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1、 （2004 年教案） 辨识与自适应 第五章1第五章第五章 时间序列分析与建模简介时间序列分析与建模简介 时间序列建模（时间序列建模（ Modelling via time series ） 。时间序列分析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是 Box 和 Jenkins。本章扼要介绍吴宪民和 Pandit 的工作，仅要求一般了解当前时间序列分析与建模的一些主要结果。参考书：“时间序列及系统分析与应用（美）吴宪民，机械工业出版社（1988）TP13/66。引言引言根据对系统观测得出的按照时间顺序排列的数据，通过曲线拟合和参数估计或者谱分析，建立数学模型的理论与方法，理论基础是数理统计。
2、有时域时域和频域频域两类建模方法，这里概括介绍时域方法，即基于曲线拟合与参数估计（如最小二乘法）的方法。常用于经济系统建模（如市场预测、经济规划） 、气象与水文预报、环境与地震信号处理和天文等学科的信号处理等等。5 1 ARMA 模型分析模型分析一、模型类一、模型类把具有相关性的观测数据组成的时间序列 xk 视为以正态同分布白噪声序列 ak 为输入的动态系统的输出。用差分模型 ARMA (n,m) 为 (z-1) xk = (z-1) ak 式（5-1-1）（2004 年教案） 辨识与自适应 第五章2其中： (z-1) = 1- 1 z-1- n z-n (z-1) = 1- 1 z-1- m
3、 z-m离散传函式（5-1-2） 为与参考书符号一致，以下用 B 表示时间后移算子即： B xk = xk-1 B 即 z-1，B2即 z-2 (B)=0 的根为系统的极点，若全部落在单位园内则系统稳定；(B)=0 的根为系统的零点，若全部在单位园内则系统逆稳定。二、关于格林函数和时间序列的稳定性二、关于格林函数和时间序列的稳定性1格林函数格林函数 Gi 格林函数 Gi 用以把 xt 表示成 at 及 at 既往值的线性组合。式（5-1-3）GI 可以由下式用长除法求得：例 1AR(1): xt - 1x t-1 = a txB BBaBBaatttj tj j ( ) ( )()1 1111
4、122 1 0L)()()(11 1 zzzG 0jjtjtaGxttaBBx)()( （2004 年教案） 辨识与自适应 第五章3即： Gj = 1j （显示）例 2ARMA (1,1): xt - 1x t-1 = a t - 1a tG0= 1 ; Gj = (1- 1) 1j-1 ,j 1 （显示）例 3ARMA (2,1)(1 - 1B - 2 B2)x t = (a t - 1 B ) a t得出：G0= 1 G1 = 0G0- 1G2 = 1G1+ 2G0. . . . .Gj = 1Gj-1+ 2Gj-2 （j 2）Gj 为满足方程 (1 - 1B - 2 B2) Gj= 0
5、的解，称为隐式表达式。该结论可推广到 ARMA(n,m) 模型。2格林函数与系统稳定性格林函数与系统稳定性当 j 时：Gj 有界，则系统稳定；Gj 衰减，则系统渐进稳定；Gj 发散，则系统不稳定。例： AR(1): Gj = 1j当 1 时，Gj 发散，不稳定。例： ARMA (2,1)tttaBBBaBBBx)1)(1 (1 11211 2 211 （2004 年教案） 辨识与自适应 第五章41 和 2和为特征方程的根，有1 + 2 = 1 和 1 2 = 2当 1 1，即意味着过时愈久的 xt 的老数据对 xt 的现在值影响愈大，这显然是不合理的。5. 自协方差函数与偏自相关函数及其截尾性
6、(略)55 2 2 时间序列建模及其应用时间序列建模及其应用一、关于吴宪民一、关于吴宪民 and Pandit 的建模策略简介的建模策略简介ARMA(n,m) 模型,当 n 和 m 设定后,可由非线心、非线性最小二乘法估计参数,并计算出残差平方总和(R.S.S.)。设定不同的 n 和m 值，用 F 检验比较 R.S.S.，确定合理的 n 、m 值。穷举法穷举法（最笨的建模策略） ：高阶模型要做很多次搜索，计算量大。吴宪民吴宪民 Pandit 建模策略建模策略目的是减少建模的搜索次数。策略可概括为：10. 按照 ARMA(2n,2n-1) 拟合模型，即当 nn+1 时，模型增加 2 阶，理由是过
7、程的基点往往是成对的。20. 检查 ARMA(2n,2n-1) 模型的高阶项参数2n和2n-1 的绝对值是否很小，它们的置信区间是否包含零在内？若是，则进一步拟合下降一阶后的模型 ARMA(2n-1,2n-2)，并用 F 检验检查。（2004 年教案） 辨识与自适应 第五章730. 探索进一步降低 MA 的阶次的可能性，即设ARMA ( 2n-1, m) ，m 2n 1 ，用 F 检验确定。补充补充：关于参数估计误差的置信区间假定参数估计 符合正态分布 N（0 ，2）则估计值的置信区间 (95%置信度) 为： j 1.96 j参数 的估计误差协方差阵为：j 的置信区间为：j = 1, 2, 二
8、、时间序列建模应用举例二、时间序列建模应用举例例 1. 太阳黑子年均数,由 1749-1924 年共计 176 个观测数据。拟合 ARMA（2，1）模型，F 检验 ARMA（4，3）较前者没有明显改善。ARMA（2，1）模型估计结果为：参数估计 95%置信区间1 = 1.42 ( 1.26 1.58 )2 = - 0.72 ( - 0.86 - 0.58 )1= 0.15 ( - 0.07 0.37 ) n1 1T22TVar.Cor.CorVar )(P)(E()(Var96. 1j （2004 年教案） 辨识与自适应 第五章8因为1的值较小，而且置信区间包括零在内，所以进一步实验降为AR（
9、2）模型。估计结果：参数估计 95%置信区间1 = 1.43 ( 1.23 1.45 )2 = - 0.65 ( - 0.76 - 0.54 )F 检验表明 ARMA（2，1）模型较之 AR（2）模型并没有明显改善，而且2 的置信区间不包含零，所以 AR（2）模型合适。例 2 IBM 股票每天值（61.5.1 62.11.2）按照吴宪民Pandit 建模策略，得出 ARMA（6，5）模型。例 3航空公司月销售额（49.1 60.12 ）建模结果- ARMA(13,13)一、一、 趋势项和季节性趋势项和季节性1 恒定趋势恒定趋势即总的趋势保持在同一水平，均值 0。引入算子，定义为： =（1 -
10、B） ， 即 xt = xt - xt-1 可以消除恒定趋势。例如 IBM股票模型用 xt =（1 - 1B）a t 更为合适。有恒定趋势的模型有一个极点的绝对值接近为 1。2 线性趋势线性趋势总趋势按照线性规律增减，即模型有两个极点的绝对值接近为 1 的情况。用算子 2 = ( 1 B ) 2 可以消除线性趋势，例如：2 xt =（1 - 1B）a t （2004 年教案） 辨识与自适应 第五章93. 多项式趋势多项式趋势有多个极点的绝对值接近于 1 , 引入算子 3 = ( 1 B ) 3例如：3 xt =（1 - 1B - 2 B 2）a t4. 季节性季节性有的时间序列按照一定的周期波动,例如月平均温度是按照 12 个月的周期波动的，每小时用电量按照 24 小时的周期变化，称为季节性。为消除季节性的影响，引入算子： s = 1 B s例如，航空公司的模型 AR（13，13）模型中的参数1 12 的数值都很小，而接近于零，用周期为 12 的模型为合适。由于该时间序列不仅有周期为 12 的季节性，而且还有恒定趋势，所以用以下模型最合适：12 = (1 B) ( 1 B 12) xt = (1 - 1B ) (1 - 12 B 12) a t
