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1、- 1 -枫叶新希望，成就梦想，放飞希望枫叶新希望，成就梦想，放飞希望 中考数学重难点动态几何与函数问题【例 1】 如图所示，直角梯形 OABC 的顶点 A、C 分别在 y 轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C 作直线l.将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点 D，与y轴交于点 E.（1）将直线l向右平移，设平移距离 CD 为t（t0） ，直角梯形 OABC 被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且 NQ 平行于 x 轴，N 点横坐标为 4，求梯形上底 AB 的长及直角梯形 OABC 的面积.（2）当24t 时
2、，求 S 关于t的函数解析式.【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个 M 点是何含义，于是无从下手。其实 M点就表示当平移距离为 2 的时候整个阴影部分面积为 8，相对的，N 点表示移动距离超过4 之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当 D 移动过了 0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当24t 时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去ODE 的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用
3、对应关系去分段求解。- 2 -枫叶新希望，成就梦想，放飞希望枫叶新希望，成就梦想，放飞希望 【解】（1）由图（2）知，M点的坐标是（2，8）由此判断：24ABOA，； N点的横坐标是 4，NQ是平行于x轴的射线，4CO 直角梯形OABC的面积为：112441222ABOCOA . (3 分)（2）当24t 时，阴影部分的面积=直角梯形OABC的面积ODE的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系)1122SOD OE142ODODtOE，2 4OEt. 21122 441242Sttt284Stt . 【例 2】已知：在矩形AOBC中，4OB
4、 ，3OA 分别以OBOA，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系F是边BC上的一个动点（不与BC，重合） ，过F点的反比例函数(0)kykx 的图象与AC边交于点E（1）求证：AOE与BOF的面积相等；（2）记OEFECFSSS，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在- 3 -OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【思路分析】本题看似几何问题，但是实际上AOE 和FOB 这两个直角三角形的底边和高恰好就是 E,F 点的横坐标和纵坐标，而这个乘积恰好就是反比例函数的系数 K。所以直接设点即可轻
5、松证出结果。第二问有些同学可能依然纠结这个EOF 的面积该怎么算，事实上从第一问的结果就可以发现这个矩形中的三个 RT面积都是异常好求的。于是利用矩形面积减去三个小 RT面积即可，经过一系列化简即可求得表达式，利用对称轴求出最大值。第三问的思路就是假设这个点存在，看看能不能证明出来。因为是翻折问题，翻折之后大量相等的角和边,所以自然去利用三角形相似去求解，于是变成一道比较典型的几何题目，做垂线就 OK.【解析】（1）证明：设11()E xy，22()F xy，AOE与FOB的面积分别为1S，2S，由题意得1 1kyx ，2 2kyx 11111 22Sx yk ，22211 22Sx yk 1
6、2SS，即AOE与FOB的面积相等（2）由题意知：EF，两点坐标分别为33kE， ，44kF， ， (想不到这样设点也可以直接用 X 去代入,麻烦一点而已)1111432234ECFSEC CFkkg ，11121222EOFAOEBOFECFECFECFAOBCSSSSSkkSkS矩形- 4 -11112212243234OEFECFECFSSSkSkkk 21 12Skk 当161212k 时，S有最大值131412S 最大值（3）解：设存在这样的点F，将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作ENOB，垂足为N由题意得：3ENAO，143EMECk ，134MFCFk ，
7、90EMNFMBFMBMFB oQ，EMNMFB 又90ENMMBF oQ，ENMMBF(将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中)ENEM MBMF ，114 143123 1133 1412kkMBkk， 9 4MB 222MBBFMFQ，222913444kk，解得21 8k 21 432kBF 存在符合条件的点F，它的坐标为21432， 【例 3】如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，C90，BC16，DC12，AD21。- 5 -ABMCDPQ 图 1动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C出发，在线段 CB 上以每秒
8、 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P，Q 分别从点 D，C 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动。设运动的时间为 t（秒） 。（1）设BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式；（2）当 t 为何值时，以 B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）是否存在时刻 t，使得 PQBD？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由。【思路分析】 本题是一道和一元二次方程结合较为紧密的代几综合题，大量时间都在计算上。第三讲的时候我们已经探讨过解决动点问题的思路就是看运动过程中哪些量发生了变化，哪些量没有变化。对于该题来说，当 P,Q 运动时，BPQ 的高
9、的长度始终不变，即为 CD 长，所以只需关注变化的底边 BQ 即可，于是列出函数式。第二问则要分类讨论，牢牢把握住高不变这个条件，通过勾股定理建立方程去求解。第三问很多同学画出图形以后就不知如何下手，此时不要忘记这个题目中贯穿始终的不动量高，过 Q 做出垂线以后就发现利用角度互余关系就可以证明PEQ 和BCD 是相似的，于是建立两个直角三角形直角边的比例关系，而这之中只有 PE 是未知的，于是得解。 这道题放在这里是想让各位体会一下那个不动量高的作用，每一小问都和它休戚相关，利用这个不变的高区建立函数，建立方程组乃至比例关系才能拿到全分。【解析】解： （1）如图 1，过点 P 作 PMBC，垂
10、足为 M，则四边形 PDCM 为矩形。PMDC12 QB16t，S1 212(16t)96t （2）由图可知：CMPD2t，CQt。热以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。若 PQBQ。在 RtPMQ 中，22212PQt，由 PQ2BQ2 - 6 -得 22212(16)tt，解得 t7 2； 若 BPBQ。在 RtPMB 中，222(162 )12BPt。由 BP2BQ2 得：222(162 )12(16)tt即23321440tt。由于 704023321440tt无解，PBBQ 若 PBPQ。由 PB2PQ2，得222212(162 )12tt整理，得2364
11、2560tt。解得1216163tt， （舍） （想想看为什么要舍？函数自变量的取值范围是多少？） 综合上面的讨论可知：当 t716 23t 秒或 秒时，以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形。 （3）设存在时刻 t，使得 PQBD。如图 2，过点 Q 作 QEADS，垂足为 E。由 RtBDCRtQPE， 得DCPE BCEQ ，即12 1612t 。解得 t9 所以，当 t9 秒时，PQBD。 【例 4】在 RtABC 中，C=90，AC = 3，AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；
12、点 Q 从点 A 出发沿AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t0） （1）当 t = 2 时，AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S 与t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成PAEEDCQBO图 2ACBPQED- 7 -为
13、直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 【思路分析】依然是一道放在几何图形当中的函数题。但是本题略有不同的是动点有一个折返的动作，所以加大了思考的难度,但是这个条件基本不影响做题,不需要太专注于其上。首先应当注意到的是在运动过程中 DE 保持垂直平分 PQ 这一条件，然后判断 t 可能的范围.因为给出了 AC 和 CB 的长度,据此估计出运动可能呈现的状态.第一问简单不用多说,第二问做出垂线利用三角形内的比例关系做出函数.第三问尤其注意直角梯形在本题中有两种呈现方式.DE/QB 和 PQ/BC 都要分情况讨论.最后一问则可以直接利用
14、勾股定理或者 AQ,BQ 的等量关系去求解.解：（1）1，8 5； （2）作 QFAC 于点 F，如图 3， AQ = CP= t，3APt由AQFABC，22534BC ， 得45QFt 4 5QFt 14(3)25Stt ，即226 55Stt （3）能当 DEQB 时，如图 4DEPQ，PQQB，四边形 QBED 是直角梯形此时AQP=90由APQ ABC，得AQAP ACAB ，即3 35tt 解得9 8t 如图 5，当 PQBC 时，DEBC，四边形 QBED 是直角梯形ACBPQED图 4 AC)BPQD图 3E )FACBPQ ED图 5- 8 -此时APQ =90由AQP ABC，得 AQAP ABAC ，即3 53tt 解得15 8t （4）5 2t 或45 14t 【注：点 P 由 C 向 A 运动，DE 经过点 C方法一、连接 QC，作 QGBC 于点 G，如图 6PCt，222QCQGCG2234 (5)4(5)55tt 由22PCQC，得22234 (5)4(5)55ttt ，解得5 2t 方法二、由CQCPAQ，得QACQCA ，进而可得BBCQ ，得C
