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1、MUSIC 方法求解信号谱空间方法求解信号谱空间一一. .原理：原理：1.1.阵列信号处理问题阵列信号处理问题阵列：多个天线的组合（每个天线称为一个阵元） ，这里讨论的阵元等间距的直线排列，这种阵列简称等距线阵。令空间信号与阵元的距离足够远， ，以至于其电波到达各阵 nsi元的波前为平面波，这样的信号称为远场信号。远场信号到达 nsi各阵元的方向角相同，用表示，称为波达方向（角） ，定义为信号i到达阵元的直射线与阵列法线方向之间的夹角。 nsi以阵元 1 作为基准点，令信号电波传播延迟在第 2 个阵元引 nsi起的相位差为，iiidsin2d 是两个相邻阵元之间的距离， 为信号波长。应满足，否
2、2d则相位差有可能大于，而产生所谓的方向模糊。i假设阵列由 m 个阵元组成，有 p 个信号位于远场，接收信号为)()()()()()()(1nenswAnensanxpiii其中为响应向量； , 1 ) 1(imjijaeeTiL为维观测数据向量；T mnxnxnx)(,),()(1L1m为维观测噪声向量；T mnenene)(),()(1L1mwpmjwmjwmjjwpjwjwpeeeeeeaawA)1(2)1(1)1(211111)(,),()(LLMMMLLL和分别为维方向矩阵和维信号T pnsnsns)(),()(1Lpm1p向量。阵列信号处理的问题是利用接收信号的观测值，求出某个期望
3、信号的波达方向。2 2MUSICMUSIC 方法方法做以下假设：假设 1：对于不同的值，向量 a()相互线性独立；ii假设 2：加性噪声向量 e(n)的每个元素都是零均值的复白噪声，它们不相关，并且具有相同的方差；2假设 3：矩阵 P=E非奇异，即 rank(P)=p。 ns nsH由 x(n)的表达式得：（*IAPAIwAnsnsEwAnxnxERHHHHdefxx22)()()()()()(）是对称矩阵。令其特征值分解为xxRH xxUUR式中),(22 1mdiagL由于 A 满列秩，故，这里假定。pPrankAPArankH)()(mp 于是，我们有)0 , 0 ,(22 1LLpHH
4、diagUAPAU式中是无加性噪声时的观测信号的自相关矩阵22 1,pL)(nAx的特征值。HAPA用左乘和右乘（*）式得：HUUUUUAPAUURUHHH xxH2Idiagp222 1)0 , 0 ,(LL这表明，自相关矩阵的特征值为xxR,222 2 i iimpipi , 1, 1 LL 即是说，当存在加性观测白噪声时，观测数据向量的自相关矩)(nx阵的特征值有两部分组成，前 p 个特征值等于与加性白噪声方差2 i之和，称为信号特征值；后面 m-p 个特征值全部等于加性白噪声2的方差，称为噪声特征值。特征矩阵 U 的列向量分为信号特征向量和噪声特征向量：U=GSM,1111mppmpp
5、 uuggGuussSLLLL由于 U 是酉矩阵，故IGGSS GSGSUUHHHH H M即有HHSSIGG因为 GIOGSG GSGSGRHHxx2 MM且 GGAPAGRH xx2故 =OGAPAH进而有 =OGAPAGHH故有=O GAH(w)G=, HaT0p,1L故可定义一种类似于功率谱的函数：)()(1)(waGGwawPHH上式取峰值的 p 个值给出 p 个信号的波达方向，p,1Lp, 1L视为噪声子空间方法。上式也可写为，为信号子空间方法。)()(1)(aSSIapHH执行 MUSIC 算法是选择噪声子空间还是信号子空间方式，决定于 G 和 S 中哪一个具有更小的维数。除了计
6、算量有所不同外，这两种方式并没有本质区别。改进的 MUSIC 算法的谱 P(w)由下式计算：)()()()(waGGwawaUawPHHH)式中H kkpkkkssU 1222)找出 P(w)的 p 个峰值，它们就是待求的 MUSIC 估计值。p,1L二二 程序程序见 chengxu03.m三三 仿真结果如图：仿真结果如图：00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.524681012music改 改改 改 /Hz改 改 改 P(w)00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.50.20.40.60.811.21.41.61.8改 改 mus
7、ic改 改改 改 /Hz改 改 改 P(w)四四 结果分析结果分析在本题中，观测数据是由产生的，其中 e(n)是)()213. 02sin(2)2 . 02sin(20)(nennnx均值为 0，方差为 1 的高斯白噪声，n=1,，128。在程序中可分别用一般的 MUSIC 方法和改进的 MUSIC 方法估计了信号的频谱，从仿真波形中我们可以清晰的分辨出在中心频率附近两个信号的不同，两个信号的中心频率不同，且幅值也不同。Music 谐波恢复方法中需注意的问题：（1）阵元个数与快拍次数之和要小于等于 128；（2）Music 谐波恢复方法为减少计算量，应选择噪声空间和信号空间中维数较小的一个。在本次作业中，通过对算法的理解以及用 matlab 语言去实现算法的每个步骤，我对 matlab 的有关语法知识有了更进一步的掌握。完成这次作业遇到了很多难题，例如关于观测数据矩阵的是实还是复的问题，由于考虑不周全使得改进型得到的功率谱出现了负值的情况，经过认真修改终于解决了此问题；也花费了不少时间，关键是自己的编程能力太差劲，我会再多下功夫学习 matlab 编程语言。
