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1、1三角函数和双曲函数以及对数函数 之间的关系三角函数的双曲函数表名称含义名称含义名称含义名称含义sin正弦asin反正弦sinh双曲正弦asinh反双曲正弦cos余弦acos反余弦cosh双曲余弦acosh反双曲余弦tan正切atan反正切tanh双曲正切atanh反双曲正切cot余切acot反余切coth双曲余切acoth反双曲余切sec正割asec反正割sech双曲正割asech反双曲正割csc余割acsc反余割csch双曲余割acsch反双曲余割第二反正切函数 atan2(y,x)（范围为-pi 到 pi）特别是第二，三象限时用第二反正切函数。三角函数与双曲函数以及对数函数之间的关系 欧
2、拉公式 eix = cosx + isinx, e-ix = cosx - isinx,.i-ie +ecos =2xx xi-ie -esin =2ixx xi-ii-isine -etan =cosi(e +e )xxxxxxx,.-e +ecosh =2xx x-e -esinh =2xx x-sinhe -etanh =coshe +exxxxxxx(1.1.1)正弦函数与双曲正弦函数的关系,sinx = -isinhix,i-ii-ie -ee -esinhi =iisin22ixxxx xxx=linspace(0,4*pi); plot(x,sin(x),x,-i*sinh(i*
3、x),r.) (1.1.2)双曲正弦函数与正弦函数的关系,sinhx = -isinix ,i(i )-i(i )-e-ee -esini =-iisinh2i2xxxx xxplot(x,sinh(x),x,-i*sin(i*x),r.) (1.2.1)余弦函数与双曲余弦函数的关系,i-ie +ecoshi =cos2xx xxplot(x,cos(x),x,cosh(i*x),r.) (1.2.2)双曲余弦函数与余弦函数的关系,.i(i )-i(i )-e+ee +ecosi =cosh22xxxx xxplot(x,cosh(x),x,cos(i*x),r.)2(1.3.1)正切函数与双
4、曲正切函数的关系,tanx = -itanhix.i-ii-ie -etanhi =itane +exxxxxxplot(x,tan(x),x,-i*tanh(i*x),r.) axis(0,4*pi,-10,10) (1.3.2)双曲正切函数与正切函数的关系(1.3.2),tanhx = -itanix.i(i )-i(i )-i(i )-i(i )-e-ee -etani =-iitanhie+ee +exxxxxxxxxxplot(x,tanh(x),x,-i*tan(i*x),r.)(2.1.1)反正弦函数与反双曲正弦函数的关系 y = arcsinx, x = siny = -isi
5、nhiy, iy = arcsinhix, y = -iarcsinhix.%x=linspace(0,2); plot(x,asin(x),x,-i*asinh(i*x),r.) %出现复数,曲线相同 (2.1.2)反双曲正弦函数与反正弦函数的关系 y = arcsinhx, x = sinhy = -isiniy, iy = arcsinix, y = -iarcsinix.plot(x,asinh(x),x,-i*asin(i*x),r.) (2.1.3)反双曲正弦函数与对数函数的关系y = asinhx, ,(ey)2 - 2xey - 1 = 0,-2e -ee-1sinh =22e
6、yyyyxy,2e+1yxx2ln(+1)arcsinhyxxxplot(x,asinh(x),x,log(x+sqrt(x.2+1),r.),2e|+1|yxx22 22(+1)(+1)ln |+1| ln | +1xxxxyxx xx ,221ln |ln(+1)arcsinh +1xxx xx ,2arcsinhln |+1|xxx plot(x,asinh(x),x,-log(abs(x-sqrt(x.2+1),r.) plot(x,asinh(x),x,-log(x-sqrt(x.2+1),r.) %出现复数,曲线相同(2.2.1)反余弦函数与反双曲余弦函数的关系y = arccos
7、x, x = cosy = coshiy, iy = arccoshx, y = -iarccoshx. %出现复数,曲线相同plot(x,acos (x),x,-i*acosh(x),r.) (2.2.2)反双曲余弦函数与反余弦函数的关系 y = arccoshx, x = coshy = cosiy, iy = arccosx, y = -iarccosx.plot(x,acosh(x),x,-i*acos(x),r.) (2.2.3)反双曲余弦函数与对数函数的关系3y = acoshx, ,(ey)2 - 2xey + 1 = 0,-2e +ee+1cosh =22eyyyyxy,(x=
8、1)2e-1yxx2ln(-1)arccoshyxxxplot(x,acosh(x),x,log(x+sqrt(x.2-1),r.) %出现复数,曲线相同, ,2e-1yxx22 22(-1)(-1)ln(-1)ln -1xxxxyxx xx (下枝)221lnln(-1)arccosh -1xxx xx ,2arccoshln(-1)xxx plot(x,acosh(x),x,-log(x-sqrt(x.2-1),r.)(2.3.1)反正切函数与反双曲正切函数的关系 y = arctanx, x = tany = -itanhiy, iy = arctanhix, y = -iarctanh
9、ix.plot(x,atan(x),x,-i*atanh(i*x),r.) (2.3.2)反双曲正切函数与反正切函数的关系 y = arctanhx, x = tanhy = -itaniy, iy = arctanix, y = -iarctanix.plot(x,atanh(x),x,-i*atan(i*x),r.) (2.3.3)反双曲正切函数与对数函数的关系y = atanhx, ,xe2y + x = e2y - 1,.-2-2e -ee-1tanh =e +ee+1yyyyyyxy11ln21xyxplot(x,atanh(x),x,log(1+x)./(1-x)/2,r.) %出
10、现复数,曲线相同%三角函数与双曲函数的关系clear %清除变量xm=6; %最大横坐标x=linspace(-xm,xm); %自变量向量figure %开创图形窗口subplot(2,2,1) %选子图plot(x,sin(x),x,-i*sinh(i*x),r.) %画正弦和双曲正弦对比曲线(红点)axis(-xm,xm,-1,1) %设置曲线范围title(正弦和双曲正弦对比曲线(红点) %标题subplot(2,2,2) %选子图plot(x,cos(x),x,cosh(i*x),r.) %画余弦和双曲余弦对比曲线(红点)axis(-xm,xm,-1,1) %设置曲线范围title(
11、余弦和双曲余弦对比曲线(红点) %标题subplot(2,2,3) %选子图plot(x,tan(x),x,-i*tanh(i*x),r.) %画正切和双曲正切对比曲线(红点)4axis(-xm,xm,-10,10) %设置曲线范围title(正切和双曲正切对比曲线(红点) %标题subplot(2,2,4) %选子图plot(x,cot(x),x,i*coth(i*x),r.) %画余切和双曲余切对比曲线(红点)axis(-xm,xm,-10,10) %设置曲线范围title(余切和双曲余切对比曲线(红点) %标题%双曲函数与三角函数的关系clear %清除变量x=linspace(-4,4
12、,40); %自变量向量figure %开创图形窗口subplot(2,2,1) %选子图plot(x,sinh(x),x,-i*sin(i*x),r.) %画双曲正弦和正弦对比曲线(红点)title(双曲正弦和正弦对比曲线(红点) %标题subplot(2,2,2) %选子图plot(x,cosh(x),x,cos(i*x),r.) %画双曲余弦和余弦对比曲线(红点)title(双曲余弦和余弦对比曲线(红点) %标题subplot(2,2,3) %选子图plot(x,tanh(x),x,-i*tan(i*x),r.) %画双曲正切和正切对比曲线(红点)title(双曲正切和正切对比曲线(红点
13、) %标题subplot(2,2,4) %选子图plot(x,coth(x),x,i*cot(i*x),r.) %画双曲余切和余切对比曲线(红点)title(双曲余切和余切对比曲线(红点) %标题%反三角函数与反双曲函数的关系clear %清除变量x=linspace(-1,1,30); %自变量向量figure %开创图形窗口subplot(2,2,1) %选子图plot(x,asin(x),x,-i*asinh(i*x),r.) %画反正弦和反双曲正弦对比曲线(红点)title(反正弦和反双曲正弦对比曲线(红点)%标题subplot(2,2,2) %选子图plot(x,acos (x),x,-i*acosh(x),r.) %画反余弦和反双曲余弦对比曲线(红点)title(反余弦和反双曲余弦对比曲线(红点)%标题x=linspace(-10,10,30); %自变量向量subplot(2,2,3) %选子图plot(x,atan(x),x,-i*atanh(i*x),r.) %画反正切和反双曲正切对比曲线(红点)title(反正切和反双曲正切对比曲线(红点)%标题subplot(2,2,4)
