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1、微积分初步微积分初步辅导辅导 8-定积分与无穷积分定积分与无穷积分一、学习重难点解析一、学习重难点解析（一）关于定积分（一）关于定积分1. 定积分的概念定积分是一个数值, 这个数值为, 这里 F(x)是被积函数 f(x)的baxxfd)(baxF)()()(aFbF任意一个原函数. 即= baxxfd)(baxFaFbF)()()(这个数值与积分区间a,b有关, 与被积函数和积分变量上、下限有关, 但与积分变量选取什么字母 无关. 因此有abbaxxfxxfd)(d)(0)d)(ddbaxxfx定积分不同于不定积分. 不定积分是 f(x)的全体原函数, 即无穷多个函数, 而定积分xxfd)(是
2、一个确定的数值. baxxfd)(2. 定积分的计算 由牛顿莱布尼茨公式知, 定积分在计算上是完全依赖于不定积分的. 在定积分计算中也有 换元积分法和分部积分法, 它们与不定积分中的换元积分法和分部积分法的区别在于： （1）在使用定积分的换元积分法时, 换元一定要换限, 积分变量必须与自己的积分上、下限相 对应. 换元换限后, 对新的积分变量求得的原函数, 可直接代入新变量的上、下限求值, 而不必再还 原到原来的变量在求值. （2）定积分的分部积分法所处理的函数类型与, 的选择与不定积分完全相同只是在定积uvd分中每一项都必须带积分上、下限. （二）关于无穷限积分（二）关于无穷限积分无穷限积分
3、的处理方法是将其转化为有限区间积分的极限, 计算时先求有限区间积分（即定积 分）得到一个新变量的函数baxxfbd)()(在令, 由的存在与否, 确定是否收敛. 若收敛则积分值等于极限值. b)(limb b axxfd)(二、典二、典 型型 例例 题题例例 1 1 判断下列等式是否正确. （1）21dln dde1xxx x2分析：分析：根据定积分的定义进行判断. 解解 （1）由定积分定义, 是一个确定的数值, 因此, 对函数先求定积分再)()(d)(aFbFxxfba求导数等于对一个数值求导数, 所以结果应该为零. 即等式错误, 正确的结果应为21dln dde1xxx x. 0dln d
4、de1xxx x 例例 2 2 计算下列积分：（1）xxdsin20分析：分析：注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间上有2 , 0 2sin0sinsinxxxxx利用定积分的区间可加性和 N-L 进行计算. 解解(1) 2020dsindsindsinxxxxxx)1(1 11coscos20xx. 4 说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算 性质, 或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意： 1熟悉基本积分公式； 2在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（
5、例如（1）中将绝对值打开）, 变形的目的 是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练 习； 3如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解. 例例 3 3 计算下列积分：（1）xxxdlne12 （2）xxdsin2 03分析分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量, 设法将对求积分转化为对)(xux求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即“换元变限”. )(xu3（1）将被积函数看成, 其中,
6、 且, 于是, 这样对于xx2)(ln xu2 xulnxxud1d xxud2 uu d2变量可以利用积分公式求积分. xuln（2）将被积函数分解成即分成两个x3sinxxxxxxxsincossinsin)cos1 (sinsin222函数积分的和, 第一个积分可以由 N-L 公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为, 其中xu sin2, xucosxxudsind 解解 （1）方法 1换元换限. 令, 则, 且当时, , 时, , 于是有xulnxxud1d 1x0uex1u31)01 (31 31ddln33103102e12 uuuxxx方法 2 只凑微分不换元, 不换积分限.
7、)d(lnlndlne12e12 xxxxx31) 1(ln) e(ln31)(ln3133e13x(2) 因为=xxdsin2 03 xxxxxxxxdsincosdsindsincos1 2 022 02 02对于积分1cosdsin2 02 0 xxx对于积分用凑微分法, xxxdsincos2 02方法 1 令, 则, 且当时, , 时, , 于是有xucosxxudsind0x1u2x0u31 31ddsincos1030122 02uuuxxx方法 2 只凑微分不换元, 不换积分限. 31cos31dcoscosdsincos2032 022 02 xxxxxx说明：第一换元积分法
8、是积分运算的重点, 也是难点. 一般地, 第一换元积分法所处理的函数 是复合函数, 故此法的实质是复合函数求导数的逆运算. 在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分容易求原函数. uufd)(应用第一换元积分法时, 首先要牢记积分基本公式, 明了基本公式中的变量换成的函数时xx 公式仍然成立. 同时还要熟悉微分学中的微分基本公式, 复合函数微分法则和常见的 “凑微分”形4式. 具体解题时, “凑微分”要朝着容易求积分的方向进行. uufd)(在定积分计算中, 因为积分限是积分变量的变化范围, 当积分变量发生改变, 相应的积分限一 定要随之变化, 所以, 在应用换元积分法解题时, 如果积分变
9、量不变（例如（3） （4）中的方法 2）. 则积分限不变. 而且在换元换限时, 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下 限对应于旧积分变量的下限, 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分 值即可无须在还原到原来变量求值（例如（1） （2）中的方法 2）. 由于积分方法是灵活多样的, 技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的 （例如（2） ）因此, 我们只有通过练习摸索规律, 提高解题能力. 例例 4 4 计算下列积分：（1）；202dexxx（2） ee1dlnxx分析分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部
10、积分法适用的函数及的选择可以参照表 3-1, 具体步骤是：vu,1凑微分, 从被积函数中选择恰当的部分作为, 即, 使积分变为；xv d vxvdd vud2代公式, , 计算出uvuvvuddxuudd3计算积分. uvd在定积分的分部积分公式是, 它与不定积分的区别在于每一项都带有积bababauvuvvudd分上、下限. 注意公式中是一个常数, 在计算中应随时确定下来, 在计算（3）小题时应设法先去bauv掉被积函数的绝对值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质. 解解 (1) 设, 则, 由定积分分部积分公式有2e,x vxu2e2x v 44e4e4e4e4
11、de2e2de202202202202xxxx xxxx（2）因为, e1ln1e1lnln xxxxx利用积分区间的可加性得到e11e1ee1dlndlndlnxxxxxx其中第一个积分为1e11e11e1dlndlnxxxxxxx51e2 e11e1第二个积分为, 11eedlndlne1e1e1xxxxx最后结果为. e221e21dlndlndlne11e1ee1xxxxxx例例 5 5 计算下列无穷限积分：（1）； xxd) 1(113（2）；02dexx（3）0dln1xxx分析分析 对于无穷限积分的求解步骤为：axxfd)(（1）求常义定积分；baaFbFxxf)()(d)(（2
12、）计算极限)()(limaFbF b 极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值. 解解 （1）) 1(21limd) 1(1limd) 1(1121313bbbbxxxxx=)41()21() 11 () 1(lim2122b b81（2）e31limdelimde030303b xbbxbxxx31ee 31lim03bb(3) bbbbxxxxxxeee)ln(lnlim)d(lnln1limdln1说明此无穷积分发散. 注意：正如 3.4 中提到的, 上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式（1） 81) 1(21d) 1(11213 xxx（2）31e31de0303 xxx（3）. exxxxxx)ln(ln)d(lnln1dln1ee
