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1、2004 年全国高考数学试题分类集锦( )曾姣华 整理4 数列 ( 1) 全国卷 理( 3) 设数列an 是等差数列, 且 a2= -6, a8=6, Sn是数列an 的前 n 项和, 则 ( ). (A) S4 0, a2003+ a2004 0, a2003?a2004 0 成立的最大自然数 n 是( ). (A) 4 005 (B)4 006 (C) 4 007 (D) 4 008B ( 8) 全国卷 理(15) 已知数列an 满足a1= 1, an= a1+ 2a2+ 3a3+ + (n - 1)an- 1(n 2) , 则an 的通项an=1, ,n = 1,n 2.n! 2( 9)
2、 北京理( 14) 定义“ 等和数列” : 在一个数列 中, 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数, 那么这个数列叫等和数列, 这个常数叫做该数列的公 和.已知数列 an 是等和数列, 且 a1=2, 公和为 5, 那么 a18的值为, 这个数列的前 n 项和 Sn的计 算公式为. 答案: 3; 当 n 为偶数时, Sn=5 2n; 当 n 为奇数时, Sn=5 2n -1 2( 10) 上海卷理(4) 设等比数列an( n N) 的公比 q = -1 2, 且lim n( a1+ a3+ a5+ + a2n- 1) =8 3, 则 a1=.2( 11) 上海卷理( 12) 若干个能唯一确
3、定一个数 列的量称为该数列的“ 基本量” . 设an 是公比为 q 的 无穷等比数列, 下列an 的四组量中, 一定能成为该 数列“ 基本量”的是第组. ( 写出所有符合要求 的组号) ? S1与 S2; ? a2与 S3; a1与 an; !q 与 an. 其中 n 为大于 1 的整数, Sn为 an 的前 n 项和. ? 、 ! ( 12) 江苏卷(15) 设数列an 的前n项和为Sn,Sn=a1(3n- 1) 2( 对于所有 n 1), 且 a4= 54, 则 a1的数值是.2 ( 13) 全国卷( 22) 已知数列an 中a1= 1, 且 a2k= a2k- 1+ (-1)k, a2k
4、+ 1= a2k+ 3k, 其中 k = 1, 2, 3, ( ) 求 a3, a5; () 求an 的通项公式. ( 答案见本刊 2004 年第 7 期 P40) ( 14) 全国卷 理(19) 数列an 的前 n项和记为 Sn, 已知 a1= 1, an+ 1=n + 2 nSn(n = 1, 2, 3, ).证明: (1) 数列Sn n 是等比数列; (2) Sn+ 1=4an.证明 ( )an+ 1= Sn+ 1- Sn, an+ 1=n + 2 nSn,(n +2)Sn= n(Sn+ 1- Sn) , 整理得nSn+ 1= 2(n + 1)Sn,所以Sn+ 1 n + 1= 2Sn
5、n.故Sn n 是以 2 为公比的等比数列.( ) 由( ) 知Sn+ 1 n + 1= 4 ?Sn- 1 n - 1 (n 2).于是 Sn+ 1= 4(n + 1) ?Sn- 1 n - 1=4an( n 2) .又 a2= 3S1= 3, 故 S2= a1+ a2= 4. 因此对于任意正整数 n 1, 都有 Sn+ 1= 4an. ( 15) 全国卷 理(22) 已知数列an 的前 n项38中学数学 2004 年第 9 期和 Sn满足 Sn= 2an+ ( - 1)n, n 1.( ) 写出数列 an 的前 3 项 a1, a2, a3; ( ) 求数列 an 的通项公式; ( ) 证明
6、: 对任意的整数 m 4, 有 1 a4+1 a5+ +1 am4且 m 为偶数时, 1 a4+1 a5+ +1 am=1 a4+ (1 a5+1 a6) + +(1 am- 1+1 am)4且 m 为奇数时, 1 a4+1 a5+ +1 am4, 有1 a4+1 a5+ +1 am0, 数列 an 满足a1= a, an+ 1=a+1 an, n =1, 2, .( ) 已知数列 an 极限存在且大于零, 求 A = lim nan(将 A 用 a 表示) ; ( ) 设 bn= an- A, n = 1, 2, , 证明:bn+ 1= -bn A( bn+ A );( ) 若 ?bn? 1
7、 2n对 n= 1, 2, 都成立, 求 a的取值范围.( 解法见本刊 2004 年第 7 期 P44) ( 23) 湖南卷文( 20) 已知数列an 是首项为 a 且公比 q 不等于 1 的等比数列, Sn是其前 n 项和, a1, 2a7, 3a4成等差数列. ( ) 证明: 12S3, S6, S12- S6成等比数列; ( ) 求和: Tn= a1+ 2a4+ 3a7+ + na3n- 2. ( ) 证明 由 a1, 2a7, 3a4成等差数列, 得 4a7= a1+ 3a4, 即 4aq6= a + 3aq3. 变形得 ( 4q3+ 1)(q3- 1) =0,所以 q3= -1 4或
8、 q3= 1( 舍去).由S6 12S3=a1(1 - q6) 1-q 12a1(1 - q3) 1-q=1+ q3 12=1 16,S12- S6 S6=S12 S6-1=a1(1 - q12) 1 - q a1( 1- q6) 1 - q- 1= 1 + q6- 1 = q6=1 16,得 S6 12S3=S12- S6 S6.所以 12S3, S6, S12-S6成等比数列. ( ) 解 Tn= a1+2a4+ 3a7+ + na3n- 240中学数学 2004 年第 9 期= a +2aq3+ 3aq6+ + naq3(n- 1).即 Tn= a+ 2?(-1 4) a+ 3?(-1
9、4)2a+ +n ?( -1 4)n- 1a? (-1 4) 得-1 4Tn= -1 4a+ 2?(-1 4)2a+ 3?(-1 4)3a+ + n ?(-1 4)na? -? 有 5 4Tn= a+ ( -1 4)a+ ( -1 4)2a+ (-1 4)3a + +(-1 4)n- 1a - n ?( -1 4)na=a 1 - (-1 4)n1 - ( -1 4)- n?( -1 4)na=4 5a - (4 5+ n) ?( -1 4)na.所以 Tn=16 25a-(16 25+4 5n) ?(-1 4)na.( 24) 重庆卷理(22) 设数列an 满足 a1=2,an+ 1= an
10、+1 an (n =1, 2, 3, )( ) 证明 an2n + 1 对一切正整数 n 成立;( ) 令bn=ann(n= 1, 2, 3) , 判断bn与bn+ 1的大小, 并说明理由. ( ) 证法 1 当 n =1时,a1= 2 2 1 + 1, 不等式成立.假设 n = k 时, ak2k + 1 成立. 当 n = k + 1 时,a2k+ 1=a2k+1 a2k+ 2 2k + 3 +1 a2k 2(k + 1) + 1. n= k + 1时, ak+ 12(k + 1) + 1 成立.综上, 由数学归纳法原理可知, an2n + 1对 一切正整数成立. 证法 2 当 n = 1
11、 时,a1= 2 3 =2 1 + 1, 结论成立.假设 n = k 时结论成立, 即 ak2k + 1.当 n = k + 1时, 由函数 f (x ) = x +1 x(x 1)的单增性和归纳假设有ak+ 1= ak+1 ak2k + 1 +12k + 1.故只需证 2k + 1 +12k + 12k +3.而这等价于 (2k +1 +12k + 1)2 2k + 3?1 2k + 1 0. 显然成立.所以当 n = k + 1 时, 结论成立.因此, an2n + 1 对一切正整数 n 均成立. 证法 3 由递推公式得a2n= a2n- 1+ 2 +1 a2n- 1,a2n- 1= a2
12、n- 2+2+1 a2n- 2,a22= a21+ 2 +1 a21.将上述各式相加并化简得a2n= a21+ 2(n - 1) +1 a21+ +1 a2n- 1 22+ 2(n - 1) = 2n +22n + 1 ( n 2)又 n = 1 时, an2n + 1 明显成立, 故an2n + 1 (n = 1, 2, ) .( ) 解法 1 bn+ 1 bn=an+ 1nann+1= ( 1 +1 a2n)nn + 1(1 +1 2n + 1)nn + 1=2(n +1)n(2n+1)n + 1=2n(n + 1) 2n + 1=( n+1 2)2-1 4n +1 2 1.故 bn+ 1
13、 bn.解法 2 b2n+ 1- b2n=a2n+ 1 n + 1-a2n n=1 n + 1(a2n+1 a2n+ 2) -a2n n=1 n + 1(2 +1 a2n-a2n n)1 n + 1(2 +1 2n + 1-2n + 1 n)=1 n + 1(1 2n + 1-1 n) 0.故 b2n+ 1 b2n, 因此 bn+ 1 bn. ( 25) 广东卷( 17) 已知 ? , , !成公比为 2 的等 比数列(? 0, 2?) , 且 sin? , sin , sin!也成等比数 列. 求 ? 、 、 !的值. 解 ? , , !成公比为 2 的等比数列, = 2? , != 2 =
14、 4? . sin? , sin , sin!成等比数列. sin sin?=sin! sin ?sin2? sin?=sin4? sin2?即 2sin? cos? sin?=2sin2? cos2? sin2? ? cos?= cos2?= 2cos2?- 1. 即 2cos2?- cos?- 1 = 0.解得 cos?= 1 或 cos?= -1 2.当 cos?= 1 时, sin?= 0, 与等比数列的首项不为 零矛盾, 故 cos?=1应舍去.412004 年第 9 期 中学数学当 cos?= -1 2, 由题设知, ?=2? 3或 ?=4? 3.所以 ?=2? 3, =4? 3,
15、 !=8? 3或 ?=4? 3, =8? 3, !=16? 3.5 计数与概率统计( 1) 全国卷 理( 5) (2x3-1x)7的展开式中常数项是( ). (A) 14 (B) - 14 (C)42 ( D) - 42 A( 2) 全国卷 文(6) (x -1 x)6的展开式中的常数项为( ). (A) 15 (B) - 15 (C)20 ( D) - 20 A( 3) 江苏卷( 7) (2x +x )4的展开式中x3的 系数是( ). (A) 6 ( B) 12 (C) 24 ( D) 48 C( 4) 浙江卷理(7) 若(x+23x)n展开式中存在常数项, 则 n 的值可以是( ) . (A) 8 ( B) 9 ( C)10 (D)12 C ( 5) 福建卷理( 9) 若( 1- 2x)9展开式的第 3项为 288, 则lim n(1 x+1 x2+ +1 xn) 的值是( ).(A) 2 ( B) 1 ( C)1 2(D)2 5 A( 6) 全国卷 理(12) 将4名教师分配到3所中 学任
