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1、教师：何玉杰圆圆章节知识点复习章节知识点复习一、圆的概念一、圆的概念集合形式的概念：集合形式的概念： 1、 、圆圆可以看作是到定点的距离等于定可以看作是到定点的距离等于定长长的点的集合；的点的集合；2、 、圆圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定的外部：可以看作是到定点的距离大于定长长的点的集合；的点的集合；3、 、圆圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定的内部：可以看作是到定点的距离小于定长长的点的集合的点的集合轨轨迹形式的概念：迹形式的概念：1、 、圆圆：到定点的距离等于定：到定点的距离等于定长长的点的的点的轨轨迹就是以定点迹就是以定点为圆为圆心，定心，定长为长为半径的半径的圆圆； ；（
2、（补补充）充）2、垂直平分、垂直平分线线：到：到线线段两端距离相等的点的段两端距离相等的点的轨轨迹是迹是这这条条线线段的垂直平分段的垂直平分线线（也叫中垂（也叫中垂线线）；）；3、角的平分、角的平分线线：到角两：到角两边边距离相等的点的距离相等的点的轨轨迹是迹是这这个角的平分个角的平分线线； ；4、到直、到直线线的距离相等的点的的距离相等的点的轨轨迹是：平行于迹是：平行于这这条直条直线线且到且到这这条直条直线线的距离等于定的距离等于定长长的两条直的两条直线线； ；5、到两条平行、到两条平行线线距离相等的点的距离相等的点的轨轨迹是：平行于迹是：平行于这这两条平行两条平行线线且到两条直且到两条直线
3、线距离都相等的一条直距离都相等的一条直线线。 。二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系1 1、点在圆内、点在圆内 点点在圆内；在圆内；drC2 2、点在圆上、点在圆上 点点在圆上；在圆上；drB3 3、点在圆外、点在圆外 点点在圆外；在圆外；drA三、直线与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系1 1、直线与圆相离、直线与圆相离 无交点；无交点；dr2 2、直线与圆相切、直线与圆相切 有一个交点；有一个交点；dr3 3、直线与圆相交、直线与圆相交 有两个交点；有两个交点；drdrd=rrd四、圆与圆的位置关系四、圆与圆的位置关系外离（图外离（图 1 1） 无交点无交点 ；dRr外切（图外切（图
4、2 2） 有一个交点有一个交点 ；dRr相交（图相交（图 3 3） 有两个交点有两个交点 ；RrdRr内切（图内切（图 4 4） 有一个交点有一个交点 ；dRr内含（图内含（图 5 5） 无交点无交点 ；dRr周 1rRd周 3rRdrddCBAO周 4rRd周 5rRd周 2rRd教师：何玉杰五、垂径定理五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论推论 1 1：（1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且
5、平分弦所对的两条弧；）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共以上共 4 4 个定理，简称个定理，简称 2 2 推推 3 3 定理：此定理中共定理：此定理中共 5 5 个结论中，只要知道其中个结论中，只要知道其中 2 2 个即可推出其它个即可推出其它 3 3 个结论，即：个结论，即：是直径是直径 弧弧弧弧 弧弧弧弧ABABCDCEDEBCBDACAD中任意中任意 2 2 个条件推出其他个条件推出其他 3 3 个结论。个结论。推论推论 2 2：圆的
6、两条平行弦所夹的弧相等。：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在即：在中，中，OABCD弧弧弧弧ACBD六、圆心角定理六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称此定理也称 1 1 推推 3 3 定理，即上述四个结论中，定理，即上述四个结论中，只要知道其中的只要知道其中的 1 1 个相等，则可以推出其它的个相等，则可以推出其它的 3 3 个结论，个结论，即：即：；AOBDOE ABDE； 弧弧弧弧OCOFBABD七、圆周角定理七、圆周角定理1 1、圆周角定理：同
7、弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：即：和和是弧是弧所对的圆心角和圆周角所对的圆心角和圆周角AOBACBAB2AOBACB 2 2、圆周角定理的推论：、圆周角定理的推论：推论推论 1 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；的圆周角所对的弧是等弧；即：在即：在中，中，、都是所对的圆周角都是所对的圆周角OCDCD 推论推论 2 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对
8、的弧是半圆，所对的弦是直OE DCBAOCDABFEDCBAOCBAODCBAOCBAO教师：何玉杰径。径。即：在即：在中，中，是直径是直径 或或OAB90C 是直径是直径90CAB推论推论 3 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在即：在中，中，ABCOCOAOB是直角三角形或是直角三角形或ABC90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。的一半的逆定理。八、圆内接四
9、边形八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在即：在中，中，O四边形四边形是内接四边形是内接四边形ABCD 180CBAD180BD DAEC 九、切线的性质与判定定理九、切线的性质与判定定理（1 1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：即：且且过半径过半径外端外端MNOAMNOA是是的切线的切线MNO（2 2）性质定理：切
10、线垂直于过切点的半径（如上图）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论推论 1 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论推论 2 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：以上三个定理及推论也称二推一定理：即：即：过圆心；过圆心；过切点；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理十、切线长定理切线长定理：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长
11、相等，这点和圆心的连线平的连线平分两条切线的夹角。分两条切线的夹角。即：即：、是的两条切线是的两条切线PAPBCBAOEDCBANMAOPBAO教师：何玉杰PAPB平分平分POBPA十一、圆幂定理十一、圆幂定理（1 1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在即：在中，中，弦弦、相交于点相交于点，OABCDPPA PBPC PD（2 2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。项。即：在即：在中，中，直径直
12、径，OABCD2CEAE BE（3 3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在即：在中，中，是切线，是切线，是割线是割线OPAPB 2PAPC PB（4 4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。即：在即：在中，中，、是割线是割线OPBPEPC PBPD PE十二、两圆公共弦定理十二、两圆公共弦定理
13、圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：如图：垂直平分垂直平分。12OOAB即：即：、相交于相交于、两点两点1O2OAB垂直平分垂直平分12OOAB十三、圆的公切线十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：两圆公切线长的计算公式：PODCBAOEDCBADECBPAOBAO1O2CO2O1BA教师：何玉杰（1 1）公切线长：）公切线长：中，中，；12Rt OO C2222 1122ABCOOOCO（2 2）外公切线长：）外公切线长：是半径之差；是半径之差； 内公切线长：内公切线长：是半径之和是半径之和 。2CO
14、2CO十四、圆内正多边形的计算十四、圆内正多边形的计算（1 1）正三角形）正三角形 在在中中是正三角形，有关计算在是正三角形，有关计算在中进行：中进行：；OABCRt BOD:1:3:2OD BD OB （2 2）正四边形）正四边形同理，四边形的有关计算在同理，四边形的有关计算在中进行，中进行，：Rt OAE:1:1:2OE AE OA （3 3）正六边形）正六边形同理，六边形的有关计算在同理，六边形的有关计算在中进行，中进行，. .Rt OAB:1:3:2AB OB OA 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1 1、扇形：（、扇形：（1 1）弧长公式：）弧长公式：；180n RlDCBAOECBADOB AOSlBAO教师：何玉杰（2 2）扇形面积公式：）扇形面积公式： 21 3602n RSlR：圆心角：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长：扇形弧长 ：扇形面积：扇形面积nRlS2 2、圆柱：、圆柱： （1 1）圆柱侧面展开图）圆柱侧面展开图= =2SSS侧表底222rhr（2 2）圆柱的体积：）圆柱的体积：2Vr h（2 2）圆锥侧面展开图）圆锥侧面展开图（1 1）= =SSS侧表底2Rrr（2 2）圆锥的体积：）圆锥的体积：21 3Vr h周 周 周周 周 周 周 周 C1D1DCBAB1RrC BAO
