《(课堂设计)2014-2015高中数学 1.2.3 空间中的垂直关系(2) 平面与平面垂直学案 新人教B版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(课堂设计)2014-2015高中数学 1.2.3 空间中的垂直关系(2) 平面与平面垂直学案 新人教B版必修2（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.31.2.3 空间中的垂直关系空间中的垂直关系(2)(2)平面与平面垂直平面与平面垂直自主学习学习目标 1掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理，判定两个平面互相垂直 2掌握两个平面垂直的性质定理，并能利用该定理作平面的垂线 3理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系自学导引 1如果两个相交平面的交线与第三个平面_，又这两个平面与第三个平面相交所 得的两条交线互相_，就称这两个平面互相垂直 2如果一个平面过另一个平面的_，则两个平面互相垂直 3如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一 个平面对点讲练知识点一 面面垂直的证明例 1 如图所示，四边形 AB
2、CD 是平行四边形，直线 SC平面 ABCD，E 是 SA 的中点 求证：平面 EDB平面 ABCD.点评 将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键，另外利用面面垂直的定义求 二面角的平面角是 90(如例 1) 变式训练 1 如图所示，在空间四边形 ABCD 中，ABBC，CDDA，E、F、G 分别为 CD、DA 和对角 线 AC 的中点 求证：平面 BEF平面 BGD.知识点二 面面垂直的性质定理的应用例 2 如图所示，P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点，ABCD 是DAB60且边长为 a 的菱 形侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)若 G 为 AD 边
3、的中点，求证：BG平面 PAD； (2)求证：ADPB.点评 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面 垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性 质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其 中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线变式训练 2 如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的菱形，BCD120， 平面 PCD平面 ABCD，PCa，PDa，E 为 PA 的中点求证：平面 EDB平面 ABCD.2知识点三 线线、线面、面面垂直的综合应用例 3 如图所示，平面 PAB平
4、面 ABC，平面 PAC平面 ABC，AE平面 PBC，E 为垂足 (1)求证：PA平面 ABC； (2)当 E 为PBC 的垂心时，求证：ABC 是直角三角形点评 证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情 况的综合 在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作 法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化 为线线垂直 变式训练 3 在直三棱柱 ABCA1B1C1的底面ABC 中，ABBC.能否在侧棱 BB1上找到 一点 E，使得截面 A1EC侧面 AA1C1C？若能找到，指出点 E 的位置；若不能找到
5、，说明理 由1面面垂直的证法 (1)定义法； (2)判定定理法 2面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理至此判定线面垂直的方法主 要有以下五种： (1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理； (3)面面垂直的性质定理； (4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，Error!b. (5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，Error!a. 课时作业一、选择题 1平面 平面 ，直线 a，则( ) Aa Ba Ca 与 相交 D以上都有可能 2若平面 与平面 不垂直，那么平面 内能与平面 垂直的直线有( ) A0 条 B1
6、条 C2 条 D无数条3已知 m、n 为不重合的直线，、 为不重合的平面，则下列命题中正确的是( ) Am，n，mn B， C，m，nmn D，m，nmn4.如图所示，ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，则在平面 PAB、平面 PAD、平面 PCD、平 面 PBC 及平面 ABCD 中，互相垂直的有( ) A3 对 B4 对C5 对 D6 对5.如图所示，在立体图形 DABC 中，若 ABCB，ADCD，E 是 AC 的中点，则下列命题 中正确的是( ) A平面 ABC平面 ABD B平面 ABD平面 BDC C平面 ABC平面 BDE，且平面 ADC平面 BDE D平面 ABC平面 AD
7、C，且平面 ADC平面 BDE题 号12345 答 案二、填空题 6已知 m、l 是直线，、 是平面，给出下列命题： 若 l 垂直于 内两条相交直线，则 l； m，l，且 lm，则 ； 若 l，且 l，则 ； 若 m，l，且 ，则 lm. 其中正确的命题的序号是_ 7空间四边形 VABC 的各边及对角线均为 1，M 是 VB 的中点，则平面 ACM 与平面 VAB 的位置关系是_8.如图所示，已知，PA 垂直于圆 O 所在平面AB 是圆 O 的直径，C 是圆周上一点则图 中面面垂直的共有_对三、解答题 9在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，平面 PAB平面 PBC.求证：BCAB.10.
8、如图所示，ABC 为正三角形，EC平面 ABC，BDCE，且 CECA2BD，M 是 EA 的中 点求证： (1)DEDA； (2)平面 BDM平面 ECA； (3)平面 DEA平面 ECA.【答案解析】 自学导引 1垂直 垂直 2一条垂线 3交线 对点讲练 例 1 证明 连接 AC，设 AC、BD 交点为 F，连接 EF，EF 是SAC 的中位线，EFSC.SC平面 ABCD， EF平面 ABCD. 又 EF平面 EDB， 平面 EDB平面 ABCD. 变式训练 1 证明 ABBC，CDAD，G 是 AC 的中点，BGAC，DGAC， AC平面 BGD. 又 EFAC，EF平面 BGD. E
9、F平面 BEF，平面 BDG平面 BEF.例 2 证明 (1)连接 PG，由题意知PAD 为正三角形，G 是 AD 的中点，PGAD. 又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， PG平面 ABCD，PGBG. 又四边形 ABCD 是菱形且DAB60， ABD 是正三角形，BGAD. 又 ADPGG，BG平面 PAD. (2)由(1)可知 BGAD，PGAD. 所以 AD平面 PBG，所以 ADPB. 变式训练 2 证明 设 ACBDO，连接 EO， 则 EOPC.PCCDa，PDa，2PC2CD2PD2，PCCD. 平面 PCD平面 ABCD， CD 为交线， PC平面
10、ABCD， EO平面 ABCD. 又 EO平面 EDB， 平面 EDB平面 ABCD. 例 3 证明 (1)在平面 ABC 内取一点 D，作 DFAC 于 F. 平面 PAC平面 ABC，且交线为 AC，DF平面 PAC，PA平面 PAC，DFAP. 作 DGAB 于 G. 同理可证 DGAP. DG、DF 都在平面 ABC 内，且 DGDFD， PA平面 ABC. (2)连接 BE 并延长交 PC 于 H. E 是PBC 的垂心，PCBE. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线，PCAE. PC面 ABE.PCAB. 又PA平面 ABC，PAAB. 又 PCPAP，AB平面 PAC. ABA
11、C，即ABC 是直角三角形 变式训练 3 解 假设能够找到符合题意的点 E.如图所示，作 EMA1C 于点 M.因为截面 A1EC侧面 AA1C1C，所以 EM侧面 AA1C1C.取 AC 的中点 N，连接 MN，BN，因为 ABBC， 所以 BNAC. 又因为 AA1BN， 所以 BN侧面 AA1C1C，所以 BNEM. 因为平面 BEMN平面 AA1C1CMN， BE平面 AA1C1C，所以 BEMNA1A. 因为 ANNC，所以 A1MMC.因为四边形 BEMN 为矩形，所以 BEMN A1A.1 2所以当 E 为 BB1的中点时，平面 A1EC侧面 AA1C1C. 课时作业 1D 2A
12、 若存在 1 条，则 ，与已知矛盾 3C 4C 面 PAB面 AC，面 PAB面 PBC， 面 PAD面 AC，面 PAD面 PCD，面 PAB面 PAD.5C ABCB，且 E 是 AC 的中点， BEAC.同理有 DEAC. AC平面 BDE.AC平面 ABC， 平面 ABC平面 BDE. 又 AC平面 ACD，平面 ACD平面 BDE. 6 7.垂直 8.39.证明 在平面 PAB 内， 作 ADPB 于 D. 平面 PAB平面 PBC， 且平面 PAB平面 PBCPB. AD平面 PBC.又 BC平面 PBC，ADBC. 又PA平面 ABC，BC平面 ABC，PABC，BC平面 PAB
13、. 又 AB平面 PAB，BCAB. 10证明 (1)如图所示，取 EC 的中点 F，连接 DF. ECBC，DFBC，DFEC. 在 RtEFD 和 RtDBA 中，EF ECBD，FDBCAB，1 2RtEFDRtDBA，故 EDDA. (2)取 CA 的中点 N，连接 MN、BN，则EC.1 2MNBD，N 点在平面 BDM 内 EC平面 ABC，ECBN. 又 CABN，BN平面 ECA. BN 在平面 MBD 内，平面 MBD平面 ECA.(3)BDEC，MNEC，1 21 2MNBD 为平行四边形 DMBN.又 BN平面 ECA，DM平面 ECA.又 DM平面 DEA， 平面 DEA平面 ECA.
