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1、CAPMCAPM 模型的两种推导方法模型的两种推导方法内容摘要内容摘要：本文总结了两种推导 CAPM 模型的方法，分别从 Markowitz 证券组合选择理论、单个证券被选择的最优条件（Sharpe 的证明）得到 CAPM 模型的结果。上述方法从不同层面，不同角度得到了同样的结果。Markowitz 证券组合选择理论从个人优化的角度出发，个人追求效用最大化，选择投资组合；Sharpe 从证券被选择要满足的条件出发。这两种推导方法有助于我们更好地理解 Markowitz 证券组合选择理论与 CAPM 模型之间的联系。关键词关键词：CAPM 模型，Markowitz 证券组合，一、由一、由 Mar
2、kowitzMarkowitz 证券组合选择理论推出证券组合选择理论推出 CAPMCAPM 模型：模型：Markowitz 证券组合选择理论研究的是这样一个问题：一个投资者同时在许多种证券上投资，如何选择各种证券的投资比例，使得投资收益最大，风险最小。在这个问题上，Markowitz 的巨大贡献在于他将收益和风险这两个模糊的经济学概念明确的表示为具体的数学概念。将证券的收益率看做一个随机变量，收益就定义为这个随机变量的数学期望，风险定义为这个随机变量的标准差。那么证券组合选择问题就归结为一个数学问题：选择什么样的证券投资比例使得随机变量的期望最大，标准差最小。这样，Markowitz 的问题（
3、均值-方差证券组合选择问题）就表示为：这里，表示 与之间的协方差矩阵，,1,2,1,2,()( ,)iji jniji jnVVCov r rLLVirjr是正定的，即对任何，有，这就排除了这种证券中存在无风V0w 0Tw Vw n险证券的情况。Markowitz 证券组合选择理论的基本结论就是：在证券允许卖空的情况下，组合前沿是一条双曲线的一支；在证券不允许卖空的情况下，组合前沿是若干段双曲线段的拼接。组合前沿的上半部称为有效前沿。若证券组合中包含无风险证券，那么，假设除上述种证券外，另外还有n2,1121122min.1n T pijij i jT n T pnnw VwV wwstw e
4、www wwww L L第种证券为无风险证券，并且它的无风险利率为常随机变量。于是组合将0fr定义为满足：的，记0121nwwwwL0w1w2wLnw，从而：01122pfnnw rwwwL1122()()()()T pfffnnffrwrwrwrwrL组合的方差显然仍为。那么，在含有无风险证券的情况下的2T pw VwMarkowitz 问题变为2,1minn T pijij i jw VwV ww1122.()()()()T pffffnnfstrwrwrwrwrL形式上比不含有无风险证券的 Markowitz 问题少了一个约束条件，这是个二次规划问题，用 Lagrange 乘子法求得其解
5、：( , )()()TT fpfL ww Vwwrr其解 满足的充要条件为：ww( , )2()fL wVwrw ( , )()()TpffL wrwr由此可解得：；1 1()()()()pf fT ffrwVrrVr 221()()()Tpf T ffrw VwrVr这就是说，与之间在平面上的双曲线关系在这种情形下退()pfr( ,) 化为两条直线：11/2()()()pf pT ffrrVr由于必须为正，所以这两条直线只有右边的半条射线，相交于轴上的p点。上半条射线是有效前沿，下半条射线是无效前沿。并且，从经济意义上fr看，无风险利率与总体最小风险组合的期望收益率相比应该要小，否则投资fr
6、者不会投资于风险证券而只投资于无风险证券。如上所述，含有无风险证券的投资组合的有效前沿是一条射线，称为资本市场线：，这意味着如下关系：11/2()()T pfffprrVr。左端的比值称为 Sharpe 比，用来衡量风险11/2()()()pfT ff prrVr效益，即因承担风险而可能带来的收益。含有无风险证券的投资组合的有效前沿的特点就在于其上的 Sharpe 比是常数，它完全由各风11/2()()T ffrVr险证券的期望收益率和它们之间的协方差矩阵决定。同时，有效前沿射线V与余下的风险证券组合的有效前沿相切于一点。因此，在这条射线上(,)mm的每一点所对应的期望收益有： 11/2()(
7、)()()pfmfT ff pmrrrVr整理可得： ，其中，。这说明对应各种有()pfpmfrr/ppm正的证券组合总存在有同样收益的有效前沿上的组合，上式也可以理解为与之间的关系，它的图像也是一条直线，称为证券市场线。pp这个等式具有 CAPM 的形式，但并不是 CAPM，下面我们通过二基金分离定理来推导出 CAPM 模型。因为 Markowitz 问题的解是对于线性方程组的求解。所以解的集合满足“叠加原理” ，即极小风险组合的仿射组合仍然是极小风险组合，写成数学形式就是下面的二基金分离定理：设组合和分别是均值-方差组合选择问题的对于期望收益率分别为pwqw和的解，并且。同时，上述推导的假
8、设成立，那么是极小风险pqpqw组合的充分必要条件为存在实数，使得。如果和都是(1)pqwwwpwqw有效组合，而在 0 和 1 之间，那么，也是有效组合。(1)pqwww上述定理的经济学意义在于：如果投资者的证券投资决策就是要根据他本人的财力和风险承受能力在均值-方差问题的最优解中选取一点，那么他考虑全体证券组合与考虑证券的两种组合的组合是一样的。这两种组合在现实证券市场中可能就是两种业绩良好的共同基金。因此，也就是说，投资者不必考虑全体证券如何组合，只需考虑如何搭配这两种基金的组合即可。有了二基金分离定理，我们就可以由两个极小风险组合的组合生成 n 种证券的整个组合前沿，如果这两种组合看成
9、两种证券，也可以推出同样的组合前沿。 定理：设和是两种证券，并且它们的期望收益率，那么任pqpq何证券 不改变和所生成的组合前沿的充分必要条件为：存在实数，ipqR使得；(1)ipq ( ,)(1)()( ,)ipppqCov r rVar rCov r r( ,)(1)( ,)( )iqpqqCov r rCov r rVar r有上述定理的推论就得到 CAPM 模型:推论：设证券和满足上面定理的假设，并且。那么任何pq( ,)0pqCov r r证券 不改变和所生成的组合前沿的充分必要条件为其收益率 满足下列ipqir“一般资本资产定价模型”：，( )()( ( )()p ipiqpE r
10、E rE rE r；特别是当证券为“市场组合”时，并把记做，( ,)/( )p iiqqCov r rVar rpmqx上式就变为零资本资产定价模型，( )( )( ()( )iximxE rE rE rE r；当证券是无风险证券时，就变为通常的资本资产定( ,)/()iimmCov r rVar rx价模型，。( )( ()ifimfE rrE rr( ,)/()iimmCov r rVar r如果上述市场组合有效，那么上述定理推论中的就适用于这一市场组合。m对此，Sharpe 认为：如果假设所有投资者都是“理性投资者” ，并且他们的投资决策都是按照“均值-方差”的原则来进行的，那么每个投资
11、者的证券选择都形成一个有效组合。而两个有效组合的证券合在一起，一定也形成一个有效组合。这是因为它刚好形成这两个有效组合的凸组合。由此也可以导得有限个投资者的所有证券合在一起形成的证券组合也是有效的；尤其当市场组合式有效的时候。综上所述，我们就由 Markowitz 证券组合选择理论推出二级分离定理并最终得到了 CAPM 模型的结果。二、二、SharpeSharpe 证明的证明的 CAPMCAPM 模型模型: :Sharpe 的证明基于这样的思想：对于任何市场中的证券（或证券组合） ，i它与市场组合的组合所形成的风险-收益双曲线必定与资本市场线相切于市场m组合所对应的点上。(,)mm考虑一个证券
12、组合，若某种风险资产 被选择，投资于 上的比例为，piiix投资于其他资产也就是市场组合的比例为，这样的证券组合的期望收益和1ix标准差为：(1)pi iimrx rx r22221/2(1)2 (1)piiimiiimxxxx所有这样的投资组合都位于连接 和的直线上：pimp im idrrrdx；22222221/22 (1)2 (1)piimimimiimiiiimiiimdxxx dxxxxx 得到连接的直线的斜率就是：；im/ppippidrdrdxdddx所以有：；22221/2222()(1)2 (1) 2pimiiimiiimpiimimimiimdrrrxxxx dxxx 在直线的端点处，代入于是有：；im0ix 2()pimmpimmdrrr d 又因为点在 CML 直线上的斜率与的直线的斜率应相等，于是有：mim；2()mfimmimmmrrrr 整理可得：，；2()mf ifimfimf mrrrrrrr2im i m于是得到了 CAPM 模型的结果。参考文献参考文献（1）博迪，凯恩，马斯库 投资学 北京：机械工业出版社，2005（2）戈登J亚厉山大，威廉F夏普等 投资学基础 北京：电子工业出版社，2003
