配方法的三个“经典”

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1、2 0 1 3 6 5 月 下 旬 ( 高 中 ) 解 题 研 究 中 小学 教学灌 一 配 方法 的三 个 “ 经典 湖南株洲县第五中学( 4 1 2 1 0 0 ) 方厚良 配方法是高中数学要求掌握的五种基本数学方 法之一 ， 在涉及二次型的各种结构变形中时常用到 笔者发现 ： 一方面， 不少教师对配方法重视不够， 认为 简单 ， 学生初中就学了， 没什么内涵和深意可挖掘； 另 一方面， 学生对配方法的掌握和运用却并不尽如人 意， 在求一元二次函数最值、 圆的一般方程化标准方 程这些常规问题都仍有学生不过关 因此 ， 将配方法 作为一种基本技能， 通过一些具体问题的演练使学生 熟悉和掌握是

2、必要的； 与此同时， 我们不应只停 留在 一招一式的操练上 ， 还可追求更 “ 高” 、 更“ 远” 、 更 “ 深”的一些东西 譬如， 从数学文化的历史、 背景和 故事中去搜寻， 从数学思维的诱发、 智慧和情趣多元 的视角去审视、 欣赏 受文 1 启发， 本文撷取中学教 材中配方法的三个“ 经典 ” ， 挖掘配方法 中的文化意 义 及教育价值， 既视为对上述思考的一种反思新举 经典 1 解一元二次方程 一元二次方程根的求解是配方法的“ 源” 张奠宙 教授在 中学教学全书 ( 数学卷)中对此有段评述： “ 求解一元二次方程通常有配方法、 公式法、 因式分解 法等 其中配方法是最基本的， 公式法

3、是最重要的， 作 为一个中学生 ， 一元二次方程的求根公式必须熟背 ” 笔者曾对高一学生作过调查 ， 学生反馈来的信息是惊 人的相似 ： 初中老师要他们记住求根公式就行， 说求 根公式是最好的等 这是典型的应试“ 后遗症” 张先 生的评述颇具指导性 ： 配方法是“ 最基本”的， 因它是 公式法的“ 母体” ， 它“ 生成”了公式法； 配方法是“ 最 基本”的， 还在于它具有迁移的“ 生命力” ， 譬如求二 次函数的对称轴、 顶点、 最值等 熟背公式不是鼓励生 搬硬套 ， 不是撇开和割裂配方法与公式法的内在逻辑 联系 事实说明， 生硬的死记不仅扼杀鲜活生动的数 学， 也会浇灭学生心头对数学真善美

4、追求的火种 笔者查阅湖南教育出版社 数学 ( 九年级上册) 教科书， 研读了教材对一元二次方程根的求解这一重 要问题的解决思路， 教材是这样处理的： 在公式推导 之前， 先通过一个引例和4 个例题介绍因式分解法 ， 从 例 6 到例 9 给出4 个具体的配方法例子并给出解一元 二次方程的算法框图， 一方面， 在知识、 方法上积累充 分感受和体验， 另一方面， 在情感上也不断蓄积对数 学一般规律的探求欲望， 从而自然地进入到公式法的 探求推导 这种由特殊到一般， 由具体到抽象的处理 方式消解了多元参变量的式子变形理解困难( 因其抽 象) ， 克服了因式分解法的局限性， 充分展示了配方法 形式上的

5、简洁漂亮和方法力量的优越性和普适性 鉴于配方法的重要性和对学生学习的一种帮助， 我们或可介绍下面的材料， 给学生的理解和接受提供 更多支撑 ， 同时进一步展示配方法的精巧之美与情理 之趣 ： 材科 1 古印度数学家所用的配方法 在 a x + +c=0 ( 口O ) 的两边同乘 以4 0 再配 方得( 2 a x+6 ) 。=b 一4 a c ， 然后开方得求根公式 这 个方法有两个优点 ： 一是判别式是怎么来的看得比较 ，2 清楚 ； 二是若对 。_ 开方处理分母含有绝对值 ， 而 叶 f j 这里没有这个麻烦 构思巧妙， 耐人寻味 材料2 藏学家大卫 芒福舟f D a v i d Mo r

6、n f o r d ) 的“ 翻管” 大卫 芒福得( D a v i d Mo m f o r d ) 是 1 9 9 41 9 9 8 年 国际数学家联合会主席 ， 1 9 7 4年菲尔兹奖获得者 他 曾经坦率说过这样的话 ： “ 对于我来说， =b 一4 a c 53 一_ I 中 小学 数学 解 题 研 究 2 o 1 3 5 月 下 旬 ( 高 中 ) 仍旧像是一个死记的偶像 ” 在一般学生的想象中： 数 学家个个聪明绝顶， 智慧超群， 在数学世界里， 是“ 海 阔凭鱼跃 ， 天高任鸟飞”的潇洒 自在 ! 判别式不就是配 方法的“ 子二代”吗? 怎么是“ 死记的偶像” ? 大卫? 芒

7、福得的小“ 纠结”故事有怎样的隐喻性呢? 由此 ， 学生 会对数学 、 数学家和数学学习产生些新思考及观念变 化吗? 笔者以为， 从沟通数学内在联系方面， 可引发学 生对配方法、 判别式来龙去脉作深层次的一些思索； 从重塑数学学习信心信念方面， 也可“ 开光启智” ， 使 学生拥有健全公允的数学观 经典 2 柯西不等式的证明 柯西不等式作为经典不等式之一 ， 兼具形式优美 和应用广泛双重价值 新课标将其纳入选修 45 不 等式选讲 ， 与排序不等式一起成为中学学习内容( 以 前是数学奥赛内容) 柯西不等式的发现思路和推导 过程是一个典型的以美启真的生动案例 判别式与配 方法起到了诱发导向和点石

8、成金的作用 柯西不等式的一般形式 ： ( n + 8 + + 2 ) ( b + b +b ： )( 。 l b l +a 2 6 2+ +a b ) () 美妙的念头往往是基于“ 追求简易” ， 用简易的东 西驾驭繁杂 观察上式， 若从分解展开人手， 则 “ 路漫 漫不知其修远兮”， 不如换个角度： 从整体结构观察， 它具有A CB z 的形式， 进而联系， 这正好与二次函数 y：A x +2 B x +C的判别 式4 B 一 4 A C密切相关 从而 构造二次 函数 ( 。 ， 。 ： ， ， o 不全 为零 ) ， 通过 配方 ， 利 用判别式推导出结果便就是水到渠成的事情了 ， ( )

9、=( 口 +n + + ) +2 ( 0 l b I +0 2 b 2+ + a b ) + ( b 十 b ； + b )=( 口 l + b 1 ) 。 + ( n 2 +b 2 ) + +( a n +b ) 0对任意实数 成立， 所 以二次 函数 ， ( )的判 别式 0 ，由此不难得 出 (木) 配方法与柯西不等式精彩的“ 联袂携手” ， 相信会 给每个学习者内心留下美好而深刻的印象： 用简单、 朴素的东西 ( 配方法)获取数学新发现 ( 柯西不等 式) ， 将不同的数学内容沟通起来联成一体， 展示了 “ 大巧若拙” 、 “ 举重若轻”的智慧， 彰显了数学的和谐 之美、 奇异之趣 5

10、 4 经典 3 最小二乘法 配方法在最小二乘法处的精彩表现无疑成为配 方法运用的又一经典 高中数学课程统计部分 ， 有由 最小二乘法得线性回归方程斜率与截距 b 、 n 公式的学 习， 其中最小二乘法的思想和公式的推导是难点 课 程采用螺旋上升形式呈现： 在必修数学 。 的2 3 2 “ 两 个变量的线性相关”直接给出公式； 理科选修 23的 “ 统计案例”给出了配方法的初等方法证明( 文科这 部分 内容对公式没有证 明) 求回归直线， 使得样本数据点到它的距离的平方 和最小， 此问题经过一定变更转化后归结为最值模 型： Q：( ， ， 一 ) 。 ， 当 取 什么 值 时Q 最 小 ? 这实

11、质上是一个二元函数最值问题( Q是以 d 为自变量的函数) ， 中学阶段缺乏解决这类问题的方 法和经验， 甚至没有二元函数这种概念和提法 又限 于高中生的知识结构， 不能给他们介绍用求偏导数的 高等方法( 一般资料介绍的都是求偏导数的方法) ， 那 么如何用学生易于理解的初等方法推导公式就成为 一个具有挑战性的问题 人教A版选修2 3 教材给出 的基于参变量配方的证 明， 简单而不失精妙， 引人遐 思 ， 值得玩味， 是教师引导学生对经典证明进行欣赏 的好素材 结合笔者的教学实践， 认为要理解和欣赏 该证 明 ， 需注意处理好 以下几个 问题 ： ( 1 )分清常量变量 字母符号繁杂， 先要帮

12、学生扫除符号障碍 ， 特别 是分清常量与变量 ， 、 Y 是样本数据， 是常量， ( ， 歹 ) ， n 1 n 为 样 本 点 的 中 心 ， 亡 ， 亡 也 是 常 量， 变量是 ( 当然随着样本数据的随机性回归直 线也有随机性 ， 即有不同的 、 3 值) ； ( 2 )突出基本方法 方法 从整体上概括出证明的思路和主要方法， 抓住配 方， 用简单统御复杂 可让学生先看最后的配方结果， 这样既有助于对添加项动机的理解， 也对配方后得出 最值及取最值的条件看得清楚， 即在下面( )式中， 后两项和 ， 口无关( 是常量) ， 而前两项为非负数， 因 此要使 9取得最小值， 当且仅当前两项的

13、值均为零 2 o 13 5 月 下 旬 ( 高 中 ) 解 题 研 究 l 中 小 学 数学嚯 Q ( o t ，卢 ) = n ( 一 一 ) + ( 一 ) 。 l 卢 一 一 一 ( 矿 ( y 一 ： ( ) ( y 一 ) 。 一J 一 一 ( 一 ) ( 一 习 ( y 一 ) i =1 【 3 )理解变形动机 即P=( y 一 一 ) = y 一 一 ( 一 )+( 一 )一 。 中对 一 项的加减 这是整个 证明变形的关键点， 是“ 奇思妙想” ， 是“ 神来之笔” 设若证明者没有微积分知识， 且事先不知公式 J B= ( 一 ) ( )， 一 L 一， =歹一 要他“ 灵光

14、一现 ”产 ( ) 1 生项的配凑与配方念头， 那这无疑充满了智慧! 值得 给予高度评价! 但事实可能是， 给出证明的人是先用 求偏导得出了公式， 而后在多次尝试探索中“ 偶然” 得到了这种初等方法， 所以对这一步凑配变形的动机 的理解 困难 ， 我们 完 全 可 以坦 然 地 和学 生 “ 实 话 实 说” ： 你们想不到， 没必要气馁， 老师也不可能都想得 到， 譬如我就想不到 不妨听听张奠宙教授给我们的 忠告： 数学课程要讲逻辑推理， 更要讲道理 我们没有 数学家那样敏锐的洞察和灵感 ， 但可以做“ 事后诸葛 亮”， 把其中的道理开诚布公、 实事求是地讲 出来 在 这里， 可退一步从公式

15、结构和配方法两方面引导学生 观察分析这种 变形 的 目的 ： 是为 了出现 ( 歹一 一O ) 这样的项 ， 运用分解与整合的策略， 就可以把其他的 式子以卢为主元整理， 也就是关于卢的一元二次函数 ， 再用配方就是很 自然的事 了 通过这样的引导和分 析 ， 至少从道理上讲得通， 学生从心里易于接受 ， 这 比 要学生强行记住公式要好的多 不少名家指 出， 数学 欣赏需要引导 ， 数学思想需要点醒 而经典的案例是 学会数学欣赏和思想熏陶的很好载体 最后， 笔者认为， 经典的美和精彩虽易为大众感 同身受和引发共鸣， 但对其品味不可能“ 毕其功于一 役” ， 需反复体悟 ， 历久弥新； 数学方法的学习， 也不能 只满足于工具性的操作层面， 应努力提高品位与立 意 参考文献 ： 蔡上鹤 重视数学经典的传播 J 中学数学教学 参考( 高中) ， 2 0 0 8 ， 12 ( 上接 第 4 7页) 则当P为偶数时， 得 a r b ： =