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1、“可化为一元二次方程的分式方程”的教学设计及设计理念课 题：可化为一元二次方程的分式方程(一)课 型：新授课数学目的：1、掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母或换元法求分式方程的解；2、知道解分式方程可能产生增根，并会检验；3、通过把某些分式方程转化为一元二次方程的过程，使学生认识到事物的变化及其联系，以及把“未知”转化为“已知”的方法；进一步认识转化的思想方法，并提高学生的分析问题和解决问题的能力；4、引导学生积极参与教学活动，在数学学习活动中获得成功的体验。教学重点：掌握由分式方程转化为一元二次方程的基本方法。教学难点：解分式方程中的检验及转化的思想方法。教学方法：激思导探合
2、作教学法教学过程：设疑引入1、问题：一同学到邮局买了两种信封，共 30 个，其中买A 种信封用了 1 元 5 角，买 B 种信封用了 1 元 2 角，B 种信封每个比 A 种信封便宜 2 分，两种信封的单价各是多少？分析：要解决这个问题，不如设 B 种信封每个 x 分，那么A* 本教案为作者所上示范课的课例设计。种信封每个(x+2)分，A 种信封买了个，B 种信封买了2150 x个，两个信封一共买 30 个，由此，得+=30.x120 2150 xx1202、提问：这是个什么方程？生：分式方程师：什么是分式方程生：答师：板书分式方程的定义3、回味旧知：解下列方程：(学生板演)x2-3x+2=0
3、； (x+=3，)x2x2-2x-1=0； (；)2112 xxx2+3x-4=0； (；)133 ) 1)(1(6xxxx2-9x+18=0； (；)21 41 23522 xxxx.022 44 212xxx x注意：要预留出二行？供以下解分式方程之用。议论趋势教师点评习题，重点研究第 5 题，并小结解这类方程的步骤(学生口述，教师补充完整，并出示投影)。去分母(方程两边都乘以最简公分母)，化为一元一次方程；解一元二次方程；检验(代入最简公分母)，舍去增根，得到原分式方程的根。引导探索1、师：你会解下列方程吗？试试看。解方程： 122 44 212xxx x注意：把该题目写在“回味旧知”解
4、方程 x2-3x+2=0 的正上方，并预留一行。生：将方程两边都乘以(x+2)(x-2)，得(x-2)+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)整理，得 x2-3x+2=0.注意：检验过程2、让学生注意观察两个分式方程与122 44 212xxx x解法的比较，论这两个题目和解题过程022 44 212xxx x的相同点和不同点。生：相同点它们都是分式方程；解题的基本思想都是方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；它们都有可能产生增根，因此必须验根。不同点：化为整式方程一个是一元一次方程，另一个是一元二次方程。师：这就是我们今天要和同学们研究的内容可化为一元二次方程的分式方程(出示课题)。3、
5、你会解下列分式方程吗？看谁解得又对又快。， ；2112 xx113 ) 1)(1(6xxx.21 41 23522 xxxx注意：把分别写在“回味旧知”的的正方上，并预留一行。4、小结：通过上述题组练习，让学生体验并小结，掌握解分式方程的两个关键步骤：正确找出最简公分母；检验。5、讨论：解分式方程时，为什么要检验？为什么要检验？这是因为用同一个含有未知数的整式(各分式的最简公分母)去求方程的两边，约去分母，化为整式方程，这样得到的整式方程的解有时与原方程的解相同，(当最简公分母不为 0 时)，但也有时与原方程的解不同(当最简公分母为零时)，这样就扩大了未知数的取值，因而要检验。检验的方法：一是
6、直接将求得的解代入原方程中去，看是否是原方程的根，这种方法不但可以检验出增根，而是还可以发现在解题过程中是否发生计算和变形等错误。二是把求得的根代入到原分式方程的最简公分母，或去分母的最简公因式，当其值为零时，即为增根，不为零时，即为原方程的根，但这种检验法不能发现解题过程中的计算或变形等错误。6、换元法：例题：解方程.71) 1(6 1) 1(222 xx xx(学生观察思考讨论，教师点拨引导)分析：去分母，方程两边同乘以最简公分母(x+1)(x2+1)，约去分母，得 2(x2-1)(x2+1)+6(x+1)(x+1)(x2+1)=7(x+1)(x2+1)，在这个方程中，有关于 x2的四次项
7、、三次项，目前解这个方程有困难。若把整个看作一个未知数，即设=y，则112 xx 112 xx，这样就可以把原方程化为一个较简单的关于 y 的整yxx1 112式方程。解这个关于 y 的方程，求出 y 的值，再通过=y，112 xx求出 x 的值。解：设=y，那么，于是方程变形为112 xx yxx1 1122y+=7.y6方程两边同乘以 y，约去分母，得2y2-7y+6=0解这个方程，得 y1=2，y2=.23当 y=2 时，=2，去分母，整理得112 xxx2-2x-1=0x=21282当 y=时，=，去分母，整理得23 112 xx 232x2-3x-1=0x=.4173检验：把 x=，
8、x=分别代入原方程的分母，各214173分母都不等于 0，所以它们都是原方程的根。原方程的根是：x1=，x2=2121x3=，x4=4173 4173教师小结：在解分式方程时，首先应从整体上去观察、分析方程的特点，然后确定解题的方案。如果是一个较复杂的方程，而方程中的分式又有一定特点，那么就可以用设辅助元的方法，把它转化为一个简单的方程，再解这个方程，这种方法在以前已学过，称为换元法。换元法是数学中常用的方法之一，它具有化难为易，化繁为简之效。练习：通过题组练习，深化换元思想方法。；0615)1(2xx xx；2121222 xx xxx2+4x-.21442 xx(学生口答，教师板书)解：设
9、元 转化 新方程设 y2-5y-6=0.yxx1设 y+=-2yxx122y1设 x2+4x=y y-214y或设 x2+4x+1=y y-=3y4师：通过本例可引导学生讨论,并归纳用换元法解分式方程的步骤.观察、分析方程的特点，探索换元的途径；设辅助未知数；用辅助未知数的代数式表示原方程中含有未知数的式子，把原方程化为只含有辅助未知数的方程；解含有辅助未知数的方程，求出辅助未知数的值；把辅助未知数的值代入原设辅助未知数的方程，求出原未知数的值；验根，并作答。师：小结在用换元法时，应根据给出的方程特点，设辅助元。有关换元的应用，在下节课和后面学习中还要进步深入研究。归纳结论本课主要研究如何解可
10、化为一元二次方程的分式方程。1、解分式方程的实质是一个转化过程，体现了化未知为已知的数学思想方法。(1)一般的分式方程可以直接通过去分母转化成一元一次方程或一元二次方程(出示投影)去分母(2)某些较复杂的并有一定特点的分式方程可以利用换元法先转化成一个较为简单的方程，再解方程(出示投影)换元(3)有理方程分式方程换元化去分母转一元高次方程转化一元二次方程一元一次方程整式方程)2() 1 (2、转化的关键：一是求出分式方程中各分母的最简公分母，化分式方程为整式方程；二是根据分式方程自身的“式结构”特点巧妙换元，实施转化策略。3、由分式方程转化为整式方程，可能产生增根，故必须检验，注意检验的方法。
11、总之，数学的学习过程就是一个不断地把尚待解决的问题转化为已经解决的问题，把一个复杂的问题，转化为一个比较简单分式方程一元一次方程 或一元二次方程 程某些较复杂的 分式方程较简单的方程的问题，从而使所要研究的问题得到解决。练习反馈1、回归“情境引入” ，对“问题”作出完整的解答，为下节课“可化为一元二次方程的分式方程(二)“打下伏笔” 。2、学生板演：课本 P49，练习 1，2；课本 P50，A 组 1，；评价小结1、评价：解分式方程的思想；解分式方程为什么会产生增根。2、延伸：m 为何值时，用去分母的方法解关于 x 的方程会产生增根？xxxm115 1解：将方程两边同乘以(x+1)，得m=15
12、-x(x+1) 由于解方程产生增根，而且增根必定使 x+1=0，所以增根就是 x=-1由于增根是由方程解得的，所以增根 x=-1 应满足方程把 x=-1 代入方程，得 m=15.当 m=15 时，原方程会产生增根.说明：解分式方程如果产生增根，这个增根一定使各分式的最简公分母为 0；当 m=15 时，解本例中方程会产生增根 x=-1，但同时，本例中方程也有一个根为 x=0，因此，分式方程有增根并不能说明分式方程没有实数根.布置作业：课本 P50 题 A 组：2、3本教案设计理念：让学生积极参与和有效参与教学活动参与有两个难度：积极参与和有效参与。积极参与是个情感问题，有效参与是个认知问题。教学
13、过程既是认知过程，又是情感过程，在这个过程中，认知与情感相伴相随，相辅相成。因此说，积极参与和有效参与二者缺一不可。一、积极参与是学生自主学习的前提积极参与是在培养学生良好的情感，态度与人际关系智力。学生从情感上愿意不愿意参与数学，可以说是衡量自主学习的标准。从情感上愿意学习就是积极学习，积极的情绪状态下学习效果最佳。因此，积极参与是学生自主学习的前提。积极参与有三种表现：1、情绪饱满 学生的参与应该是积极的、活跃的，主动的，而不是被迫的参与。学生在课堂教学中的这种积极的情绪状态主要表现为浓厚的学习兴趣与高昂的学习热情。本课例的问题引入中给出学生最为熟悉的生活事实，让学生用原有的知识去探求解决
14、，学生主动参与成为可能。在复习旧知的题组中，给出了“可化为一元一次方程的分式方程”和“一元二次方程”的解法，后面紧接着提供了“可化为一元二次方程的分式方程”的解决，设计成“转化”与“解决”一脉相承，引发了学生探求新知的欲望，使学生的主动、积极的参与成为现实。教师又引导学生探求“可化为一元一次方程的分式方程”与“可化为一元二次方程的分式方程”的解法又何异同，这样的设计使学生的自主性得到充分的发挥，整个的学习过程是学生在情绪论饱满的状态下，自我确定目标，自已寻找方法，主动学习的过程。因此使学生情绪饱满的学习是保证自主学习很重要的一个因素。2、交往互动 要让学生积极参与，就应该为学生提供更广阔的交往
15、空间，使学生在主动的交往中获得知识和体验，这种交往应该是多向式、交互式的，既有师生的交往，又是生生的交往。这种师生与生生间的多向交往既能满足学生的求知欲，又能发挥学生的主观能动性，还能提高学生的智力活动水平。这些理念正是“激思导探合作教学法”所要提倡的使学生在合作与交往的氛围中发展自已，成长自已。教者在激发学生每用一种方法去解分式方程时，都要求学生反思解题的方法步骤，反思解题思想策略，在这些过程中，首先是引导学生组内交流，然后是同桌交流，以及不定向交流，给学生提供了自主的空间，营造了交往互动的氛围，培养了在合作之中求竞争的意识。3、参与面广 绝大多数学生都能参与数学，而不是少数学生，这一点非常重要。素质教育强调面向全体，如果课堂上只有少数学生参与，那就不是素质教育。本课例在复习旧知中要求学生解的 5 个方程，都是学生熟悉的，现有能力能够达到的。因此，学生的参与是全面的；在探求分式方程的解法时，教者事先设计出了四个分式方程，经转化后都可以变为“复习旧知”的四个一元二次方程，灵活而巧妙，独具匠心，
