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1、测绘信息网 GPS 高程拟合模型误差的最小二乘配置补偿李冲 季灵运 张冬菊(长安大学地质工程与测绘工程学院 西安 710054)摘 要：运用常规的拟合模型求解大范围高程异常必然存在较大的模型误差，鉴于模型误差的不确定性，可以将模型误差看作信号采用最小二乘配置法来处理，本文给出了具体模型和计算方法,并对一个大测区的GPS 水准数据进行解算，获得了满意的结果。最后通过算例分析了先验中误差对模型精度的影响。关键词：高程异常 模型误差 最小二乘配置 信号 协方差1 引言 GPS 测量已广泛应用于实践，采用 GPS 技术进行控制网观测，可达到优于 12ppm 的基线精度，转 换成坐标，可得到高精度的大地
2、高。但我国用的高程系统是基于似大地水准面的正常高系统。因此，如 何求取高精度的高程异常成为 GPS 代替传统水准的关键。 目前常用的方法有多项式拟合法，神经网络法，样条函数法，移去恢复法等。多项式拟合法具有程序设 计简单，直观，易操作等优点。但是由于其没有顾及到似大地水准面的物理性质，拟合函数始终只能是 高程异常的趋势面，与高程异常的实际值必然会有一定差异，由于似大地水准面是一个非常复杂且不规 则的曲面，这种差异可以解释为拟合模型的不准确造成，理论上讲，由于地壳的不均衡和地形起伏的影 响，拟合模型在不同点的高程异常拟合误差可以看作是随机函数，即所谓的信号，采用最小二乘配置法 来处理。 2 最小
3、二乘配置原理 2.1 数学模型（1）LAXBYV(X 为系统性参数，Y 为随机性参数 ) ()0,()TEEVVVV( )0,()TYE YE YY（2） LYBBTV2.2 估值公式（3） VAXBYL（4） TT YV PVY PYMIN构造极值函数12 （5）2()TTT YVP VY PYKAXBYLV V令有 220TTV PKVV（6）1VPK 有220TT YY PK BY（7） 1T YYPB K （8）20TK AX（6） ， （7） ， （8）式结合（3）式得测绘信息网 （9）1()TT LLXA P AA P L（10）1()T YLYPB P LAX（11）1()LVP
4、P LAX 顾及12 02 0 PQD12 02 0yyyyPQDT LYDBD BD得计算 X，Y 平差值得实用公式：（12）111()()TTTT yyXABD BDAABD BDL （13）1() ()TT yyYD BBD BDLAX 3 协方差函数的确定由（12） ， （13）式可以看出，求解，X的关键是确定。严格来说，协方差阵各元素应该通过大量观测数据经统计得出。介于实际条件的限YYD制，这不可能实现。通常采用协方差函数来确定。使用比较广泛的有高斯函数3（d 为两点之2( )0kd dfb e间的距离，k 为参数） 。0b 由于经验协方差函数不具有物理意义且其参数的选取还没有成熟的
5、理论依据。本文的思想是将配置 模型中的信号看作与模型误差有关的量，由于 Y 是随机性参数，其主要作用是将高程异常趋势面与实际 高程异常的差异作为信号参与模型平差，而模型误差产生原因未知，但其主要反映的也是拟合高程异常趋势面与实际高程异常的差异，所以当模型误差存在时可以近似的认为4 kDDy2 02 0/k表 1 GPS 测区数据点 号 坐标（X） 坐标（Y） 高程异常 点号 坐标（X） 坐标（Y） 高程异常GZ01 3898355.158 503545.680 -9.889 GZ13 3896869.951 502721.508 -9.920 GZ02 3897853.977 503127.2
6、28 -9.909 GZ14 3897504.722 503382.053 -9.904 GZ03 3897430.090 502766.579 -9.867 GZ15 3898421.693 504078.446 -9.812 GZ04 3897108.797 502474.698 -9.885 GZ16 3896942.654 503224.419 -9.797 GZ05 3896787.254 502196.288 -9.891 GZ17 3897933.797 504234.854 -9.840 GZ06 3896762.544 504972.870 -9.905 GZ18 38976
7、58.140 504004.216 -9.881 GZ07 3896809.491 504234.074 -9.968 GZ19 3897240.237 503526.748 -9.914 GZ08 3896648.477 503835.243 -9.986 GZ20 3896805.849 503073.362 -9.942 GZ09 3896374.216 503364.758 -10.013 GZ21 3896637.104 502950.636 -9.975 GZ10 3895917.833 503242.197 -10.081 GZ22 3896374.865 502658.821
8、-9.985 GZ11 3896265.768 502757.228 -10.046 GZ23 3896398.945 503098.644 -10.055 GZ12 3896436.015 502411.624 -9.865 GZ24 3896786.061 503357.630 -9.952 GZ25 3898391.822 504597.136 -9.968 测绘信息网 4 算例 某地区的 GPS 网共有 25 个 GPS 点，全部联测三等水准，表 1 列出了所有 GPS 点的平面位置和计算 所的高程异常。=0.01m 由于本地区地势比较平坦，故采用平面拟合法。 1） 采用常规平面拟合时
9、，其模型为012aa xa y 采用最小二乘法得： 采用最小二乘法得：= -286.20148； = 0.00007396； =-0.00002376。0a1a2a由此求得的拟合残差及中误差见表 2 表 2 常规拟合残差表点号 残差(m) 点号残差(m) 点号残差(m) 点号残差(m) 拟合中误差(m) GZ01 0.050GZ080.013GZ15-0.035GZ220.020.058 GZ02 0.042GZ090.031GZ16-0.139GZ230.082 GZ03 -0.022GZ100.069GZ17-0.047GZ240.001 GZ04 -0.021GZ110.071GZ18-
10、0.021GZ250.106 GZ05 -0.032GZ12-0.089GZ19-0.007 GZ06 -0.086GZ13-0.01GZ20-0.001 GZ07 -0.002GZ140.006GZ210.0232） 将模型误差看作随机函数的最小二乘配置法其模型为： ( X=， T)LBXS0a1a2a顾及下列三式及（12） 、 （13）式SDKD22 0022 00/KDPI解得=-286.2015 =0.00007 =-0.0000240a1a2a拟合残差、中误差及信号值见表 3。表 3 最小二乘配置拟合结果点号信号 S残差(m) 点号信号 S残差(m) 点号 S信号 S残差GZ01-0
11、.0480.001GZ10-0.0670.002GZ190.0070.000 GZ02-0.0410.001GZ11-0.0690.002GZ200.0010.000 GZ030.022-0.001GZ120.087-0.003GZ21-0.0220.001 GZ040.021-0.001GZ130.009-0.0003GZ22-0.0190.001 GZ050.031-0.001GZ14-0.0050.0002GZ23-0.0790.002 GZ060.084-0.003GZ150.034-0.001GZ24-0.0010.000 GZ070.0020.0002GZ160.135-0.004
12、GZ25-0.1030.003 GZ08-0.0130.0004GZ170.046-0.001GZ09-0.030.001GZ180.020-0.001拟合中误差(m) 0.0017m测绘信息网 3） 两种方法的残差比较图如下：由上表 3 及残差比较图可看出，将模型误差看作信号的最小二乘配置法解算的结果非常理想。拟合 残差最大仅 4mm，很多点的拟合残差都不足 1mm。拟合中误差不到 2mm。而系统性参数的解算结果没 有多大变化，这说明模型误差被大幅度削减。4）考虑到本地区的高程异常数据先验中误差比较小，为了找出起始误差对本模型的影响，人为的令先验中误差分别为 m1=0.03m，m2=0.05
13、m，m3=0.08m 进行解算。发现拟合系数基本没有变化，拟合中误差分别为=0.012m，=0.025m，=0.038m，拟合残差图见下图。123从拟合中误差及上面残差比较图可以发现，当先验中误差越大时，拟合效果越差，但仍比常规拟合 模型效果要好。 5 结论 1）由以上算例可知，即使比较平坦的地区，运用常规的平面拟合模型仍会含有较 大模型误差。运用最小二乘配置法处理后，其解算精度大幅度提高。最小二乘配置模型中信号的协方差测绘信息网 阵的确定是关键问题，将模型误差视作信号，使用来确定信号的协方差函数方法，计22 00/*DD信（）算简便，经算例验证，获得了满意的结果。 2）随着拟合数据先验中误差
14、的增大，最小二乘配置模型的解算精度逐渐降低，但仍优于常规模型。 当先验中误差小于 5 个厘米时，其解算精度很高。目前应用 GPS 方法解算大地高的精度已经可以轻松达 到厘米级，条件好时可以达到毫米级，这说明运用最小二乘配置模型进行 GPS 高程拟合具有很大的优越 性。参考文献1 於宗俦，于正林. 测量平差原理M，武汉:武汉测绘科技大学出版社，19902 武汉大学测绘学院，测量平差学科组，误差理论与测量平差基础M. 武汉: 武汉大学出版社，20033 沙月进. 最小二乘配置法在 GPS 高程拟合中的应用J. 测绘信息与工程 2000(3): 3-54 李明峰，陶本藻. 平差系统模型误差补偿的配置法J. 大地测量与地球动力学. 2004,3:11-14
