《2013-2014学年高中数学教案：2.2.2对数函数及其性质(2)(新人教A版必修1) Word版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013-2014学年高中数学教案：2.2.2对数函数及其性质(2)(新人教A版必修1) Word版（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.2 对数函数及其性质（二）（一）教学目标1知识技能（1）掌握对数函数的单调性.（2）会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.2过程与方法（1）通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.（2）培养学生的数学应用的意识.3情感、态度与价值观（1）用联系的观点分析、解决问题.（2）认识事物之间的相互转化.（二）教学重点、难点1、重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小.2、难点：不同底数的对数比较大小.（三）教学方法启发式教学利用对数函数单调性比较同底对数的大小，而对数函数的单调性对底数分1a 和01a两种情况，学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数；如果题目中含有字母
2、，即对数底数不确定，则应该分两种情形讨论.对于不同底数的对数大小的比较，应插入中间数，转化为两组同底数的对数大小的比较，从而使问题得以解决.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入回顾对数函数的定义、图象、性质.师：上一节，大家学习了对数函数y=logax 的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即当 a1 时，在（0，+）上是增函数；当 0a1 时，在为学习新课作好了（0，+）上是减函数.这一节，我们主要通过对数函数的单调性解决有关问题.知识上的准备.应用举例例 1 比较下列各组数中两个值的大小：（投影显示）（1）log23.4，log23.8；（2）log0.51.8，log0
3、.52.1；（3）loga5.1，loga5.9；（4）log75，log67.请同学们回顾一下我们利用指数函数的有关性质比较大小的方法和步骤，并完成以下练习.（生板演前三题，师组织学生进行课堂评价，师生共同讨论完成第四题）例 1 解：（1）对数函数 y=log2x 在（0，+）上是增函数，且 3.43.8.于是 log23.4log23.8.（2）对数函数 y=log0.5x 在（0，+）上是减函数，且 1.82.1，于是 log0.51.8log0.52.1.（3）当 a1 时，对数函数 y=logax在（0，+）上是增函数，于是 loga5.1loga5.9；当 0a1 时，对数函数 y
4、=logax 在（0，+）上是减函数，于是 loga5.1loga5.9.（4）因为函数 y=log7x 和函数y=log6x 都是定义域上的增函数，所以 log75log77=1=log66log67.所以 log75log67.小结：本例是利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较两个对数式的大小.当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.若题中所给的对数式的底数和真数掌握对数函数知识的应用.例 2 判断函数
5、f（x）=ln（21xx）的奇偶性.都不相同时，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较.例 2 解：12xx 恒成立，故（x）的定义域为（，+） ，又f（x）=ln（21x+x）=ln xx211=ln 2222)1(1xxxx=ln（21xx）=f（x） ，f（x）为奇函数.在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候，首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域，当所给函数的定义域关于原点对称时，再判断f（x）和f（x）之间的关系.f（x）为奇函数f（x）=f（x）f（x）+f（x）=0)()( xfxf =1f
6、（x）0 ，f（x）为偶函数f（x）=f（x）f（x）f（x）=0例 3（1）证明函数 f（x）=log2（x2+1）在（0，+）上是增函数；（2）问：函数 f（x）=log2（x2+1）在（，0）上是减函数还是增函数？例 4 已知 f（logax）=) 1() 1(22axxa，其中 a0，且 a1.（1）求 f（x） ；（2）求证：f（x）是奇函数；（3）求证：f（x）在 R 上为增函数.)()( xfxf =1f（x）0.在解决具体问题时，可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断.例 3 分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对数函数单调性比较同底数对数大小
7、的方法.（1）证明：设 x1、x2（0，+） ，且 x1x2，则 f（x1）f（x2）=log2（x12+1）log2（x22+1） ，0x1x2，x12+1x22+1.又y=log2x 在（0，+）上是增函数，log2（x12+1）log2（x22+1） ，即 f（x1）f（x2）.函数 f（x）=log2（x2+1）在（0，+）上是增函数.（2）解：是减函数，证明可以仿照上述证明过程.小结：利用定义证明函数的单调性是研究单调性问题的重要方法.例 4 分析：利用换元法，可令t=logax，求出 f（x） ，从而求出 f（x）.证课堂练习课本 P85练习 3.明奇函数及增函数可运用定义.（1）
8、解：设 t=logax，则 tR，x=at（x0）.则 f（t）=) 1() 1(22aaaatt=12aa（atat）.（2）证明：f（x）=12aa（axax）=12aa（axax）=f（x） ，f（x）为奇函数.（3）证明：设 x1、x2R，且x1x2，则 f（x2）f（x1）=12aa（a2xa2x）（a1xa1x） =12aa（a2xa1x）+a1xa2x（a2xa1x） =12aa（a2xa1x）（1+a1xa2x）.若 0a1，则 a210，a1xa2x，f（x2）f（x1）.y=f（x）在 R上为增函数；若 a1，则 a210，a1xa2x.f（x2）f（x1）.y=f（x）在
9、 R上为增函数.综上，a0，且 a1 时，y=f（x）是增函数.课堂练习答案：（1） （2） （3） （4）归纳总结通过本节的学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并能掌握分类讨论思想.学生先自回顾反思，教师点评完善形成知识体系.课后作业作业：2.2 第五课时 习案学生独立完成巩固新知提升能力备选例题例 1 比较下列各组数的大小：（1）log0.7 1.3 和 log0.71.8；（2）log35 和 log64.（3）(lgn)1.7和(lgn)2 (n1)；【解析】 （1）对数函数 y = log0.7x 在(0, +)内是减函数. 因为 1.31.8，所以log0.7
10、1.3log0.71.8.（2）log35 和 log64 的底数和真数都不相同，需找出中间量“搭桥” ，再利用对数函数的单调性即可求解.因为 log35log33 = 1 = log66log64，所以 log35log64.（3）把 lgn 看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数 lgn 讨论.若 1lnn0，即 1n10 时，y = (lgn)x在 R 上是减函数，所以(lgn)1.7(lgn)2；若 lgn1，即 n10 时，y = (lgn)2在 R 上是增函数，所以(lgn)1.7(lgn)2.若 lnn = 1，即 n = 10 时，(lnn)1.7
11、 = (lnn)2.【小结】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较. 在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即 a1 时是增函数，0a1 时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练.例 2 求证：函数 f (x) =xx 1log2在(0, 1)上是增函数.【分析】根据函数单调性定义来证明.【解析】设 0x1x21，则 f (x2) f (x1) = 21 22 21loglog11xx xx21 2 21(1)log(1)xx x x=.11log 2112 2xx xx 0x1x21， 12 xx1， 21 11 xx 1. 则 2112 211logxx xx 0，f (x2)f (x1). 故函数 f (x)在(0, 1)上是增函数.
