《研究高考试题 增强有效复习——2010年高考数学浙江卷文科第22题的教学应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《研究高考试题 增强有效复习——2010年高考数学浙江卷文科第22题的教学应用（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高 中 高考研究 浙江省瑞安 中学 ( 3 2 5 2 0 0 ) 黄慧军 高考 试题不仅具有考试选拔甄别功能 ， 而且还具 有很好的教学功能， 因为高考试题是命题专家潜心研 究 、 匠心独运 的结果 ， 考题往往具 有较强 的原创性 ， 有 利于考查 学生的研究 意识 和创 新精 神 当然 ， 原 创 性 较强 的高考试 题也不 是无 本之 木 、 无 源之 水 ， 优 秀 的 试题 往往是“ 题在书外 ， 根在 书 中” 这些 试题 原 型要 么来 自于教材 ， 要 么来 自于竞赛 ， 还 有一些 来 自于过 去的高考题， 2 0 1 0年高 考数学 浙江卷文科第 2 2题 解析几何题，
2、给人似曾相识的感觉， 仔细推敲， 其 原型就是人教版选修 1一l习题2 3 B组第2题： “ 过抛 物线 =2 p ( P O )的焦点 F作弦 A B ， 过线段 A B的 中点 作 轴的平行线交抛物线的准线 f 于点 C， 求 证 ： A C上 B C ”为此 ， 笔者准备 围绕这一 主线 ， 结合 教 材中这道练习 题 ， 设 计 一节 “ 抛物 线 的焦 点 弦性 质 ” 复习课 ， 同时进行 一些 变式 探究 训 练 ， 会 收到事 半 功 倍 的效果 1 性 质研 究 结合教材练习 题设 置开 放式 的 问题情 境 让学 生 自主探究 问题情境： 过抛物线Y =2 p x ( p0
3、 )的焦点 F作 弦 A B， M 是 线 段 A B 的 中 点 ，分 别 过 A( ， Y ， ) ， B ( x 2 ， ， 2 ) ， M( o ， Y o )作 轴 的平 行线 ， 依 次交抛 物线 的 准线 l 于点 A ， 日 l ， E为准 线与 轴 的交点 ， 连结 F， B 。 F， F， A N和 B N( 如 图 1 ) ( 1 )你能尽可能 多地找 出点 ， 曰， 的坐标所 满 足的等量关系吗? ( 2 )你能否尽可能多地找 出图中各线段存在着 的垂直关系? I 中 小学 数学坤 学 版l- 2 2题的教学应用 ( 3 )你还能发现什么结论? 开放性问题， 能激发学生
4、的思维 ， 培养学生的创 造性 可能会出现的结果 ： ( 1 ) 中 点 坐 标 公 式 ： 。 = 专 ，y 。 = 专 ； A， M， F， B四点共 线：( 一 ) y 。= ( Y 一 Y 1 ) ( 。 一 号) ； 中 点 M 的 轨 迹 方 程 ： 2 = p ( 一 号) ； 焦点弦性质： y ， Y =一P , X I X 2= ( 2 ) A l F上 B l F， A N j _ B N， A N上A l F， B N上 B l F， F上A B等 其中A N J _B N就是教材中的证明题 下 面用 几何法进行一一证 明 略证 ： 由A A 。 轴， A A l=A F
5、， 所以 A A 1 F= E 】= LA F A 同理 B 曰 轴， B B。=B F， 得 LB B l F = _ E F B L = LB F B l ，所 以厶4 l F Bl = A l F E+ B l F E =9 0 。 ， 即 A l F 上B l M N = AA l+BB AF I+I曰F 2 ，即以弦A 曰为直径为圆与准线相切于 ， AA N B =9 0。 即 A N j _B N 由M N A A 1 ， l M N J = I A M I ， 得 1 A = _ A N M = LN A M， 所 以 A N是等腰 A A F的角平分 线 ， 也是垂线 ， 即
6、A N 上A 同理 可证 B N 上 由上 可 得 AA A l N AA F N， 所 以 LA A l N = LAF N =9 0 。 ， 即 F 上 A B ( 3 ) ( 与 A F的交点 ， A B与 B F的交 点均 在 y 轴上； 以弦A B为直径为圆与准线相切于， 以A B 一6 1 焉l 中 小 学 教学坤 学 版f -l_ 为直径的圆切直线 A B于 F ， 以A F ( 或 B F) 为直径的圆 与 Y 轴相切； A B 。 与A B相交于坐标原点； ( B F， B NA F， A N， B N是抛物线的切线 等等 下 面对 进行证明 略证： 不妨设 l0 ， 则 Y
7、 l： 1 ， =一 = =一华 一 等 ，所 以 - l ， = ，所 以 A 是抛物线的切线 同理可证 B N是抛物线的切线 对于以上开放性 问题的教学 ， 教师可结合学 生的 学情 进行适 当地引导 ， 也可 以直接列出让学生解决 同时 还 可 以 证 明 一 些 常 见 的焦 点 弦 性 质 ， 如 I AB I = + ：+2 p = 113 ，s ： ( 为直线 sl 二 lI I 口 A B的倾斜角) ， + 为定值等 2 试题研究 2 0 1 0 年高考数学浙 江卷文科第 2 2 题 ： 已知 r n 是非 零实数， 抛物线 C ： y =2 p x ( p0 )的焦点 ，在直
8、l ： x my m= 0上 ( 1 )若 m =2 ， 求抛物线 C的方程 ； ( 2 ) 如 图2 ， 设直线l 与抛物线 C交于A， B两点 ， 过 A， B分别作抛物线 C的准线的垂线， 垂足为 A ， B ， AA A 。 F， AB B 。 F的重心分别为 G， H， 求证： 对任意非 零实数 m， 抛物线 C的准线 与 轴的交点在 以线段 明 为 直径 的 圆外 本题 主要 考查 抛 物线 的 几何性质 ， 直 线与 抛物 线 、 点 与圆的位置关系等基础知识， 同时考 查 解析 几何 的基 本思 想方法和运算求解 能力 学生 可能会采用如下方法 ： 方法一： 转化为点在圆外的位
9、置关系， 即去证明 准线与 轴的交点到 圆心 的距离恒大于半径 一6 2 一 高考研究 高 中 方法二： 利用向量方法， 记抛物线 C的准线与 轴 的交，点 为 ， 等价转化 为 G N H为锐 角， 即证明 N- g 0 恒成立 显然 方法一 、 二是学 生容 易想到 的常见方法 ， 但 不可否认 ， 运算量都比较大 教师在肯定学生的同时 可问学生有没有简化运算量的优美解 呢? 也可 以通 过 设置几个问题来引导学生 ： 以A B为直径的圆与准线相切吗? 切于哪个点? 以G H为直径的圆与准线有什么位置关系? ，G， N三点共线吗? ， 日， 呢? ( 如 图 3 ) 若学生掌握 了上面已证
10、的焦点弦 的一些 性质 ， 那 么这个 问题就会迎刃而解 ! 略证 ： ( 2 ) 如图3 ， 可得A N 上B N， 即以弦 A B为直径为 圆 与准线相切于 N， A N与 B N又 分别是等腰 AA A F， AB B i F 的中线 ， 所以 G在直线 A N上 ， 图 3 点日在直线 B N上， 即以线段 G H为直径的圆和以线段 A B为直径的圆与准线 都相切 于 A 曰 的 中点 ， 当且 仅当直线A B上 轴， 即z ： = 时， N与 E重合 又因为对任意非零实数 m， 直线 z ： m y一 =0与 轴均不垂直 所以对任意非零实数， 抛物线 C的准线 与 轴的交点 E在 以
11、线段 G I t 为直径的圆外 几何法充分挖掘 并巧 妙利用 了题 目中图形的特 征 ， 大大简化 了运算过程 ， 降低 了运算量 3 拓展提升 2 0 0 9年高考数学湖北卷文科第 2 0题改编： 如图 4 ， 过抛物线 Y =2 p x ( p0 )的焦点 F的直线与抛物 线相 交 于 A， B 两点 ， 肘 是 线 段 A B的 中点 ， 分 别过 A ( ， ) ， B( ， Y 2 ) ， M( 。 ， Y o )作 轴的平行线， 依次 交抛物线 的准线 于点 A ， ， ， 连 结 A ， 占 。 尸， ， AN BN 高 中 高考研究 ( 1 )记 AA A j N， AA N
12、B， AB B N 的面积 分别 为 s ， s ， s ， ， 试找出S ， S ， S 三者的等量关系 ( 2 )记 AF A A ， AF A 1 B 。 ， AF B B 的 面积分 别 为 |s ， |s ， S 6 ， 是否存在实数A ， 使得s ； = A S S 恒成立， 若 存 在 ， 求 出 A的值 ； 若不存 在 ， 说 明理 由 师生共 同分 析获取 解题思 路 ： 从直 线 A B的特殊 位置( 上 轴 ) 得 到猜想 ， 再 验证 一般 位置是 否成 立? 让学生 明白这是处理这类 开放性 问题 比较 常见 的 方法 略解： 当z 上 轴时， 易得( 1 ) S ：
13、= S + S 3 ； ( 2 ) s ； =4 S 4 S 可用解析法或几何 法验证一 般情况均 成立 下面用几何法来证明( 2 ) ， 其余略 ( 2 ) 证 明 ： 如 图 4 ， 设 直线 A B的倾角为 O t ，I A F l ：r l ， l B Fl=r 2 ， 则由抛物线的定 义 得 I A AI I=l A F 1 = r 1 ， I B B l I：l B Fl ：l “2 ， 。 。 A A l MN B Bl F A A l= ， FBBl = 订 一 ， 图 4 于 是 ，s = r ，s = s in ( 盯 一 ) = sin ，所 以 $ 4S = 1 r 2
14、 in 2 在 AF A A l 和 AF B Bl 中， 由余弦定理可得 l FAl j ： 2 一 2r 21 c o s = 2 ( 1 一 C O S O ) ， l F B l l =2 r ! 一2 r 22 c o s ( 竹一 d )=2 ( 1+C O S O t ) 由上面的结论有 A l F上 。 F， 得 s 5= 1F A 1 1 FBl I， _ ： 1 J FA J F B = 4 ， ( 1 一C O S O ) ( 1+C O S O )：r 2I r 22 s 1 n 2 a=4 S 4 S 6 ， 得证 4 设计反思 笔者 曾就 “ 高考数 学试 卷 2
15、2道 试题 中最 怕 哪类 l 中 小 学数学砷学 版l- 一 题? ”不止一次地问一些数学成绩不错的学生， 学生几 乎异 口同声地 回答 “ 解 析几何 的解答题 ! ”原 因是解 析几何试题思路虽 然清 楚 ， 思 维量 也不 大 ， 但 运算 量 大 也就是说学生处理解析 问题 的一 个最大 障碍就是 运算不过关， 特别对文科生来说， 这点尤为突出 这道 高考压轴题也不例外， 考后经过了解， 学生都普遍觉 得题意并不难理解 ， 就是 处理 点与 圆 的位置关 系， 但 真正能完 整完成 问题 ( 2 )的学生 很少 ， 迫 其原 因， 一 方 面是运算 能力不行 ； 另 一方 面是 方法 单一 ， 采用 解 析法来处理， 运算过程繁琐 因此， 在备考过程中我们 在培养他们运算能力的同时， 更应该让学生真真切切 地明白解析几何不仅仅是运用代数方法研究几何图 形 ， 更是 “ 数”与“ 形”的统 一 、 代数 与几何 的结合 因
