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1、常微分方程习题集华东师范大学数学系2003年9月常微分方程习题集目录第一章基本概念和初等解法1.1微分方程模型与基本概念1.2初等解法1.3基本理论问题第二章线性微分方程组2.1引论2.2 一般理论2.3常系数线性微分方程组2.4高阶线性微分方程第三章定性和稳定性理论3.1基本概念3.2 二阶系统的定性分析3.3 一般非线性系统零解的稳定性2) - + 2y + 3xy = 0:d工工习 题1.11.指出下列常微分方程的阶数，并判断是否为线性：1)恙恙=4工工2 - y:答：答：i阶线性方程阶线性方程. ON dy n nf n nf答：p阶非线性方程.3) g + p盖盖+咖咖y = /答：
2、二阶线性方程. ,dy4) -h cosy + X = 0.d工工 答：一阶非线性方程. 2.什么是常微分方程的解？它与代数方程的解有什么区别？何 谓微分方程的通解、特解？何谓初值问题？ 答：在某区间/上定义并且在区间/上恒满足某常微分方程的 函数叫做该常微分方程在区间/上的一个解.代数方程的解是满 足代数方程的函数或数.常微分方程的解与代数方程的解的主要 区别是：常微分方程的解是在区间上定义的可微函数，它可以含有 任意常数.而代数方程中不含对未知函数的求导运算.一个n阶常 微分方程的含有n个独立的任意常数的解叫通解，通解不一定包 含方程所有的解.不含有任意常数的解叫特解.求一个ri阶常微分
3、方程的解，要使这个解及它的直到ri-1阶导数在某一点取给定的 一些值.这样的问题叫初值问题. 3.验证函数验证函数y = 2 + cVr (其中C为任意常数)是微分方程 (1 + = 2x的通解，并求出满足初始条件的通解，并求出满足初始条件y (0) = 3的解的解. 解：从函数方程解出C,得（y - 22)/(1 - x2) = c2，两边关于求，两边关于求 导，得 2(1 - x)(y - 2)dy/dx + (y - 2)x/l - = 0,经整理得微分 方程（1 - ;c2)dy/da; + rry = 2a;.(注：一般的方法是将函数中的任意注：一般的方法是将函数中的任意 常数C解出
4、，对0：求导后的微分方程就不含C 了）再由初始条件： 3 = y (0) = 2 + C得得C = 1，满足初始条件的解是，满足初始条件的解是y = 2 +4.验证验证ey - e- = c (这里c为任意常数)是否为方程，- “的通解.解：是.以expO表示指数函数.设由方程exp(y) - exp(x) = c 决定了一个函数？/，即exp(y(;c) - exp(x) = c, 边对a;求导得， exp(y(x)dy/dx - exp(x) = 0,整理后就得整理后就得 dy/da; = exp(a; - y),即含有即含有 一个任意常数C的隐函数exp(y) -exp=C满足一阶微分方
5、程，按满足一阶微分方程，按 yp PXDI7/) PXDI-Mr 1 甬 5.已知平面曲线上任一点的切线在两坐标轴之间的部分都等已知平面曲线上任一点的切线在两坐标轴之间的部分都等 于定长Z，试求出此平面曲线应满足的微分方程. 解：设（X,y)为切线上的点，过切点(x,y)的切线方程为 r-y = y(X-a;)，它与，它与a:与与y轴的交点分别为轴的交点分别为(jc y/y，0)与与(0,y - xy),所以所求的方程为（所以所求的方程为（a： - y/y + (y xyf = P. 6.已知平面曲线上任一点的切线与该点和原点的连线之间的夹角均为常g ,试求出此平面曲线应满足的方程. 一 解：
6、由题意，tan(arctany arctan(y/x) = tana = k,故由三角公式故由三角公式 得所求方程为iy -yM = Ki + yy/x). 7.求出曲线族Or - ci)2 + y-= 4所满足的微分方程，其中所满足的微分方程，其中 Cl, C2, C3为任意常教. 解：方程两边对求导一次得 - Cl) + 2(y - C2)y = 0,再对a; 求导一次得 2 + 2y2 + 2y - C2)y，解出，解出 C2: C2 = y + (1 + 对其 关于T求导一次得所求的微分方程y + (1 + y)/y“ = 0. 8. 一个容器盛盐的水溶液100升，净含盐10千克.现以
7、每分钟3升 的流量注入净水使盐水冲淡，同时以每分钟2升的流量让盐水流出. 设容器中盐水的浓度在任何时刻都是均勾的，求出任意时刻t容 器中净盐量所满足的微分方程和定解条件. 解：设在t分钟时净盐量为千克，定解条件为初始条件： x(0) = 10(千克)，在时刻t (分)时，水溶液体积为（100+ t)(升)，盐浓度为(千克/升)，按题意，净盐量变化率g 这就 是所求的微分方程. 9*.假设赛艇在水中运动时主要受到两个力的作用，即由于运 动员划黎所产生的牵引力r和水的阻力D.记赛艇的速度为U.如 果运动员和赛艇一起的总质量为m,运动员为赛艇提供的不变有Z功率为P，阻力与2成正比，试建立赛艇速度的运
8、动方程.提 不：Tu = p. 解：设D = ku k是比例系数，由牛顿第二定律得运动方程，是比例系数，由牛顿第二定律得运动方程，mdu/dt = p/u kv?.5) p- = e-y习习 题题1.2常数变易公式：一阶线性非齐次方程cb/dt + p0； = 的一切解可以表示为洲=m c+Jlqs)/hs)ds)其中ht)是对应的线性齐次方程cLc/di + p(t);c = 0的任一个确定的非零特解，可取 ht) = exp( f -p(t) dt)中一个特定的函数.其中expO) = 表示指数 函数.C为任意常数.注意公式中的两个函数必须取同一个函 数. 1.用分离变量法求解下列方程或初
9、值问题：1)恙恙 + = 解：y = cexp(/e2zda:) = cexp(e2T/2) 2) sec X tan ydx -h sec y tan xdy = 0 解：原方程可化为tan yd tan a: + tanxdtany = 0，从而 d (tan X tan = 0,积分得通解 tan a: tan y = c.3) Or + 1)惡+ I = 2e1 解：将原方程化为（a;+ l)e“dy + (e“ -2)dx = 0，进而化为 (x + l)d(e“ 2) + (e“ - 2)d(x + 1) = 0,即 d(;c + l)(e“ - 2) = 0，积分得 通解 + 1
10、) (e“ 2) = c.4) + 32； = 0 ax y 解：将原方程化为6e3Tck: + 6yei2dy = 0，积分得通解 2e3T - Se-y“ = c.d工 解：ft方程化为 dy dx = 0， 积分得通解e“-eT = c. 6) x(l y)dy + ？/(l + x) da; = 0 M- ajy 一 0 时，#方程化为+ l/x)dx + (l/y2 - 1/y) dy = 0. 积分得通解l/a;+ l/y + lny/cx) = 0.还有两个特解，x = 0 Ry = 0, 它们不包括在通解中. 7) 3e tan y dx + (1 e工）sec y dy =
11、0, y=7r/4 M-将原方程化为-3tanyd(e-l)+(eLl)dtany = 0,方程两边乘以（以（6工工1)-4，得，得 d (e工l)“tan ？/j = 0,积分得通解（e l)“tany = c,即 tany = c (e - 1),初值问题的解为 y = arctane - 1)/ (e if. 8) xJ + y2 + yVl + = 0, y (0) = 1 答：通解为 a/1 + ;c2 + + y2 = 初值问题的解为y = j(Vl + a? - 1 - “i.9) (1 + x) y dx + a; (1 - y) dy = 0, y (2) = 0 答：初值问
12、题的_为y = 0 (不能从通解ln(a;y)/c) = y - x中得 到).10) a;y (1 + ;c2)盖=1 + y2，y =0.解：将方程化为i(l + y2)/d(x2) = (1 + y)/xl + 2)，分离变量得，分离变量得 d(l + y2)/(l + y2) = 1/2 一 1/(1 + 2)d(a;2),积分得通解为(1 + X)1 + y2) = cx,初值问题的解为（1 + X)1 + y2) = 2a;2 解出 y 得 y = 士(32 - l)/(a;2 +2.将卞列方化为爹量分离方程后求解： 1) (x y) dx (x y) dy = 0 解：将方程两边
13、乘以2，再重新组合化为2xdx + ydy) -2 xdy -ydx) = 0,可见，可凑成微分d + y2) 2(x + y) darctan(y/a;) = 0，两边同 以 a;2 + 得：d(x + y)/x + y2) 2darctan(y/x) = 0，积分得ffl解：ln(x2 + ？_ 2arctan(y/x) = c,(注：本题是齐次方程，也可按齐次方 程的通常解法求解，但较繁).2) da； + (a;2 xy) dy = 0M-将方程重新纟合化为y(xdy - ydx) + dy = 0,凑微分得-xy dy/x) + dy = 0,当；当；ry / 0 时，两边同除以;得
14、：-dy/x) + dy/y = 0，积分得解：-y/x + ln(y/c) = 0,或化为y = cexp(y/x);还有特解= 0不包括在通解中.特解y = 0可以包 含在通解的后一种形式中. (注：本题是齐次方程，也可按齐次方程的通常解法求解).3)化=V - xy xy + 解：方程是齐次方程，引进新的未知函数U,满足关系式y = XU,对a;求导得关系式dy/da; = u + xdvx,将这两式代入方_，得: U + xdu/dx = (2u u)/l u + u),分离变量得： 2/(u - 1) - 1/u - 3/(u - 2) du = 2dx/x, |r分得ln(u 1)
15、2/(cu(m 2)3) = Inx“,或化为(u 1)2 = cxuu 2),以 u = y/x 代入得通知(y - x) = cyy - 2x)3,还有两个特解y = 0，及y = 2a;，它 们不包括在通解中，分别对应于= 0和= 2 (注：与U = 1对应的 解y = ;c可以包含在通解中（c = 0时).4) xdy/dx = xexp(y/x) y - x 解：方程是齐?方变量代换y = XU,得变量分离方程= exp(w) + l,进而写成 d:c/a:+dexp(w)/(exp(w) + l) = 0，积分 得：ln(x(exp(-u) + l)/c) = 0，代回原变量得通解:c(l + exp(-= c,5) x(ln X In dx = 0解：方程是齐次方程，用变量代换y、= xu得变量分离方程: xdu/dx = ul + In w)/lnti，7 1/e 时，化为： dx/x H- In wdlnii/(l + Inu)
