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1、第 1 页（共 49 页）2018 高考复习高考复习数学压轴题训练数学压轴题训练一解答题（共一解答题（共 20 小题）小题）1已知函数 f（x）=ax2+lnx，g（x）=bx，其中 a，bR，设 h（x）=f（x）g（x） ，（1）若 f（x）在 x=处取得极值，且 f（1）=g（1）2求函数 h（x）的单调区间；（2）若 a=0 时，函数 h（x）有两个不同的零点 x1，x2求 b 的取值范围；求证：12设 f（x）=exa（x+1） （1）若 a0，f（x）0 对一切 xR 恒成立，求 a 的最大值；（2）设是曲线 y=g（x）上任意两点，若对任意的 a1，直线 AB 的斜率恒大于常数
2、m，求 m 的取值范围；（3）是否存在正整数 a使得对一切正整数n 都成立？若存在，求 a 的最小值；若不存在，请说明理由3已知函数 f（x）=alnx+x24x（aR） （1）讨论函数 f（x）的单调区间；（2）若 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （x2x10）是曲线 y=f（x）上的两点，x0=，问：是否存在 a，使得直线 AB 的斜率等于 f（x0）？若存在，求出 a的值；若不存在，说明理由4已知函数 （a 为常数，a0）（）若是函数 f（x）的一个极值点，求 a 的值；第 2 页（共 49 页）（）求证：当 0a2 时，f（x）在上是增函数；（）若对任意的 a（1，2） ，总存在
3、 ，使不等式 f（x0）m（1a2）成立，求实数 m 的取值范围5已知函数（1）求函数 f（x）的单调区间和极值；（2）若函数 y=g（x）对任意 x 满足 g（x）=f（4x） ，求证：当 x2，f（x）g（x） ；（3）若 x1x2，且 f（x1）=f（x2） ，求证：x1+x246设函数 f（x）=lnxax（aR） （1）若直线 y=3x1 是函数 f（x）图象的一条切线，求实数 a 的值；（2）若函数 f（x）在1，e2上的最大值为 1ae（e 为自然对数的底数） ，求实数 a 的值；（3）若关于 x 的方程 ln（2x2x3t）+x2xt=ln（xt）有且仅有唯一的实数根，求实数
4、t 的取值范围7已知函数 f（x）= （a，bR，且 a0，e 为自然对数的底数） （I）若曲线 f（x）在点（e，f（e） ）处的切线斜率为 0，且 f（x）有极小值，求实数 a 的取值范围（II） （i）当 a=b=l 时，证明：xf（x）+20；（ii）当 a=1，b=1 时，若不等式：xf（x）e+m（x1）在区间（1，+）内恒成立，求实数 m 的最大值8已知函数 f（x）=xmex（mR，e 为自然对数的底数）（1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）若 f（x）e2x对xR 恒成立，求实数 m 的取值范围；（3）设 x1，x2（x1x2）是函数 f（x）的两个零点，求证 x1+x22
5、9已知函数 f（x）=alnx+，aR第 3 页（共 49 页）（1）若 f（x）的最小值为 0，求实数 a 的值；（2）证明：当 a=2 时，不等式 f（x）e1x恒成立10已知函数 f（x）=lnx+x2（）若函数 g（x）=f（x）ax 在其定义域内为增函数，求实数 a 的取值范围；（）在（）的条件下，若 a1，h（x）=e3x3aexx0，ln2，求 h（x）的极小值；（）设 F（x）=2f（x）3x2kx（kR） ，若函数 F（x）存在两个零点m，n（0mn） ，且 2x0=m+n问：函数 F（x）在点（x0，F（x0） ）处的切线能否平行于 x 轴？若能，求出该切线方程；若不能，请
6、说明理由11已知函数 f（x）=x3+x2+ax+b（a，b 为常数） ，其图象是曲线 C（1）当 a=2 时，求函数 f（x）的单调减区间；（2）设函数 f（x）的导函数为 f（x） ，若存在唯一的实数 x0，使得 f（x0）=x0与 f（x0）=0 同时成立，求实数 b 的取值范围；（3）已知点 A 为曲线 C 上的动点，在点 A 处作曲线 C 的切线 l1与曲线 C 交于另一点 B，在点 B 处作曲线 C 的切线 l2，设切线 l1，l2的斜率分别为 k1，k2问：是否存在常数 ，使得 k2=k1恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由12已知函数 f（x）=，g（x）=ln（x
7、+1） ，曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程是 5x4y+1=0（1）求 a，b 的值；（2）若当 x0，+）时，恒有 f（x）kg（x）成立，求 k 的取值范围；（3）若=22361，试估计 ln的值（精确到 0.001）13设 aR，函数 f（x）=lnxax（）求 f（x）的单调递增区间；（）设 F（x）=f（x）+ax2+ax，问 F（x）是否存在极值，若存在，请求出极第 4 页（共 49 页）值；若不存在，请说明理由；（）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是函数 g（x）=f（x）+ax 图象上任意不同的两点，线段 AB 的中点为 C（x0，y0） ，直线 A
8、B 的斜率为为 k证明：kg（x0） 14已知函数 f（x）=lnxax3（a0） ，（）讨论函数 f（x）的单调性；（）若对于任意的 a1，2，若函数在区间（a，3）上有最值，求实数 m 的取值范围；（）求证：15已知函数 f（x）=xlnx，g（x）=（）记 F（x）=f（x）g（x） ，判断 F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（）记（）中的 F（x）在（1，2）内的零点为 x0，m（x）=minf（x） ，g（x），若 m（x）=n（nR）在（1，+）有两个不等实根 x1，x2（x1x2） ，判断 x1+x2与 2x0的大小，并给出对应的证明16函数 f（x）=（xa）2（x
9、+b）ex（a，bR） （1）当 a=0，b=3 时求函数 f（x）的单调区间；（2）若 x=a 是 f（x）的极大值点（i）当 a=0 时，求 b 的取值范围；（ii）当 a 为定值时设 x1，x2，x3（其中 x1x2x3） ）是 f（x）的 3 个极值点，问：是否存在实数 b，可找到实数 x4，使得 x4，x1，x2，x3成等差数列？若存在求出 b 的值及相应的 x4，若不存在说明理由17已知函数 f（x）=2lnxx2（） 求函数 y=f（x）在上的最大值（）如果函数 g（x）=f（x）ax 的图象与 x 轴交于两点 A（x1，0） 、第 5 页（共 49 页）B（x2，0） ，且 0
10、x1x2y=g（x）是y=g（x）的导函数，若正常数 p，q 满足 p+q=1，qp求证：g（px1+qx2）018已知函数 f（x）=lnx，g（x）=ex，其中 e 是自然对数的底数，e=2.71828（1）若函数 （x）=f（x），求函数 （x）的单调区间；（2）若 x0，g（x）kf（x+1）+1 恒成立，求实数 k 的取值范围；（3）设直线 l 为函数 f（x）的图象上一点，A（x0，f（x0） ）处的切线，证明：在区间（1，+）上存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 y=g（x）相切19已知函数 g（x）=（2a）lnx，h（x）=lnx+ax2（aR） ，令 f（x）=g（x）
11、+h（x） ，其中 h（x）是函数 h（x）的导函数（）当 a=0 时，求 f（x）的极值；（）当8a2 时，若存在 x1，x21，3，使得|f（x1）f（x2）|（m+ln3）a2ln3+ln（a） 恒成立，求 m 的取值范围20已知函数（）求函数 f（x）的单调区间；（）函数 f（x）在区间1，2上是否有零点，若有，求出零点，若没有，请说明理由；（）若任意的 x1，x2（1，2）且 x1x2，证明： （注：ln20.693）第 6 页（共 49 页）2018 高考复习高考复习数学压轴题训练数学压轴题训练参考答案与试题解析参考答案与试题解析一解答题（共一解答题（共 20 小题）小题）1已知函
12、数 f（x）=ax2+lnx，g（x）=bx，其中 a，bR，设 h（x）=f（x）g（x） ，（1）若 f（x）在 x=处取得极值，且 f（1）=g（1）2求函数 h（x）的单调区间；（2）若 a=0 时，函数 h（x）有两个不同的零点 x1，x2求 b 的取值范围；求证：1【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】16 ：压轴题；33 ：函数思想；4R：转化法；53 ：导数的综合应用【分析】 （1）根据极值点处的导数为零，结合 f（1）=g（1）2 列出关于 a，b的方程组，求出 a，b，然后再利用导数研究
13、导数研究单调区间；（2）将 a=0 代入，研究极值的符号，即可求出求 b 的取值范围，结合的结论，通过适当的变形，利用放缩法和基本不等式即可证明【解答】解：（1）由已知得 f， （x0） ，所以，所以 a=2由 f（1）=g（1）2，得 a+1=b2，所以 b=1所以 h（x）=x2+lnx+x， （x0） 第 7 页（共 49 页）则， （x0） ，由 h（x）0 得 0x1，h（x）0 得 x1所以 h（x）的减区间为（1，+） ，增区间为（0，1） （2）由已知 h（x）=lnx+bx， （x0） 所以 h， （x0） ，当 b0 时，显然 h（x）0 恒成立，此时函数 h（x）在定义域
14、内递增，h（x）至多有一个零点，不合题意当 b0 时，令 h（x）=0 得 x=0，令 h（x）0 得；令 h（x）0 得所以 h（x）极大=h（）=ln（b）10，解得且 x0 时，lnx0，x+时，lnx0所以当时，h（x）有两个零点证明：由题意得，即，得因为 x1，x20，所以b（x1+x2）0，所以，因为 0b，所以 eb1，所以 x1x2e2，所以1【点评】本题考查了导数和函数的单调性和极值的关系，以及函数的零点存在第 8 页（共 49 页）定理和不等式的证明，培养了学生的运算能力，化归能力，分类讨论的能力，属于难题2设 f（x）=exa（x+1） （1）若 a0，f（x）0 对一切
15、 xR 恒成立，求 a 的最大值；（2）设是曲线 y=g（x）上任意两点，若对任意的 a1，直线 AB 的斜率恒大于常数 m，求 m 的取值范围；（3）是否存在正整数 a使得对一切正整数n 都成立？若存在，求 a 的最小值；若不存在，请说明理由【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权所有【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题；53 ：导数的综合应用【分析】 （1）由 f（x）=exa（x+1） ，知 f（x）=exa，故 f（x）min=f（lna）=aa（lna+1）=alna，再由 f（x）0 对一切 xR 恒成立，能 amax（2）由 f（x）=exa（x+1） ，知 g（x）=f（x）+=由 a1，直线 AB 的斜率恒大于常数 m，知 g（x）=exa2a=a+2=m， （a1） ，由此能求出实数 m 的取值范围（3）设 t（x）=exx1，则 t（x）=ex1，从而得到 exx+1，取，用累加法得到由
