《2016新课标创新人教A版数学选修2-3 1.3二项式定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016新课标创新人教A版数学选修2-3 1.3二项式定理（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、版权所有:中国好课堂 第 1 课时 二项式定理核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P29P31的内容，回答下列问题在初中，我们用多项式乘法法则得到了(ab)2的展开式：(ab)2(ab)(ab)aaabbabba22abb2.(1)如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？提示：从上述过程可以看到，(ab)2是 2 个(ab)相乘，根据多项式乘法法则，每个(ab)在相乘时有两种选择，选 a 或选 b，而且每个(ab)中的 a 或 b 都选定后，才能得到展开式的一项于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(ab)2的展开式共有2222项，而且每一项都是 a2kbk(k0,1,
2、2)的形式(2)在合并同类项之前，(ab)2的展开式为 aaabbabb，每项都是版权所有:中国好课堂 a2kbk(k0,1,2)的形式，你能从组合的观点解释合并同类项后 a2kbk的系数特点吗？提示：当 k0 时，a2kbka2，是由 2 个(ab)中都不选 b 得到的，相当于从 2 个(ab)中取 0 个 b(即都取 a)的组合数 C ，因此 a2只有 1 个；0 2当 k1 时，a2kbkab，是由一个(ab)中选 a，另一个(ab)中选 b 得到的由于b 选定后，a 的选法也随之确定，因此，ab 出现的次数相当于从 2 个(ab)中取 1 个 b 的组合数，即 ab 共有 C 个；1
3、2当 k2 时，a2kbkb2，是由 2 个(ab)中都选 b 得到的，相当于从 2 个(ab)中取2 个 b 的组合数 C ，因此 b2只有 1 个2 2由上述分析可以得到：(ab)2C a2C abC b2.0 21 22 2(3)仿照上述过程，你认为(ab)3，(ab)4，(ab)n的展开式是什么？提示：(ab)3C a3C a2bC ab2C b3；0 31 32 33 3(ab)4C a4C a3bC a2b2C ab3C b4；0 41 42 43 44 4(ab)nC anC an1bCabn1C bn.0 n1 nn1nn n2归纳总结，核心必记(1)二项式定理公式(ab)nC
4、 anC an1bC ankbkC bn(nN*)叫做二项式定理0 n1 nk nn n(2)相关概念公式右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式；各项的系数 C (k0,1,2，n)叫做二项式系数；k n展开式中的 C ankbk叫做二项展开式的通项，记作 Tk1，它表示展开式的第 k1k n项；在二项式定理中，如果设 a1，bx，则得到公式(1x)nC C xC x2C0 n1 n2 n版权所有:中国好课堂 xkC xn.k nn n问题思考(1)你能写出(ba)n的二项展开式吗？二项展开式中的字母 a，b 能交换位置吗？提示：(ba)nC bnC bn1aC bn2a2C an.0 n1
5、n2 nn n二项展开式中的字母 a，b 是不能交换的，即虽然(ab)n与(ba)n结果相同，但(ab)n与(ba)n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，不能混淆，如(ab)3的展开式中第 2 项是 3a2b，而(ba)3的展开式中第 2 项是 3ab2，两者是不同的(2)(12x)n的二项展开式是什么？其第 5 项的二项式系数和第 5 项的系数各是什么？提示：(12x)nC C 2xC (2x)2C (2x)3C (2x)n.其第 5 项的二项式系数为0 n1 n2 n3 nn nC ，第 5 项的系数为 C 2416C .4 n4 n4 n(3)二项式定理中，项的系数
6、与二项式系数有什么区别？提示：二项式系数 C 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式r n的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关课前反思通过以上预习，必须掌握以下几个知识点(1)二项式定理的内容(2)二项式系数： (3)二项展开式的通项： 版权所有:中国好课堂 (4)二项式系数与项的系数的区别： .讲一讲1(1)求4的展开式；(3 x1x)(2)化简(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)尝试解答 (1)法一：4C (3)4C (3)3C (3)22C (3)(3 x1x)0 4x1 4x1x2 4x(1x)3 4x3C4
7、81x2108x54.(1x)4 4(1x)12x1x2法二：4(81x4108x354x212x1)81x2108x54(3 x1x)3x14x21x212x.1x2(2)原式C (x1)5C (x1)4C (x1)3C (x1)2C (x1)1C (x1)0 51 52 53 54 55 501(x1)151x51.版权所有:中国好课堂 (1)(ab)n的二项展开式有 n1 项，是和的形式，各项的幂指数规律是：各项的次数都等于 n；字母 a 按降幂排列，从第一项起，次数由 n 逐项减 1 直到 0；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由 0 逐项加 1 直到 n.(2)逆用二项式定理，可
8、以化简多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的特点靠拢练一练112C 4C 8C (2)nC ( )1 n2 n3 nn nA1 B1 C(1)n D3n解析：选 C 逆用二项式定理，将 1 看成公式中的 a，2 看成公式中的 b，可得原式(12)n(1)n.2用二项式定理展开6.(x1x)解：66C x6(1)0C x5(1)1C x4(1)2C x3(1)(x1x)(x1x)x16x31x30 61 62 63 63C x2(1)4C x1(1)5C x0(1)6(x66x515x420x315x26x1)4 65 66 61x3x36x215x20.15x6x21
9、x3思考(1)在(ab)n的二项展开式中，其第 k 项是什么？名师指津：TkT(k1)1Cank1bk1k1n(2)在(ab)n的二项展开式中，Tk1C ankbk是二项展开式的第几项？其二项式系数k n是什么？版权所有:中国好课堂 名师指津：Tk1C ankbk是第 k1 项，其二项式系数为 C .k nk n讲一讲2已知在n的展开式中，第 6 项为常数项(3x33x)(1)求 n 的值；(2)求含 x2的项的系数；(3)求第 4 项的二项式系数及第 4 项的系数；(4)求展开式中所有的有理项尝试解答 (1)通项为Tr1Cx(3)rx C (3)rx.r nnr3r3r nn2r3因为第 6
10、 项为常数项，所以r5 时，有0.即n10.n2r3(2)令2，得r2.102r3所以所求的系数为 C(3)2405.2 10(3)10的展开式的通项是(3x33x)Tr1C(3)rx，r 10102r3第 4 项的二项式系数为 C120，第 4 项的系数为 C(3)3120273 3 103 10240.(4)根据通项，由题意得Error!Error!所以r可取 2,5,8.所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 C(3)2x2，C(3)5，C(3)8x2.2 105 108 10版权所有:中国好课堂 即 405x2，61 236,295 245x2.求二项展开式的特定项
11、问题，一般需要建立方程求 k，再将 k 的值代回通项求解，注意 k 的取值范围(k0,1,2，n)(1)第 m 项：此时 k1m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元” ，令通项中“变元”的幂指数为 0 建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解练一练3(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为( )A10 B20 C30 D60解析：选 C (x2xy)5(x2x)y5的展开式中只有 C (x2x)3y2中含 x5y2，易知2 5x5y2的系数为 C C 30.2 5 1 34已知二项式10.(x212 x
12、)(1)求展开式中的第 5 项；(2)求展开式中的常数项解：(1)10的展开式的第 5 项为 T5C(x2)64C4x124x10.(x212 x)4 10(12 x)4 10(12)(1x)1058(2)设第 k1 项为常数项，版权所有:中国好课堂 则 Tk1C(x2)10kkCx20 kk(k0,1,2，10)，k 10(12 x)k 1052(12)令 20 k0，得 k8，52所以 T9C 8，8 10(12)45256即第 9 项为常数项，其值为.45256讲一讲3用二项式定理证明 11101 能被 100 整除思路点拨 由于 100 是 10 的整数倍，故可将 1110转化为(10
13、1)10，用二项式定理展开尝试解答 11101(101)101C1010C109C108C10C10 101 102 109 101010C1010C109C1081020 101 102 10100(108C107C1061)1 102 10显然上式括号内的数是正整数，所以 11101 能被 100 整除整除性问题或求余数的处理方法：(1)构造一个与题目条件有关的二项式；(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只需考虑后面(或者是前面)一、两项就可以版权所有:中国好课堂 了；(3)要注意余数的范围，若 acrb，
14、其中 b 为余数，b0，r)，r 是除数利用二项式定理展开、变形后，若剩余部分是负数，则要注意转化练一练5求 CCC除以 9 的余数1 272 272727解：CCC(CCCC)C2271891(91)1 272 2727270 271 272 2727270 2791C 99C 98(1)C 97(1)2C 9(1)8C (1)0 91 92 98 99 991C 99C 98C 97C 96C 9119(C 98C 97C 96C )0 91 92 93 98 90 91 92 98 929(C 98C 97C 96C 1)(92)，0 91 92 98 9CCC除以 9 的余数为 7.1 272 272727课堂归纳感悟提升1本节课的重点是二项式定理及利用二项式定理求二项展开式的特定项或特定项的系数，难点是利用二项式定理解决整除(余数)问题2要掌握二项式定理的三个应用(1)会用二项式定理
