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1、求不定积分的方法及技巧小汇总求不定积分的方法及技巧小汇总1.利用基本公式。 （这就不多说了） 2.第一类换元法。 （凑微分） 设 f()具有原函数 F()。则CxFxdxfdxxxf)()()()( )(其中可微。)(x用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容， 同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数 中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例 1、例 2：例 1：dxxxxx ) 1(ln) 1ln(【解】) 1(11 11)ln) 1(ln(xxxxxxCxxxxdxxdxxxxx2)ln) 1(ln(21)ln) 1(l
2、n()ln) 1(ln() 1(ln) 1ln(例 2：dxxxx2)ln(ln1【解】xxxln1)ln(Cxxxxxdxdxxxxln1 )ln(ln ) 1(ln1223.第二类换元法：设是单调、可导的函数，并且具有原函数，)(tx)( )(. 0)( ttft又设则有换元公式 dtttfdxf)( )(x)(第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记 会用。主要有以下几种：achtxtaxtaxaxashtxtaxtaxaxtaxtaxxa；：；：；：cscsec)3(cottan)2(cossin) 1 (222222也奏效。，有时倒代换当被积函数含有：txcb
3、xaxxtdcxbax dcxbaxtbaxbaxmnnnn1)6()5()4(2 4.分部积分法.公式：dd分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完 成不定积分。具体选取时，通常基于以下两点考虑：、 （1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧！例 3：dx xxx231arccos【解】观察被积函数，选取变换,则xtarccos tdttdtttttdx xxx3323 cos)sin(sincos1arccosCxxxxxCttttttdttttdtttttttttdtdttarccos1)2(31 32 91cos91cos32sinsin
4、31cos) 1sin31(sinsin31)sinsin31(sinsin31)sinsin31(sin) 1(sin22333233332例 4：xdx2arcsin【解】dx xxxxxxdx 222 11arcsin2sinarcsinCxxxxxdx xxxxxxxxdxx 2arcsin12arcsin121arcsin12arcsin1arcsin2arcsin22222上面的例 3，降低了多项式系数；例 4，简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在中，的选取有下面简单的规律：dd、选取的函数不能改变。，会出现循环，注意，)3(sin,cos)3(
5、)(arcsin,arctan,ln)2(cos,sin,)() 1 (xxexPxxxaxaxexPaxmax m将以上规律化成一个图就是：但是，当时，是无法求解的。xxarcsinln，对于（3）情况，有两个通用公式：CbxbbxabaedxbxeICbxbbxabaedxbxeIax axax ax)sincos(cos)cossin(sin222221（分部积分法用处多多在本册杂志的涉及 lnx 的不定积分中，常可以看到 分部积分）5.几种特殊类型函数的积分。 （1）有理函数的积分有理函数先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干)()( xQxP )()(* xQxP )()(* xQ
6、xP个部分分式之和。 （对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现时，记得用递推公式：nnxadxI)(22）121222) 1(232 )(1(2nnnInan axnaxI例 5：dxxxxxx223246) 1(24【解】223222346223246) 1(24 ) 1() 1(24 xxx xxxx xxxxx22322) 1(24 1xxx xx（lnx arcsinx）Pm(x)（axsinx)22 2242224222322 2) 1(12 ) 1(24 ) 1(24) 1ln(21 1xdxxxxxdxxxxdxxxxCxdxxxCxxCddd) 1(11 11) 1(11()
7、1() 1( ) 1(122222222222故不定积分求得。（2）三角函数有理式的积分万能公式： 2tan12tan1 cos2tan12tan2 sin222xxxxxx的积分，但由于计算较烦，化为有理函数可用变换2tan)cos,(sin)cos,(sinxtdxxxQxxP应尽量避免。对于只含有 tanx（或 cotx）的分式，必化成。再用待定系数 xx xx sincos cossin或来做。 （注：没举例题并不代表不重要）xbxaxbxaBxbxaA sincos)sincos()sincos( （3）简单无理函数的积分（变量替换） 一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现时，可令；xx1和tx2tan同时出现时，可令；同时出现时，可令xx1和tx2sinxxarcsin12和x=sint；同时出现时，可令 x=cost 等等。xxarccos12和
