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1、一、数列的极限一、数列的极限一般地：有理函数的极限（只看最高次项） mlmlbamlbnbnbananammmnlln0lim00 1 101 10二、函数的极限二、函数的极限1 1、函数极限的计算、函数极限的计算（1）多项式求极限（直接代入）（2） 趋向定点时有理式求极限（先代入分母，再代入分子） 0)( 0)(0)(0)( )()()()(limlim0 0n0n0 001 101 1000约去零因式xPxPxPxPxPxPxPxP bxbxbaxaxamm mnmnxxmmmnnnxx 趋向无穷时有理式求极限（只看最高次项） mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx0lim 0
2、0 1101102 2、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质有界函数与无穷小的乘积是无穷小.3 3、一些重要的等价无穷小（、一些重要的等价无穷小（）0x)0(1)1 ()0(ln11)1ln(21cos1arctanarcsintansin2是常数xxaaxaxexxxxxxxxxxxxxx4 4、无穷小的等价代换、无穷小的等价代换设 且存在 则 lim limlim5 5、两个重要极限、两个重要极限（1 1） 、第一个重要极限、第一个重要极限 （）1sinlim 0 xxx1tanlim 0 xxx注意：用来保证分子、分母同时0x0上下表达式必须一致（2 2） 、第二个重要极限、第二个重要极限
3、 、 （）exx x )11 (limexxx 10)1 (limenn n )11 (lim注意：用来保证， 底数和指数互为倒数。0x）（01三、函数连续性三、函数连续性设函数f(x)在点x0连续必须满足以下三个条件：(1) f(x)在x0有定义，即f(x0)存在(2) f(x)存在0lim xx(3) f(x)f(x0)0lim xx导数与微分导数与微分一、导数的概念一、导数的概念例例. . 设存在, 求极限)(0xf .2)()(lim000hhxfhxfh解：hhxfxfxfhxfhhxfhxfhh2)()()(lim2)()(lim00000000）).()(221)()()(lim
4、210000000xfxfhhxfxf hxfhxfh ）注：这种题目一般只出填空或选择，我们可以按以下方法解题：这种题目的结果均为：，其中等于)(0xfAA分子中的个数除以分母中的个数。hh二、导数的几何意义二、导数的几何意义曲线yf(x)在点M(x0, y0)处的切线方程切线方程为：)(000xxxfyy法线方程法线方程为：)()(10 00xxxfyy三、复合函数的求导法则（从外到里层层求导，外面求导，里面不变）三、复合函数的求导法则（从外到里层层求导，外面求导，里面不变）定理定理 3 3 若函数在点x处可导, 而在点处可导, 则复合函数在点x处可导, 且)(xgu )(ufy )(xg
5、u )(xgfy 其导数为 或 )()(xgufdxdydxdu dudy dxdy【注】复合函数求导首先要弄清楚它是由哪些基本初等函数复合而成的，即弄清楚复合函数的每一层。四、隐函数的导数（牢记四、隐函数的导数（牢记是是的函数）的函数）yx如方程F(x，y)=0 确定了y=y(x)，只需方程两边对x求导，注意y=y(x)。步骤：（1）方程两边同时对x求导（注意是的函数）yx（2）解出y五、对数求导法五、对数求导法：先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量求导，最后解出所求导数求导，最后解出所求导数. . x六、六、 高阶导数（从低阶到高阶逐
6、阶求导）高阶导数（从低阶到高阶逐阶求导）y(y) f (x)f (x) )(22 dxdy dxd dxyd七、七、 微分微分 dxxfdy)( 导数的应用导数的应用一、洛必达法则一、洛必达法则洛必达法则是一种求极限的非常有效的方法，主要用来求解或的未定式的极限， 以及可以转化为或的00 00 未定式 0 、的极限。近年考察较为简单，主要是考查：直接用洛必达法则或的未定式的极限。00 要求：（要求：（1 1）拿到一个极限题首先就要代入，看是不是未定式，是那种类型的未定式。（2 2）如果是未定式，则可以考虑洛必达法则洛必达法则（洛必达法则（型与型与型未定式）型未定式）00 .)()(lim)()
7、(limxFxf xFxfaxax .)()(lim)()(limxFxf xFxfxx 【注注】 （1 1）有时一次洛必达法则不能得到极限值，而是得到一个未定式，则可以用多次。（2 2）洛必达法则可以和其他求极限方法，尤其是等价代换，混合在一起来用。二、函数的单调性二、函数的单调性：1 1、单调性判别法、单调性判别法设函数在a, b上连续, 在(a, b)内可导.)(xfy (1) 若在(a, b)内, 则函数在a, b上单调增加;0)( xf)(xfy (2) 若在(a, b)内, 则函数在a, b上单调减少.0)( xf)(xfy 步骤：步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求单调增加和单
8、调减少的可能的分界点：导数为零的点（驻点驻点）和导数不存在的点，即：的点和0)( xf不存在的点。)(xf （3）利用上述点去划分定义域，然后在每一个小区间上验证一阶导数的符号，从而确定函数的单调性。三、函数的极值三、函数的极值 1 1、第一充分条件、第一充分条件设函数f(x)在点x0的一个邻域内连续 在x0的左右邻域内可导 (1) 如果在x0的某一左邻域内f (x)0 在x0的某一右邻域内f (x)0 那么函数f(x)在x0处取得极大值 (2) 如果在x0的某一左邻域内f (x)0 在x0的某一右邻域内f (x)0 那么函数f(x)在x0处取得极小值 (3)如果在x0的某一邻域内f (x)不
9、改变符号 那么函数f(x)在x0处没有极值 求函数的极值点和极值的步骤求函数的极值点和极值的步骤(1) 确定函数的定义域;)(xf(2) 求可能的极值点：求其导数，解方程求出的全部驻点与不可导点;)(xf 0)( xf)(xf(3) 讨论在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点;)(xf (4) 求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极值.)(xf2 2、第二种充分条件、第二种充分条件 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)0 f (x0)0 那么(1) 当f (x0)0 时 函数f(x)在x0处取得极大值 (1) 当f (x0)0 时 函数f(x)在x0处取
10、得极小值 四、函数的最大值和最小值四、函数的最大值和最小值求函数在上的最大（小）值的步骤如下：,ba（1）计算函数在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就是最大值，最)(xf),(af)(bf小的就是最小值；（函数的最大值在极值点和端点取得）（函数的最大值在极值点和端点取得）（2）对于闭区间上的连续函数，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，,ba)(xf则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.五、曲线的凹凸性五、曲线的凹凸性：设在a, b上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数,则)(xf(1) 若在(a, b)内，则在a, b上的图
11、形是凹的;, 0)( xf)(xf(2) 若在(a, b)内，则在a, b上的图形是凸的., 0)( xf)(xf连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点拐点判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为：(1) 求函数的二阶导数；)(xf (2) 令，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；0)( xf(3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点.)(xf 不定积分不定积分一、不定积分一、不定积分1 1、原函数、原函数如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一xI,都有F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx那么函数F F
12、( (x x) ) 就称为就称为f f( (x x) ) ( (或或f f( (x x) )dxdx) ) 在区间在区间I I上的一个原函数上的一个原函数2 2、不定积分的定义、不定积分的定义在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分不定积分,记作 dxxf)(3 3、不定积分的性质、不定积分的性质性质性质 1 1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和,即dxxgdxxfdxxgxf)()()()(性质性质 2 2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即: (k是常数,k dxxfkdxxkf)()(0)
13、二、换元积分法二、换元积分法1 1、第一换元法（凑微分法）、第一换元法（凑微分法）（1 1） 、直接凑、直接凑要求不定积分，首先考虑能否用公式，即能否直接用公式，基本公式中没有相同的，就找相近的公式如果有相近的，就用直接凑。特点：特点：能在积分基本公式中找到相近的积分公式【注注】 积分公式的特点是三个一致，即被积函数、积分变量和积分结果中都是，是一致的，而所求积分中被积x函数和积分变量往往是不一致的，所以做题时要凑成一致的。（2 2） 、间接凑、间接凑间接凑就是不定积分本身在积分公式中找不上相同或相近的，但是通过凑微分，变形，可以凑成形式上和公式相同的，从而利用性质和公式来解决问题的方法。其本
14、质就是先凑微分，再凑公式。特点特点：被积函数中含有导数关系。2 2、第二类换元法（目的是为了去掉被积函数中的根号）、第二类换元法（目的是为了去掉被积函数中的根号）（1 1） 、根式换元、根式换元特点：被积函数中含一般根式，直接换元，根号是谁就换谁特点：被积函数中含一般根式，直接换元，根号是谁就换谁三、分部积分法三、分部积分法分布积分法主要用来求解函数乘积的不定积分，当被积函数是两个函数的乘积，而又没有导数关系时，考虑分部积分法。1 1、分部积分法原则、分部积分法原则vduuvudvvdxuuvdxvu分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算.2 2、的确定原则的确定原则, u从
15、上面例子可以看出，的确定是进行分部积分的关键，一般情况下有以下法则：, u指三幂对反，前为指三幂对反，前为后为后为；与与结合变为结合变为udxdv【注】 （1）有时用一次分部积分不能得到最后结果，需要用多次。（2）有时通过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分。（3）有时被积函数只是一个函数，也可以用分部积分。定积分定积分一、定积分的概念一、定积分的概念（本质是和式的极限）（本质是和式的极限）设在上有界，经过（1）大化小.（2）常代变 （3）近似和（4）取极限得到)(xf,ba， niiibaxfIdxxf10)(lim)( 二、积分上限函数的导数二、积分上限函数的导数变上限积分主要考查它的求导性质，考试时遇
