《高三数学：第2章《数列》练习(新人教B版必修5)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学：第2章《数列》练习(新人教B版必修5)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用心 爱心 专心专题研究：数列的求和专题研究：数列的求和例题解析例题解析【例例 1】 求下列数列的前 n 项和 Sn：(1)(2)1 3(3)111111 221 431 81 2 2 31 32 31 32 31 32 3 1 21 21 41 21 41 2234562121，；，；， ， ， ，()nnnnn解解 (1)S =11 2= (123n)n21 431 81 2 1 21 41 81 2 ()()nnn=n(n+1) 2=11 211 211 2 1 21 2()()nnn n(2)S =1 3= (13+1 3+1 3) +(2 3+2 3+2 3)n32n-1242n2
2、31 32 31 32 3234212nn=1 3()()()11 311 32 311 311 3 5 811 3222222nnn(3)先对通项求和a =1S = (222)(1+1 4+1 2)nnn-11 21 41 221 2 1 211 nn= 2n(1+1 4+1 2)= 2n2n-1 1 2 1 21n用心 爱心 专心【例例 2】 求和：(1)1 1+1 23+1 34+(2)1 1(3)1 221 151 371 591 21 2351 581 8111 31 32n nnnnn()()()()()解解 (1)1 n(n +1)11 1 1 11 21 21 31 31 41
3、1 1nnSnnn()()()()11 11n n n(2)1 (2n1)(2n +3)S =n1 41 211 23 1 411 51 31 71 51 91 23 1 211 211 23()nnnnnn=1 411 31 211 23 45 3 21 23() ()() nn nn nn(3)1 (3n1)(3n +2)S =1 3n1 31 311 32 1 21 51 51 81 81 111 311 32()()()()()nnnn=1 3()1 21 3264n n n【例例 3】 求下面数列的前 n 项和：1147(3n2) ， ， ，11121aaan用心 爱心 专心分分析析
4、 将数列中的每一项拆成两个数，一个数组成以为公比的等1 a 比数列，另一个数组成以 3n2 为通项的等差数列，分别求和后再合并 解解 设数列的通项为 an，前 n 项和为 Sn则 a =1 a(3n2)S =147(3n2)nn 1n()111121aaan当时，当 时，a =1S = na1S =11 a11 annn()()()132 23 2132 2131 221 nnnnnna aannnnn说明说明 等比数列的求和问题，分 q=1 与 q1 两种情况讨论【例例4 4】 a =k (kN*)aaak设，则数列，12357222123的前 n 项之和是 ABCD6 13 16161 2
5、n nn nn nn n ()()解解 bb =nn设数列，的通项为则35721123aaa n an又a =12n =n(n1)(2n1)b =6 n(n +1)= 6(1 n1 n +1)n222n1 6数列bn的前 n 项和 Sn=b1b2bn= 6= 6=6n n +1(A)()()()11 21 311 21 311 111 1选nnnn【例例 5】 求在区间a，b(ba，a，bN)上分母是 3 的不可约分数之和用心 爱心 专心解解法法一一 ab3a1a2b1区间 ，上分母为 的所有分数是， ， ， ，它是以为首项，以为公差的等差数列3 331 332 3 34 335 332 33
6、1 33 3 3 31 3aaaaabbba项数为 ，其和3b3a1S =1 2(3b3a1)(ab)其中，可约分数是 a，a1，a2，b其和 S=1 2(ba1)(ab)故不可约分数之和为SS=1 2(ab)(3b3a1)(ba1) =b2a2解法二解法二 S =3a +1 3+3a +2 3+3a +4 3+3a +5 3+3b2 3+3b1 3 而又有 S=(a)(a)(a)(a)(b)(b)S=(b)(b)(b)(b)(a)(a)1 32 34 35 32 31 3 1 32 34 35 32 3 1 3两式相加：2S=(ab)(ab)(ab) 其个数为以 3 为分母的分数个数减去可约
7、分数个数 即 3(ba)1(ba1)=2(ba) 2S=2(ba)(ab) S=b2a2【例例 6】 求下列数列的前 n 项和 Sn：(1)a，2a2，3a3，nan，(a0、1)；(2)1，4，9，n2，；(3)1，3x，5x2，(2n1)xn-1，(x1)(4)1 22 43 82，nn解解 (1)Sn=a2a23a3nan a0用心 爱心 专心 aSn=a22a33a4(n1)annan+1SnaSn=aa2a3annan+1 a1()()() ()11 1 1 11121 a Saa anaSaa ana ann nnnn(2)Sn=149n2 (a1)3a3=3a23a1 2313=
8、3123113323=3223214333=332331n3(n1)3=3(n1)23(n1)1(n1)3n3=3n23n1把上列几个等式的左右两边分别相加，得(n1)313=3(1222n2)3(12n)n= 3(123n )n222231 2n n() 122232n2=(n1)1n=n3n3nn3321 331 2 1 331 2 n nn n()()=n(2n3n1)=n(n1)(2n1)21 6 1 6(3) Sn=13x5x27x3(2n1)xn-1用心 爱心 专心 xSn=x3x25x3(2n3)xn-1(2n1)xn两式相减，得(1x)Sn=12x(1xx2xn-2)(2n1)
9、xn=1(2n1)x=(2n1)xS =(2n1)xnn+1nn+121 1 211 1 211 112x x x nxx x nxx xnnn()()()()() () (4) S =1 2n2 23 22 1 21 22 23 22232341nSnnnn两式相减，得 1 21 21 21 21 22 1 211 211 222311Snnnnnnn()11 22 1 2211nnnnnn S = 2n说明说明 求形如anbn的数列的前 n 项和，若其中an成等差数列，bn成等比 数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法体现了化归 思想【例例7 7】 a nSS =n
10、nn设等差数列的前 项和为，且，()an1 22nN*，若 bn=(1)nSn，求数列bn的前 n 项和 Tn分析分析 求bn的前 n 项和，应从通项 bn入手，关键在于求an的前 n 项和 Sn， 而由已知只需求an的通项 an即可解解法法一一 a S =n =1a = (a 2)a =1nn112 1是等差数列，当时，解得()an1 2 12用心 爱心 专心当时，解得或当时，由，解得或n = 2aa = (a)a = 3a =1n = 3aaa = (a)a = 3a = 5a =1222 2212332 2331 2 1 23，由 a2=1，解得 a3=1又 ， ， ，舍S =0 a =
11、1a =3a =1()n233()an1 22即 a1=1，a2=3，a3=5， d=2an=12(n1)=2n1Sn=135(2n1)=n2bn=(1)nSn=(1)nn2Tn=12223242(1)nn2当 n 为偶数时，即 n=2k，kN*Tn=(1222)(3242)(2k1)2(2k)2=37(4k1)=3+(4k1)k 2 = (2k1)k=n n() 1 2当 n 为奇数时，即 n=2k1，kN*Tn=12223242(2k1)2=12223242(2k1)2(2k)2(2k)2=(2k1)k(2k)2 =k(2k1)=T = (1)nN*nS =(a +a )n 2annn1n n也可利用等差数列的前 项和公式，求n nn n()()1 2 1 2用心 爱心 专心解解法法二二 n =1a = (a) a =1S =n(a +a )112 1n1n取，则又可得：1 221 21 22()()anann an1 an=2n1 以下同解法一说明说明 本题以“等差数列”这一已知条件为线索，运用方程思想，求数列an 的通项 an，在求数列bn的前 n 项和中，通过化简、变形把一般数列的求和问题转化为等差数列的求和问题由于(1)n的作用，在变形中对 n 须分两种情况讨论
