《高考第一轮复习数学：9.6++空间向量及其运算(B)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考第一轮复习数学：9.6++空间向量及其运算(B)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 9.6 空间向量及其运算（B） 知识梳理 空间两个向量的加法、减法法则类同于平面向量，即平行四边形法则及三角形法则. ab=|a|b|cosa，b. a2=|a|2. a 与 b 不共线，那么向量 p 与 a、b 共面的充要条件是存在实数 x、y，使 p=xa+yb. a、b、c 不共面，空间的任一向量 p，存在实数 x、y、z，使 p=xa+yb+zc. 点击双基 1.在以下四个式子中正确的有 a+bc，a （ （bc） ，） ，a（bc） ，） ，|ab|=|a|b| A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 解析：根据数量积的定义，bc 是一个实数，a+bc 无意义.实数与向量无
2、数量积，故 a （ （bc）错，|ab|=|a|b|cosa，b|，只有 a（bc）正确. 答案：A 2.设向量 a、b、c 不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是 A.a+b，ba，a B.a+b，ba，b C.a+b，ba，c D.a+b+c，a+b，c 解析：由已知及向量共面定理，易得 a+b，ba，c 不共面，故可作为空间的一个基底， 故选 C. 答案：C 3.在平行六面体 ABCDABCD中，向量BA 、DA 、BD是 A.有相同起点的向量 B.等长的向量 C.共面向量 D.不共面向量 解析：DA BA =DB=BD， BA 、DA 、BD共面. 答案：C 4.已知 a=（1，0
3、） ，b=（m，m） （m0） ，则a，b=_. 答案：45 5.已知四边形 ABCD 中，AB=a2c，CD=5a+6b8c，对角线 AC、BD 的中点分别为E、F，则EF=_. 解析：EF=EA+AB+BF， 又EF=EC+CD+DF， 两式相加，得 2EF=（EA+EC）+（AB+CD）+（BF+DF）. E 是 AC 的中点， 故EA+EC=0.同理，BF+DF=0. 2EF= AB+CD=（a2c）+（5a+6b8c）=6a+6b10c.EF=3a+3b5c. 答案：3a+3b5c 典例剖析 【例 1】 证明空间任意无三点共线的四点 A、B、C、D 共面的充分必要条件是：对于空间任一
4、点 O，存在实数 x、y、z 且 x+y+z=1，使得OA=xOB+yOC +zOD. 剖析：要寻求四点 A、B、C、D 共面的充要条件，自然想到共面向量定理. 解：依题意知，B、C、D 三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点 A、B、C、D 共面对空间任一点 O， 存在实数 x1、 y1， 使得OA=OB+x1BC +y1BD=OB+x1（OCOB）+y1（ODOB）=（1x1y1）OB+x1OC+y1OD，取 x=1x1y1、y=x1、z=y1，则有OA=xOB+yOC+zOD，且 x+y+z=1. 特别提示 向量基本定理揭示了向量间的线性关系， 即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，
5、 为 向量的坐标表示奠定了基础.共（线）面向量基本定理给出了向量共（线）面的充要条件， 可用以证明点共（线）面.本题的结论，可作为证明空间四点共面的定理使用. 【例 2】 在平行四边形 ABCD 中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对角线 AC 折起， 使 AB 与 CD 成 60角，求 B、D 间的距离. 解：如下图，因为ACD=90， A ACCBBDD( 1 )( 2 )所以ACCD =0.同理，BAAC=0. 因为 AB 与 CD 成 60角， 所以BA，CD=60或 120.因为BD=BAACCD， 所以BD2=BA2AC2CD22BAAC2BACD2ACCD=BA2AC2CD2
6、2BACD=3211cosBA，CD=4 （ BA，CD=60） ， 2 （ BA，CD=120）.所以BD=2 或2， 即 B、D 间的距离为 2 或2. 【例 3】 在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，BD1交平面 ACB1于点 E， AADDBBCC1111E M求证： （1）BD1平面 ACB1； （2）BE=21ED1. 证明： （1）我们先证明 BD1AC. 1BD = BC+ CD+1DD，AC = AB+BC， 1BDAC=（BC +CD +1DD） （AB+BC）=BCBC+ CDAB=BCBCABAB=|BC|2|AB|2=11=0. BD1AC.同理可证
7、BD1AB1，于是 BD1平面 ACB1. （2）设底面正方形的对角线 AC、BD 交于点 M，则BM= 21BD= 21 11DB，即2BM=11DB.对于空间任意一点 O，设OB=b，OM =m，1OB=b1，1OD=d1，则上述等式可改写成 2（mb）=d1b1或 b1+2m=d1+2b.记2121 mb=2121 bd=e.此即表明，由 e 向量所对应的点 E 分线段 B1M 及 D1B 各成（ =2） 之比， 所以点 E 既在线段 B1M （B1M面 ACB1） 上又在线段 D1B 上，所以点 E 是 D1B 与平面 ACB1之交点，此交点 E 将 D1B 分成 2 与 1 之比，即
8、 D1EEB=21.BE=21ED1. 思考讨论 利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角 等问题. 闯关训练 夯实基础夯实基础 1.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M 为AC 和BD 的交点，若11BA =a，11DA =b，AA1 = c，则下列式子中与MB1相等的是 AABBCCDD 1111MA. 21a+ 21b+c B. 21a+ 21b+c C. 21a 21b+c D. 21a 21b+c 解析：MB1=BB1 + BM=BB1+ 21（BA+BC）=AA1 21 11BA+ 21 11DA=c 21a+ 21b，故选 A. 答案：A
9、2.O、A、B、C 为空间四个点，又OA、OB、OC为空间的一个基底，则 A.O、A、B、C 四点不共线 B.O、A、B、C 四点共面，但不共线 C.O、A、B、C 四点中任意三点不共线 D.O、A、B、C 四点不共面 解析：由基底意义，OA、OB、OC三个向量不共面，但 A、B、C 三种情形都有可能使OA、OB、OC共面.只有 D 才能使这三个向量不共面，故应选 D. 答案：D 3.已知 a+3b 与 7a5b 垂直，且 a4b 与 7a2b 垂直，则a，b=_. 解析：由条件知（a+3b） （7a5b）=7|a|215|b|2+16ab=0，及（a4b） （7a2b） = 7|a|2+8|
10、b|230ab=0.两式相减得 46ab=23|b|2，ab= 21|b|2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|=|b|.cosa，b=|baba=22|21|bb =21. a，b=60. 答案：60 4.试用向量证明三垂线定理及其逆定理. 已知：如下图，PO、PA 分别是平面 的垂线和斜线，OA 是 PA 在 内的射影，a ， 求证：aPAaOA. POAa证明：设直线 a 上非零向量 a，要证 aPAaOA，即证 aAP =0aAO =0. a ，aOP =0，aAP=a （AO+OP）=aAO+aOP=aAO. aAP=0aAO=0，即 aPAaOA. 评述：向量的数量积为零
11、是证明空间直线垂直的重要工具.在应用过程中，常需要通过 加、减法对向量进行转换，当然，转换的方向是有利于计算向量的数量积. 5.直三棱柱 ABCA1B1C1中，BC1AB1，BC1A1C，求证：AB1=A1C. AADBBCC111证明：CA1=)()(,11111111111CCBCCCCABCCACCBCCCCA=11CA , 02 1CCBC AB=AC.又 A1A=B1B，A1C=AB1. 评述：本题在利用空间向量来解决位置关系问题时，要用到空间多边形法则、向量的运 算、数量积以及平行、相等和垂直的条件. 培养能培养能力力 6.沿着正四面体 OABC 的三条棱OA、OB、OC的方向有大
12、小等于 1、2、3 的三个力f1、f2、f3.试求此三个力的合力 f 的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦. ABCO12 3解：用 a、b、c 分别代表棱OA、OB、OC上的三个单位向量，则 f1=a，f2=2b，f3=3c，则 f=f1+f2+f3=a+2b+3c， |f|2=（a+2b+3c） （a+2b+3c）=|a|2+4|b|2+9|c|2+4ab+6ac+12bc=1+4+9+4|a|b|cosa， b +6|a|c|cosa，c+12|b|c|cosb，c=14+4cos60+6cos60+12cos60=14+2+3+6=25. |f|=5，即所求合力的大小为 5， 且 co
13、sf，a=|a|f|af=532|2cabaa|=52311 =107. 同理，可得 cosf，b=54，cosf，c=109. 7.在空间四边形 ABCD 中，求证：ABCD+ACDB +ADBC=0. 证法一：把AB拆成AC+CB后重组，ABCD+ACDB+ADBC=（AC + CB） CD+ACDB+ADBC=ACCD+CBCD+ACDB+ADBC=AC（CD+DB）+CB （CD+DA）=ACCB+CBCA = CB （AC+CA）=CB0=0. 证法二：如下图，设 a=DA，b= DB，c=DC，则ABCD+ACDB+ADBC=（ba） （c）+（ca） b+（a） （cb）=bc+
14、ac+cbabac+ab=0. ABCD评述：把平面向量的运算推广到空间后，许多基本的运算规则没有变.证法一中体现了 向量的拆分重组技巧，要求较高；证法二设定三个向量为基底，而原式中所有向量化归为关 于 a、b、c 的式子，化简时的思路方向较清楚. 探究创新探究创新 8.（2004 年全国，理 20）如下图，已知四棱锥 PABCD，PBAD，侧面 PAD 为边 长等于 2 的正三角形，底面 ABCD 为菱形，侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120. PABC D（1）求点 P 到平面 ABCD 的距离； （2）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小. （1）解：如下图，作
15、 PO平面 ABCD，垂足为点 O.连结 OB、OA、OD，OB 与 AD 交 于点 E，连结 PE. PO ABCD EADPB，ADOB.PA=PD，OA=OD. 于是 OB 平分 AD，点 E 为 AD 的中点，PEAD.由此知PEB 为面 PAD 与面 ABCD所成二面角的平面角，PEB=120，PEO=60.由已知可求得PE=3，PO=PEsin60= 323=23，即点P到平面ABCD的距离为23. （2）解法一：如下图建立直角坐标系，其中 O 为坐标原点，x 轴平行于 DA. PO ABCDGExyzP（0，0，23） ，B（0，233，0） ，PB 中点 G 的坐标为（0，433，43） ，连结 AG.
