奥数知识点梳理-比较全面

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1、小学奥数小学奥数概述概述一、一、计算计算 1 四则混合运算繁分数四则混合运算繁分数 1运算顺序运算顺序 2分数、小数混合运算技巧分数、小数混合运算技巧一般而言：一般而言：加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；乘除运算中，统一以分数形式。乘除运算中，统一以分数形式。带分数与假分数的互化带分数与假分数的互化繁分数的化简繁分数的化简 2 简便计算简便计算凑整思想凑整思想基准数思想基准数思想裂项与拆分裂项与拆分提取公因数提取公因数商不变性质商不变性质改变运算顺序改变运算顺序运算定律的综合运用运算定律的综合运用连减的性质连减的性

2、质连除的性质连除的性质同级运算移项的性质同级运算移项的性质增减括号的性质增减括号的性质变式提取公因数变式提取公因数形如：形如：1212.(.)nnabababaaab 3 估算估算求某式的整数部分：扩缩法求某式的整数部分：扩缩法 4 比较大小比较大小通分通分 a.通分母通分母 b.通分子通分子跟跟“中介中介”比比利用倒数性质利用倒数性质若若，则，则 cba.。形如：。形如：，则，则。111 abc312123mmm nnn312123nnn mmm5 定义新运算定义新运算 6 特殊数列求和特殊数列求和运用相关公式：运用相关公式： 21321nnnL 612121222nnnn

3、L21nan nnn 41212122 2333nnnnLL 131171001abcabcabcabcbababa221+2+3+41+2+3+4（n-1n-1）+n+n+（n-1n-1）+4+3+2+1=n+4+3+2+1=n2二、二、数论数论 1 奇偶性问题奇偶性问题奇奇奇奇=偶偶奇奇奇奇=奇奇奇奇偶偶=奇奇奇奇偶偶=偶偶偶偶偶偶=偶偶偶偶偶偶=偶偶 2 位值原则位值原则形如：形如：=100a+10b+cabc3 数的整除特征：数的整除特征：整除数整除数特特征征2末尾是末尾是 0、2、4、6、83各数位上数字的和是各数位上数字的和是 3 的倍数的倍数5末尾是末尾是 0 或或

5、那么那么 bc|a。如果如果 c|b,b|a,那么那么 c|a. a 个连续自然数中必恰有一个数能被个连续自然数中必恰有一个数能被 a 整除。整除。 5 带余除法带余除法一般地，如果一般地，如果 a 是整数，是整数，b 是整数（是整数（b0）,那么一定有另外两个整数那么一定有另外两个整数 q 和和 r，0rb,使使得得 a=bq+r 当当 r=0 时，我们称时，我们称 a 能被能被 b 整除。整除。当当 r00 时，我们称时，我们称 a a 不能被不能被 b b 整除，整除，r r 为为 a a 除以除以 b b 的余数，的余数，q q 为为 a a 除以除以 b b 的不完的不完全

6、商（亦简称为商）全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为。用带余数除式又可以表示为 ab=qr,ab=qr, 0rb a=bq+rbq+r6.6. 唯一分解定理唯一分解定理任何一个大于任何一个大于1 1的自然数的自然数n n都可以写成质数的连乘积，即都可以写成质数的连乘积，即n=n= p1p1 p2p2.pk.pk1a2aak7.约数个数与约数和定理约数个数与约数和定理设自然数设自然数n n的质因子分解式如的质因子分解式如n=n= p1p1 p2p2.pk.pk那么：那么：1a2aakn n的约数个数：的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)d(n)=(a1+1)(

7、a2+1).(ak+1)n n的所有约数和：（的所有约数和：（1+P1+P11+P1+P1 +p1p1）（）（1+P2+P21+P2+P2 +p2p2）（1+Pk+Pk1+Pk+Pk +pkpk）21a22a2ak8.同余定理同余定理同余定义：若两个整数同余定义：若两个整数 a，b 被自然数被自然数 m 除有相同的余数，那么称除有相同的余数，那么称 a，b 对于模对于模 m 同余，用式子表示为同余，用式子表示为 ab(mod m) 若两个数若两个数 a，b 除以同一个数除以同一个数 c 得到的余数相同，则得到的余数相同，则 a，b 的差一定能被的差一定能被 c 整除。整除。两数的和除以两数

8、的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和。的余数和。两数的差除以两数的差除以 m 的余数等于这两个数分别除以的余数等于这两个数分别除以 m 的余数差。的余数差。两数的积除以两数的积除以 m 的余数等于这两个数分别除以的余数等于这两个数分别除以 m 的余数积。的余数积。 9完全平方数性质完全平方数性质平方差平方差： A A -B-B = =（A+BA+B）（）（A-BA-B），），其中我们还得注意其中我们还得注意A+BA+B， A-BA-B同奇偶性。同奇偶性。22约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为约数

9、个数为3 3的是质数的平方。的是质数的平方。质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。平方和。平方和。 1010孙子定理（中国剩余定理）孙子定理（中国剩余定理） 1111辗转相除法辗转相除法 1212数论解题的常用方法：数论解题的常用方法：枚举、归纳、反证、构造、配对、估计枚举、归纳、反证、构造、配对、估计三、三、几何图形几何图形 1 平面图形平面图形多边形的内角和多边形的内角和 N 边形的内角和边形的内角和=(N-2)180)180 等积变形（位移、割补）等积变形（位移、割补）三角形内等底等高的三角形三角形内等底等高的三角形平行线内等

10、底等高的三角形平行线内等底等高的三角形公共部分的传递性公共部分的传递性极值原理（变与不变）极值原理（变与不变）三角形面积与底的正比关系三角形面积与底的正比关系S1S2 =ab ； S1S2=S4S3 或者或者 S1S3=S2S4 相似三角形性质（份数、比例）相似三角形性质（份数、比例） ; S1S2=a2 2AA2 2abch ABCHS1S3S2S4= a2 2b2abab ; S=（a+b）2 燕尾定理燕尾定理SABGSABG：SAGCSAGCSBGESBGE：SGECSGECBEBE：ECEC； SBGASBGA：SBGCSBGCSAGFSAGF：SGFCSGFCAFAF：FCFC

11、； SAGCSAGC：SBCGSBCGSADGSADG：SDGBSDGBADAD：DBDB；差不变原理差不变原理知知 5-2=3，则圆点比方点多，则圆点比方点多 3。隐含条件的等价代换隐含条件的等价代换例如弦图中长短边长的关系。例如弦图中长短边长的关系。组合图形的思考方法组合图形的思考方法化整为零化整为零先补后去先补后去正反结合正反结合2 立体图形立体图形规则立体图形的表面积和体积公式规则立体图形的表面积和体积公式不规则立体图形的表面积不规则立体图形的表面积整体观照法整体观照法体积的等积变形体积的等积变形水中浸放物体：水中浸放物体：V升水升水=V物物BCAFDGE测啤酒瓶容

12、积：测啤酒瓶容积：V=V空气空气+V水水三视图与展开图三视图与展开图最短线路与展开图形状问题最短线路与展开图形状问题染色问题染色问题几面染色的块数与几面染色的块数与“芯芯” 、棱长、顶点、面数的关系。、棱长、顶点、面数的关系。四、四、典型应用题典型应用题 1 植树问题植树问题开放型与封闭型开放型与封闭型间隔与株数的关系间隔与株数的关系 2 方阵问题方阵问题外层边长数外层边长数-2=内层边长数内层边长数（外层边长数（外层边长数-1）4=4=外周长数外周长数外层边长数外层边长数2-中空边长数中空边长数2=实面积数实面积数 3 列车过桥问题列车过桥问题车长车长+桥长桥长=速度速度时间

13、时间车长车长甲甲+车长车长乙乙=速度和速度和相遇时间相遇时间车长车长甲甲+车长车长乙乙=速度差速度差追及时间追及时间列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题车长车长=速度和速度和相遇时间相遇时间车长车长=速度差速度差追及时间追及时间 4 年龄问题年龄问题差不变原理差不变原理 5 鸡兔同笼鸡兔同笼假设法的解题思想假设法的解题思想 6 牛吃草问题牛吃草问题原有草量原有草量=（牛吃速度（牛吃速度-草长速度）草长速度）时间时间 7 平均数问题平均数问题 8 盈亏问题盈亏问题分析差量关系分析差量关系 9 和差问题和差问题 10

14、和倍问题和倍问题 11差倍问题差倍问题 12逆推问题逆推问题还原法，从结果入手还原法，从结果入手 13代换问题代换问题列表消元法列表消元法等价条件代换等价条件代换五、五、行程问题行程问题 1 相遇问题相遇问题路程和路程和=速度和速度和相遇时间相遇时间 2 追及问题追及问题路程差路程差=速度差速度差追及时间追及时间 3 流水行船流水行船顺水速度顺水速度=船速船速+水速水速逆水速度逆水速度=船速船速-水速水速船速船速=（顺水速度（顺水速度+逆水速度）逆水速度）2 水速水速=（顺水速度（顺水速度-逆水速度）逆水速度）2 4 多次相遇多次相遇线型路程：线型路程：甲乙共行全程数甲乙共行全程数=相遇次数相遇次数2-1 环型路程：环型路程：甲乙共行全程数甲乙共行全程数=相遇次数相遇次数其中甲共行路程其中甲共行路程=单在单个全程所行路程单在单个全程所行路程共行全程数共行全程数 5 环形跑道环形跑道

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