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1、大学数学课程教学大纲 （一）本课程的目的、要求 （1）使学生比较系统地掌握本课程的基本概念，基本理论和基本运算技能，为学习后继课 程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 （2）通过教学，逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能 力，并注意培养学生的数学建模能力和用所学理论解决简单应用问题的能力，培养学生具 有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 （二）内容选取和实施中注意的问题 （1）本课程有以下内容：一元与多元函数微积分、常微分方程、无穷级数与空间解析几何。（2）在讲清概念的基础上，精选范例，加强基本训练，使学生掌握一定的解题技巧，以克
2、 服解题困难。 （3）为培养学生分析问题和解决问题的能力以及创新能力，适当安排一定的习题课，同时 要布置一些思考题，促使学生钻研本学科的内容，牢固掌握知识。 （4）本课程教材的选用可根据各专业的知识要求而定，可选用同济大学数学教研室主编的 高等数学 （第五版） 、及华东师范大学编写的高等数学教材。教材上定义的叙述较 为严格，对定理的论证较为严密，具体讲授时大都应满足于叙述结果，而证明过程只要求 基本读懂即可。 （5）在应用本大纲进行教学时，应保证大纲规定的基本内容，大纲中不带“*”号的内容 属基本内容，带“*”号内容可根据教学的实际情况机动处理。 (6) 建议总课时 144 课时左右,在第一、
3、二学期开设,周课时为 4 课时,总学分为 4+4=8 学分 （三）教学方法 本课程讲授为主，适当地练习为辅。 （四）考核方式 本课为考试课程，闭卷，笔试考试 （五）教学内容与学时分配 教学章节 教学内容 学时安排 备注 1 向量代数与空间解析几何 10 学时 2 函数、极限与连续 16 学时 3 一元函数微分学 22 学时 4 一元函数积分学 12 学时 5 无穷级数 16 学时 6 多元函数微分学 24 学时 7 多元函数积分学 24 学时 8 常微分方程 20 学时 合计 144 学时 二、大纲内容 第一章 向量代数与空间解析几何 1、向量与坐标 2、向量的运算 3、平面与空间直线 4、空
4、间曲面与空间曲线 说明和要求:(1) 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。掌握向量的运算（线性运算、数量 积、向量积） ，了解两个向量垂直、平行的条件。掌握平面方程和直线方程及其求法，会利 用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。理解曲面方程的概念， 了解常用二次曲面的图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面 的方程。了解空间曲线的参数方程和一般方程。第二章 函数、极限与连续 1、函数 2、数列的极限 3、函数的极限 4、极限存在准则 两个重要极限 5、无穷小的比较 6、函数的连续性 说明和要求: 理解函数的概念，了解函数的几种常用表示法，了解函数
5、的基本性质（有界性、单调性、 奇偶性和周期性） 。理解复合函数的概念，了解反函数的概念。掌握基本初等函数的性质及 其图形。会建立简单实际问题中的函数关系式。理解极限的概念（对极限的 -、- 定义可在学习中逐步加深理解，对于给出定义或不作过高要求） 。理解函数的左右极限与函 数极限的关系，掌握极限四则运算法则及两个极限存在法则（夹逼准则和单调有界准则） ， 掌握用两个重要极限求极限的方法。理解无穷小和无穷大的概念，了解无穷小的阶的概念 及无穷小与函数极限的关系，了解无穷小与无穷大的关系，会用等价无穷小求极限。理解 函数在一点连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。了解初等函数的连 续
6、性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定理） ，会利用介值定理证明根的 存在性等问题。第三章 一元函数微分学 1、导数的概念 2、求导法则 3、高阶导数 4、隐函数和参数方程所确定的函数的导数 5、微分 6、中值定理 7、洛比达法则 *8、泰勒公式 9、函数单调性与极值 10、函数的凹凸性 函数作图 说明和要求: 理解导数的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会求平面曲 线的切线和法线，掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的 导数公式。了解高阶导数的概念。会求某些简单函数的 n 阶导数，掌握初等函数一阶、二 阶导数的求法。了解隐函数的概念
7、，掌握隐函数和参数方程所确定的导数；了解微分概念 及几何意义； 理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日(Lagrange)定理，掌握这两个定理的简单 应用。了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。掌握用洛必达法则（LHospital）求不定 式的极限的方法。理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形（包括水平、铅直和斜渐 近线） 。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。会求曲线的渐进线。第四章 一元函数积分学 1、不定积分 2、定积分 3、广义积分 4、定积分的应用 说明和要求: 理解原函数与不定积分的
8、概念及性质。掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的换元法 和分部积分法。理解定积分的概念及性质。掌握定积分的换元法和分部积分法。理解变上 限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）公 式。理解广义积分的概念。会计算简单广义积分。掌握定积分元素法，掌握用元素法求平 面图形的面积、平面曲线的弧长和旋转体的体积的方法。了解利用元素法计算功、压力、 引力等物理量的方法。第五章 无穷级数 1、数项级数 2、幂级数 说明和要求: 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。掌握 几何级数和 p-级数的收敛性。 掌握正项级数的比较审
9、敛法和比值审敛法，了解正项级数 的根值审敛法。掌握交错级数的莱布尼茨定理。了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念， 了解绝对收敛与收敛的关系。了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。掌握幂级数的收 敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。了解函 数展开为泰勒级数的充分必要条件。会利用 e ，sinx，cosx， ln（1x） ， （l x） 的麦 克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数，会利用幂级数的性质求和。 第六章 多元函数微分学 1、多元函数、极限和连续 2、偏导数与全微分 3、复合函数与隐函数的微分法 4、偏导数的几何应用 5、多元函数的极值 说明和要
10、求: 理解多元函数的概念。了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数 的性质，会求简单二元函数的极限。理解偏导数和全微分的概念，掌握复合函数一阶、二 阶偏导数的求法，掌握全微分的求法。会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组所确定 的隐函数）的偏导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，并会求它们的方 程。会求方向导数。理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要 条件，了解二元函数极值存在的充分条件，掌握求条件极值的拉格朗日乘数法，会求简单 多元函数的最大值和最小值。 第七章 多元函数积分学1、二重积分 2、三重积分 3、重积分的应用 说明和要求: 理解
11、二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。掌握二 重积分（直角坐标系下、极坐标系下）的计算方法，会改换二重积分的次序。了解三重积 分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标） 。会用重积分计算平面图形的面积、立体的体积以及 曲面的面积等一些几何量。第八章 常微分方程 1、微分方程的基本概念 2、一阶微分方程 3、可降阶的高阶微分方程 4、二阶线性微分方程 说明和要求: 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。掌握变量可分离的方程、齐次方程 及一阶线性方程的解法。会用简单的变量代换解一些微分方程。会用降阶法解下列方程： （略） 。理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。掌握二阶常系数齐次线性微分方程的 解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解的结构。会求自由项为多项式、指数函数、 正弦函数、余弦函数，以及它们的和的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。三、教材和主要参考书 1. 陈光曙等理工类 上海 同济大学出版社 2007 年 2、同济大学数学教研室 第五版 北京 高等教育出版社 2002 年
