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1、黄黄冈冈中学中学高考数学典型例高考数学典型例题详题详解解指数、指数、对对数函数数函数指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.难点磁场难点磁场()设 f(x)=log2,F(x)=+f(x). xx 11 x21(1)试判断函数 f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2)若 f(x)的反函数为 f1(x),证明：对任意的自然数 n(n3),都有 f1(n);1nn(3)若 F(
2、x)的反函数 F1(x),证明：方程 F1(x)=0 有惟一解.案例探究案例探究例例 1已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点，分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点.(1)证明：点 C、D 和原点 O 在同一条直线上；(2)当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标.命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属级题目.知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD.(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得 A
3、点坐标.错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点 A 的坐标.(1)证明：设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题意知：x11,x21,则 A、B纵坐标分别为 log8x1,log8x2.因为 A、B 在过点 O 的直线上，所以,228118loglog xx xx点 C、D 坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1=3log8x2,所以 OC 的斜率：k1=2loglog818x2logloglog,log3828 2218xxx,118212log3log xx xxO
4、D 的斜率：k2=，由此可知：k1=k2,即 O、C、D 在同一条直228222log3log xx xx线上.(2)解：由 BC 平行于 x 轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1=log2x2,代入31x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于 x11 知 log8x10,x13=3x1.又x11,x1=,则点 A 的坐标为(，log8).333例例 2在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn),对每个自然数 n 点 Pn位于函数 y=2000()x(0bn+1bn+2.则10a以 bn,bn+
5、1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1bn,即()2+()10a 10a10,解得 a5(1).5(1)0 且 a1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时，点 Q(x2a,y)是函数 y=g(x)图象上的点.(1)写出函数 y=g(x)的解析式；(2)若当 xa+2,a+3时，恒有|f(x)g(x)|1,试确定 a 的取值范围.6.()已知函数 f(x)=logax(a0 且 a1),(x(0,+),若 x1,x2(0,+),判断f(x1)+f(x2)与 f()的大小，并加以证明.21 221xx 7.()已知函数 x,y 满足 x1,y1.loga
6、2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a0 且 a1),求 loga(xy)的取值范围.8.()设不等式 2(log x)2+9(log x)+90 的解集为 M，求当 xM 时21 21函数 f(x)=(log2)(log2)的最大、最小值. 2x 8x参考答案参考答案难点磁场难点磁场解：(1)由0,且 2x0 得 F(x)的定义域为(1，1)，设xx 111x1x21,则F(x2)F(x1)=()+()1221 21 xx11 2 22 211log11logxx xx ,)1)(1 ()1)(1 (log)2)(2(2121 2 2112 xxxx xxxx x2x
7、10,2x10,2x20,上式第 2 项中对数的真数大于 1.因此 F(x2)F(x1)0,F(x2)F(x1),F(x)在(1，1）上是增函数.(2)证明：由 y=f(x)=得：2y=,xx 11log21212,11 yy xxxf1(x)=,f(x)的值域为 R，f-1(x)的定义域为 R.1212 xx当 n3 时，f-1(n).122111122111212 1nnnn nnn nnn用数学归纳法易证 2n2n+1(n3),证略.(3)证明：F(0)=,F1()=0,x=是 F1(x)=0 的一个根.假设 F1(x)21 21 21=0 还有一个解 x0(x0),则 F-1(x0)=
8、0,于是 F(0)=x0(x0).这是不可能的，故 F-21 211(x)=0 有惟一解.歼灭难点训练歼灭难点训练一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1)又 g(x)+h(x)=lg(10x+1).即g(x)+h(x)=lg(10x+1)由得：g(x)=,h(x)=lg(10x+1).2x 2x答案：C2.解析：当 a1 时，函数 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选，又 a1 时，y=(1a)x 为减函数.答案：B二、3.解析：容易求得 f- 1(x)=,从而： ) 1( 2) 1( log2xxxxf1(x1)= ).2( ,2)2(),1(log12 xxx
9、x答案： )2( ,2)2(),1(log12 xxxx4.解析：由题意，5 分钟后，y1=aent,y2=aaent,y1=y2.n=ln2.设再过 t51分钟桶 1 中的水只有,则 y1=aen(5+t)=,解得 t=10.8a 8a答案：10三、5.解：(1)设点 Q 的坐标为(x,y),则 x=x2a,y=y.即x=x+2a,y=y.点 P(x,y)在函数 y=loga(x3a)的图象上，y=loga(x+2a3a),即y=loga,g(x)=loga. ax 21 ax 1(2)由题意得 x3a=(a+2)3a=2a+20;=0,又 a0 且ax 1 aa )3(1a1,0a1,|f
10、(x)g(x)|=|loga(x3a)loga|=|loga(x24ax+3a2)|f(x)ax 1g(x)|1,1loga(x24ax+3a2)1,0a1,a+22a.f(x)=x24ax+3a2在a+2,a+3上为减函数，(x)=loga(x24ax+3a2)在a+2,a+3上为减函数，从而(x)max=(a+2)=loga(44a),(x)min=(a+3)=loga(96a),于是所求问题转化为求不等式组的解. 1)44(log1)69(log10aaaaa由 loga(96a)1 解得 0a,由 loga(44a)1 解得 0a,12579 54所求 a 的取值范围是 0a.1257
11、9 6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,x1,x2(0,+),x1x2()2(当且仅当 x1=x2时取“=”号)，221xx 当 a1 时，有 logax1x2loga()2,221xx logax1x2loga()，(logax1+logax2)loga,21 221xx 21 221xx 即f(x1)+f(x2)f()(当且仅当 x1=x2时取“=”号)21221xx 当 0a1 时，有 logax1x2loga()2,221xx (logax1+logax2)loga,即f(x1)+f(x2)f()(当且仅当21 221xx 21 221xx x
12、1=x2时取“=”号）.7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax1)2+(logay1)2=4,令 u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u1)2+(v1)2=4(uv0),k=u+v.在直角坐标系 uOv 内，圆弧(u1)2+(v1)2=4(uv0)与平行直线系 v=u+k 有公共点，分两类讨论.(1)当 u0,v0 时，即 a1 时，结合判别式法与代点法得 1+k2(1+3);2(2)当 u0,v0,即 0a1 时，同理得到 2(1)k1.x 综上，当23a1 时，logaxy 的最大值为 2+2，最小值为 1+；当 0a1 时，logaxy 的23最大值为 1，最小值为 22.328.解：2(x)2+9(x)+9021log21log(2x+3)( x+3)0.21log21log3x.21log23即 ()3x()21log2121log21log2123()x()3,2x82123212即 M=x|x2,82又 f(x)=(log2x1)(log2x3)=log22x4log2x+3=(log2x2)21.2x8,log2x3223当 log2x=2,即 x=4 时 ymin=1;当 log2x=3,即 x=8 时，ymax=0.
