《深入研究教材,探明赛题考向——溯源与评析2013年安徽省高中数学竞赛中的数列题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《深入研究教材,探明赛题考向——溯源与评析2013年安徽省高中数学竞赛中的数列题（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 一南 2 0 1 4年 3月 深入研究教材， 探明赛题考向 溯源与评析2 0 1 3 年安徽省 高 中数 学竞赛 中的数 列题 中国科技大 学附中 黄严 生 数列是高中数学的主干知识 ， 是中学数学中典型的 离散数学模型 ， 是一种特殊的函数模型， 也是进一步学 习高等数学的基础 因此 ， 数列是每年高中数学竞赛必 考内容 ，且考查深刻 2 0 1 3 年全国高中数学竞赛安徽初 赛试题中第4 题和第1 2 题，分别从不同角度和深度考查 了数列知识 经过仔细分析， 这两道题与新课标人教版 教材的习题有密切的联系 其实， 通过对教材中例题、 习 题进行改编 、 改造而形成的考题 ， 在高中数学竞
2、赛和高 考试卷中屡屡出现 为此， 高 中数学教师应积极引导学 生对教材中有价值 的问题进行研究 ， 让学生在 自主探究 中体会数学的奥妙， 感悟数学思想方法， 发现其中规律 ， 感受到学习数学的乐趣 从而能有效地激发学生 自主学 习数学的积极性， 更好地培养学生的 自主探究精神和创 新意识 一、深入研究 ， 开发教材 资源 人教版必修5 第二章复习参考题B 组第6 题 ： 已知数 列 中， a l ： 5 ， a z = 2 ， = 2 一 + 3 ( n 3 ) ， 对这个数列的 通项公式作一研究 ， 能否写出它的通项公式? 1 配 凑 法 此题是一道典型的数列题 ， 它既不是等差数列也不
3、是等比数列，没有现成的公式能求出数列的通项公式， 解决起来有一定难度 ，但通过对题 目的条件进行观察、 分析， 可以发现一些规律 = 2 + 3 2 可以变形为 + 一 。 = 3 ( 一 + 一 ： ) ， 从而就可以构造出数列 + 一 ， 显然数列 a n + a , 是一个以3 为公比， a z + a 1 = 7 为首项的等比数列 ， 从而可以求出 + 。 = 7 x 3 虽然如此 ， 但还是没有解决数列 的通项公式 还 可以将a = 2 a l + 3 0 形为 3 _ 1 = 一 ( l 一 3 a _ 2 ) ，又能构 造 出数列 一 3 a 一 ， ， 数列 一 3 一 是 以
4、一 1 为公 比， 一 3 0 。 = 2 1 5 = 一 1 3 为首项的等比数列， 所以， 一 3 ( 一 1 ) 。?敷 - ?高中版 1 3 由和 ， 得= _ 1 7 3 + l 3 ( 一 1 ) 以上虽 4 然能求出数列 的通项公式 ， 但这样的配凑 ， 技巧性 强， 学生不易发现， 对学生思维品质要求较高， 但对那些 基础薄弱、 缺乏探究精神、 创新意识不强的学生来说 ， 就 很难发现其中规律， 也就不能有效地构造出两个等比数 列， 更谈不上对问题进行解答 另外， 本题中 、 小 之 间关系简单 ， 其规律易于发现 ， 但在很多情况下， 所给出 的关系式往往是不能一眼看出其中的
5、规律的， 就不能有 效地配凑 ， 因此 ， 必须另辟蹊径 ， 寻求一般规律 2 待定 系数法 上面的配凑法 ， 实质是将 二阶线性递推关 系a n = 2 一 】 + 3 - 2 中的2 a n - 】 、 3 _ 2 进行适 当拆分 ， 化成 + 一 = 3 ( 一 + ) 和一 3 a 一 ( a n _ 厂 3 a _ 2 ) 来构造新数列 该数列 是典型的文1 中研究的 型数列，从而可利用 待定系数法得到上面两种构造 设a n o t a 一 。 ( - 厂 O t a n _ 2 ) ， 将其进行变形与题设中递推公式进行 比较， 便可求得O l = 3 ， = 一 1 或O r =
6、一 1 ， 卢 = 3 ， 从 而得 到a + a n l = 7 3 一， 一 3 a 一 1 = ( 一 1 ) 1 3 利用待定系数法求解 ， 不但避免了观察配凑， 淡化了特殊技巧， 而且还体现了转化与化归 、 方程等数 学思想方法 ， 是解决二阶线性递推数列的一般方法 3 特征根法 对于二阶线性递推数列 ， 根据递推关系 = 一 。 + 得到特征方程 = k x + t 的根若 、 X 2 是特征方程的两 根， 则0 ， I： A l ，卜 + x ( 其中A 由0 1 、 确定) 由 = 2 一 + 3 ， 可知数列 的特征方程为 。 = + 3 ， 从而求得其特征根为 。 = 3
7、， X 2 ： 一 1 ， 进而设= A 3 + ( 一 1 ) ， 将 眈 的值代入， 求得A = ， = ， 所以， = 7 + 1 3 ( _ 1 ) 4 反 思与整 合 配凑法 、 待定系数法 、 特征根法 ， 三种方法本质相 2 0 1 4年 3月 备考指南 同 ， 待 定系 数法是 利用 设参 数 ， 根 据条 件 ， 得剑 结果 特 征根法是待定系数法的进一步延伸 ， 总结和提炼得到求 该类数 列通项公式的通法 一般地， 在数列 a n 中， a l = p， = g ， 且 + f ( p、 q 、 、 为常数 ，且都不等于0 ) ， 、 X 2 是特征方程 = k x + t
8、 的 两个根( 若 、 是共轭复数 ， 其辐角0 ( 一 叮 r ， 耵 ) ( 1 ) 若 l 则 = A g ln - I + r e X 2 n ， 将a 1 ， a 2 = q 代人 ， 可得A 4 a ( 可以用待定系数法证明) ( 2 ) 若 ： = k， 1 k 2 = - 4 t , a = k 一 k 2 之 ， 一告 k k 、 l 一 an - 2) 当 一 k。 = o t ，数 列 是 公 比 为 告 的 等 比 数 列 ； 当 一 告 o 时 ，数 列 一 k )是 以 为 公 比 ， 啦 一 a 。为 首 项 的 等 比 数 列 ，则 一 。= ( ) (q 一
9、) 令 6 = ， 所以 ， b n - 6 = g k p ， 因 此， 数 列 b 是 等 差 旦 2 P+ ( n _ 1 ) _ 1 ) k p 2 _一 = 2+ ( n 1 ) (g 一 2 ) ， 所以， = f 。 “ + c n 一 ， (q - ( ) 上面的结论能有效地解决二阶线性递推数列问题 ， 利用特征方程 ， 就不难求出文1 例3 中数列的通项公式 二、 赛题溯源与分析 2 0 1 3 年全 国高中数学竞赛安徽赛 区初赛试题第4 题 ： 设数列 满足a ： = 1 ， = 、 了 a n _ 广之 ( n I3 ) ， 则 o2 0 1 3 J 此题与上面讨论 的教
10、材中的习题类似 ， 递推公式的 形式结构相同， 教材习题 中的数列递推公式为 = 2 一 + 3 m， 其特征方程有两个不等实根， 该竞赛题的特征方程 没有实根 ， 这两道题其本质是没有区别的 下面给出两 种解决方法 试 究 解 法 1 ：由条 件得 特征 方 程 =x 3 一 1 ，解 得 = X 一+ i +。 。 =V - 3 -一-i =COS l sl n - - COS 6 6 (一 6 ) + 十 ， ， = l一 + 2 2 is in ) 故 设 =A(c 。 s 詈 + is in 詈 ) + c 。 s (一 詈 ) + is in (一 詈 ) 一 1 将 。 = =
11、代 入， 得 A = 1 一 ( 2 一 ) i 1 + ( 2 一 ) i _ 一， 一 所 以= r r + i s i n“一a“ ) + 一1 + ( 2 -一X -3 )i c o s ) + isin 。 一1 - ( 2 -一V 3 -i ) (c 。 s 詈 + is in 詈 ) 2+ 二 c o s (一 詈 )+ isin ：1 - ( 2 - 3 - ) i f c 。 s 2 0 12 w + i s in 2 0 1 21 + 2 6 6 一 卜 is in ) 一 【。 。 I 一 J+ “ I 一 川 ：1 - ( 2 - V3) i f c o s 一 i s
12、 i 1 + 1 + ( 2 - X 3) i 2 3 3 2 s詈 劬詈 解 法2： 。 1 = =1 ， a 3 =x 3。 2 一。 l =x 31， a4 =、 了 一 = 、 了 ( 、 了一 1 ) 一 1 = 2 一 、 了 ， 妈= ( 2 一 ) 一 ( 一 1 ) = 一 2 ， 、 了 ( 、 了一 2 ) 一 ( 2 一 、 了 ) = 1 一 、 了 ， 嘶= ( 1 一 ) 一 ( 一 2 ) = 一 1 ， 魄= ( 一 1 ) 一 ( 1 - ) = 一 1 ， ( 一 1 ) 一 ( 一 1 ) = 1 - ， 0 o = = 、 了 ( 1 一 、 了 )
13、一 ( 一 1 ) = 、 了一 2 ， a l l = ( 一 2 ) 一 ( 1 一 ) = 2 一 ， 。 2 = 、 了 ( 2 一 、 了 ) 一 ( 、 了一 2 ) = 、 了一 1 ， 0 ；1 3 = ( 一 1 ) 一 ( 2 一 ) = 1 ， a1 4 =、 了一 ( 、 了一 1 ) = 1 ， = + 1 2 ， 高 中 版十7 擞-7 萋 堂一南 0 2 0 1 3 = a l 6 7 l 2 + 9 = 口 9 = 1 一 V 3 解法1 是用特征根法求出数列的通项公式 ， 解法2 是 通过计算前几项发现该数列是周期数列 ，要计算1 2 项， 即计算到 ， 才能
14、发现得 ll a = ， 进而求出a 2 o 。 ， 如果周 期很大 ， 利用解法2 计算量更大 ， 计算的项数就越多 ， 在 这种情况下利用解法2 是不现实的， 因此， 利用特征根法 求解是解决二阶线性递推数列常用的方法 当特征方程 没有实根时 ， 其特征根 、 X 2 是共轭复数 ， 三角形式分别 寸 I = r ( c o s O + i s i n O ) ， 2 = r c 0 s ( 一 O ) + i s i n ( 一 0 ) ( r 0 ， r 为 l 、 2 的模 ， 0 ( 一 百， 1 T ) ， = A 一 C O S ( n 一 1 ) O + i s i n ( n 一 1 ) 0 + C O S 一 ( n 一 1 ) O + i s i n 一 ( n 一 1 ) 0 ， 根据复数 的运算 也能得到数列 是以 10 1为周期 的数列 在理论上 ，这种 方法 能解决 一切特 征方程有 两个 不等根 的数 列 的 通项公式 ，
