《[导学教程]【北师大版】届高轮复习数学(理)专题数列推理与证明训练》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[导学教程]【北师大版】届高轮复习数学(理)专题数列推理与证明训练（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -一、选择题1用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程 ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是A假设 a，b，c 都是偶数B假设 a，b，c 都不是偶数C假设 a，b，c 至多有一个是偶数D假设 a，b，c 至多有两个是偶数解析 至少有一个的否定是一个也没有，即 a，b，c 都不是偶数答案 B2已知 x(0，)，观察下列各式：x 2，x 3，x 1x4x2x2x24x227x3x3x3x34，类比有 xn1(nN)，则 a 等于27x3axnAn B2nCn2 Dnn解析 第一个式子是 n1 的情况，此时 a1，第二个式子是 n2 的情
2、况，此时 a4，第三个式子是 n3 的情况，此时 a33，归纳可以知道 ann.答案 D3在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到ABC 为钝角三角形的结论，三边 a、b、c 应满足的条件是Aa2b2c2 Ba2b2c2Ca2b2c2 Da2b2c2解析 a 为最大边，则角 A 为最大角，若ABC 为钝角三角形，则角 A 必须为钝角，故 cos A0，所以 b2c2a20a2b2c2，选 C.b2c2a22bc答案 C4下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第 n 个图案中白色的正方形个数为- 2 -A5n3 B5nC3n5 D3n解析 由题意可知，每个图案都是 3
3、行，第一个图案有 3 列，第二个图案有 5 列，第三个图案有 7 列，所以第 n 个图案有 2n1 列，所以第 n 个图案中正方形的个数为 3(2n1)6n3，又知第 n 个图案中有 n 个黑色小正方形，所以第 n 个图案中白色正方形的个数为 6n3n5n3.答案 A5现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是 a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为 a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的a24中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为A. B.a316a38C. D.a34a32解析 由平面类比到空间，将面积和
4、体积进行类比，容易得出两个正方体重叠部分的体积恒为，所以选 B.a38答案 B6(2011福建)对于函数 f(x)asin xbxc(其中 a，bR，cZ)，选取 a，b，c 的一组值计算 f(1)和 f(1)，所得出的正确结果一定不可能是A4 和 6 B3 和 1C2 和 4 D1 和 2解析 f(1)asin 1bc，f(1)asin 1bc，且 c 是整数，f(1)f(1)2c 是偶数在选项中只有 D 中两数和为奇数，不可能是 D.答案 D二、填空题7(2011山东)设函数 f(x)(x0)，xx2观察：- 3 -f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，xx2x3x4f3(x)f(
5、f2(x)，x7x8f4(x)f(f3(x)，x15x16根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN且 n2 时，fn(x)f(fn1(x)_.解析 依题意，先求函数结果的分母中 x 项系数所组成数列的通项公式，由 1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为 an2n1.又函数结果的分母中常数项依次为 2,4,8,16，故其通项公式为 bn2n.所以当 n2 时，fn(x)f(fn1(x).x2n1x2n答案 x2n1x2n8下面的数组均由三个数组成：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，(an，bn，cn)(1)请写出 cn的一个表达式，cn_
6、.(2)若数列cn的前 n 项和为 Mn，则 M10_.(用数字作答)解析 (1)通过观察归纳，得 ann，bn2n，cnanbnn2n.(2)M10(1210)(222210)2 101.答案 n2n；2 1019经过圆 x2y2r2上一点 M(x0，y0)的切线方程为 x0xy0yr2.类比上述性质，可以得到椭圆1 类似的性质为：经过椭圆1 上一点 P(x0，y0)的切线方程为_x2a2y2b2x2a2y2b2解析 过圆上一点(x0，y0)的切线方程是把圆的方程中的 x2，y2中的一个 x 和一个 y 分别用x0，y0代替，圆和椭圆都是封闭曲线，类比圆上一点的切线方程可以得到，过椭圆上一点
7、(x0，y0)的切线方程也是把椭圆方程中的 x2，y2中的一个 x 和一个 y 分别用 x0，y0代替，即得到切线方程为x0xa2- 4 -1.y0yb2答案 1x0xa2y0yb2三、解答题10已知命题：“若数列an是等比数列，且 an0，令 bn，则数列bn(nN)也na1a2an是等比数列” 类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论解析 由题意，得等差数列的一个性质是：若数列an是等差数列，令 bn，则a1a2ann数列bn(nN)也是等差数列设等差数列an的公差为 d，则 bna1 (n1)，a1a2annna1nn12dnd2所以数列bn是以 a1为首项， 为
8、公差的等差数列故所得命题成立d211已知数列an和bn满足：a1，an1 ann4，bn(1)n(an3n21)，其中 为23实数，n 为正整数(1)对任意实数 ，证明数列an不是等比数列；(2)试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论解析 (1)证明 假设存在一个实数 ，使an是等比数列，则有 a a1a3，2 2即2(233)(494) 249 2490，矛盾，4949所以an不是等比数列(2)因为 bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(23an2n14)- 5 - (1)n(an3n21) bn，2323又 b1(18)，所以当 18 时，bn0(nN)，此时bn不是等比数
9、列；当 18 时，b1(18)0，由 bn1 bn23可知 bn0，所以 (nN)bn1bn23故当 18 时，数列bn是以(18)为首项， 为公比的等比数列2312已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，Snn2an(nN)(1)求 S1，S2，S3，S4的值；(2)猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明解析 (1)由题意知，S1a11，S24a2，即 a1a24a2，得 a2 ，又 a11，S2 .1343同理得，S39a3，即 S2a39a3，得 a3 ，S3 ，1632S416a4，即 S3a416a4，得 a4，S4 .11085(2)猜想：Sn，2nn1证明 当 n1 时，S11，与已知相符，故结论成立，2 111假设当 nk(k1，kN)时，结论成立，即 Sk，2kk1- 6 -由已知可得 Sk1(k1)2ak1，整理得(k1)21Sk1(k1)2Sk，即 Sk1Sk，k12k22kSk1，k12k22k2kk12k1k22k1k11即当 nk1 时，结论也成立，综合知，对 nN，都有 Sn.2nn1
