr)()(,则每个都是齐次方程组的解.即),(21sBLi0AX是的部分组。于是s,21LJ)()(),()(21ArnJrrBrsL即.nBrAr)()(2.非齐次方程组AX(1) 非齐次方程组解的性质命题 1 如果是的一组解,则s,21
6、LAX 它们的线性组合也是解的sscccL2211AX.121scccL 它们的线性组合是的解sscccL22110AB.021scccLssssAcAcAccccALL22112211)(考研资料共享考研资料共享 QQ776597299 新浪共享新浪共享 id：ncut20100930考研资料共享考研资料共享 QQ776597299 新浪共享新浪共享 id：ncut2010093091.)(21scccL命题 2 如果是的一个解,0AX则: 向量也是的解是导出齐次方程组的解.AX00AX命题 2 也就是说,也是解是与导出组的一个解的和.00AX(2) 非齐次方程组的通解如果是非齐次方程组的解
7、, 是导出组的基0AXs,21L0AX础解系,则的通解(一般解)为AX, 其中可取任何常数.sscccL22110scccL21例题部分例题部分 一. 概念题例 1 和都是元方程组，判断下列断言的正确性.0AX0BXn(1)和同解.0AX0BX)()(BrAr(2)和同解.0)()(AXBrAr0BX(3) 的解都是的解. 0AX0BX)()(BrAr(4) 的解都是的解.0AX0BX)()(BrAr(5) 的解都是的解.0)()(AXBrAr0BX例 2 设是矩阵,它的列向量组为,则Anmn,21L(A)如果非齐次方程组 有唯一解,则,并且不为 0.AXnm A(B)如果线性相关,则非齐次方
8、程组有无穷多解.n,21LAX(C)总存在维向量 ,使得方程组无解.mAX(D)如果有唯一解, 则.AXnm 例 3 都是非齐次方程组的解,其中,321,AXT) 1, 5 , 0 , 2(1 .则的通解为 . T)3 , 0 , 9 , 1 (323)(ArAX考研资料共享考研资料共享 QQ776597299 新浪共享新浪共享 id：ncut20100930考研资料共享考研资料共享 QQ776597299 新浪共享新浪共享 id：ncut2010093092例 4 设是矩阵,则下列 4 个断言中不正确为( ).A343)(Ar(A) 只有零解. 0AX(B) 有非零解. 0XAT(C)对于任
9、何 3 维向量一定有解. XAT,(D) 对于任何 4 维向量一定有解.AX,例 5 线性方程组的通解可以表示为 021213214321 xxxxxxxx(A) 任意. ccTT,)0 , 1, 1 , 0()0 , 0 , 1, 1 (B) 任意.TTcc)0 , 1, 1 , 0()0 , 2 , 2, 0() 1 , 1 , 1 , 0(21(C) ，任意. )0 , 1, 1 , 0() 1 , 1 , 2 , 1()0 , 1 , 2, 1 (21ccTT21,cc(D) 任意.2121,)0 , 1, 1 , 0()0 , 1 , 2, 1 ()0 , 0 , 1, 1 (ccc
10、cTTT二.计算题(求通解) 二.计算题(求通解) 例例 6 6 齐次方程组AXAX=0 的系数矩阵为1+a 1 1 12 2+a 2 2 A A = 3 3 3+a 3 , n n n n+a a 为什么数时AXAX=0 有非零解?求通解.(04 一)解：当时，显然,有非零时，并且它与0a0A0Ax同解。一个基础解系为：021nxxxL 1001,0101,0011121 MLMMn考研资料共享考研资料共享 QQ776597299 新浪共享新浪共享 id：ncut20100930考研资料共享考研资料共享 QQ776597299 新浪共享新浪共享 id：ncut2010093093同解为任意。
11、11112211,nnncccccLL当时0ananananaanaanannnaaA11111) 1(0002000000111111122221111LLMMLMMMLLLMLMLMMMLLCnn nnannnn1111010) 1(10002001010001LLLMMLMMMLL于是，当即时0121nn nn nnnaL)21 (naL方程组也有非零解，此时000001100021001010001LLMMLMMLLnnnnC向量是一个解，构成基础解系，同解为，任意。Tn), 2 , 1 (Lcc例 7 讨论 p,t 的取值对下面方程组解的影响,并在有无穷多解时求通解.(96 四)考研
12、资料共享考研资料共享 QQ776597299 新浪共享新浪共享 id：ncut20100930考研资料共享考研资料共享 QQ776597299 新浪共享新浪共享 id：ncut2010093094 txxxxxpxxxxxxxxxxx4321432143214321617231462032解：（1） tptpA0104420080022103211110161172346123211 rBtp20100000080022103211当时方程组有无穷多解。时无解。2t2t)()(ArAr（2）时 082pt得的同解方程组 00110000000022101401rBAx 12214432431
13、xxxxxx令得一特解., 043 xxT)0 , 0 , 1 , 1(0与同解0Ax 432431 224 xxxxxx基础解系：，.T)0 , 1 , 2, 4(1T) 1 , 0 , 2, 1(2同解为任意。22110cc21,cc考研资料共享考研资料共享 QQ776597299 新浪共享新浪共享 id：ncut20100930考研资料共享考研资料共享 QQ776597299 新浪共享新浪共享 id：ncut2010093095当时 82 pt 00110000000022101401rB同解方程组 012134241xxxxx特解T)0 , 0 , 1 , 1(0的基础解系,0AxT) 1 , 0 , 2, 1(2同解任意。,20cc例 8 线性方程组的增广矩阵为又已知(1,-1,1,-1)T 是它的一个解. 1004423211211baba A(
