平衡方程应用

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1、第三章第三章 平衡方程的应用平衡方程的应用第一节第一节 静定问题及刚体系统平衡静定问题及刚体系统平衡一、静定与静不定问题一、静定与静不定问题在刚体静力学中，当研究单个刚体或刚体系统的平衡问题时，由于对应于每一种力系 的独立平衡方程的数目是一定的（见表 3-1），所以，当研究的问题其未知量的数目等于 或少于表 3-1 各种力系的独立方程数力系名称平面任意力 系平面汇交力 系平面平行力 系平面力偶系空间任意力 系独立方程数32216独立平衡方程的数目时，则所有未知量都能由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题静定问题。 若未知量的数目多于独立平衡方程的数目，则未知量不能全部由平衡方程求出，这样的问

2、题称为静不定问题静不定问题（或称超静定问题超静定问题），而总的未知量数与独立的平衡方程数两者之差称 为静不定次数静不定次数，图 31 所示的平衡问题中，已知作用力 F，当求二个杆的内力（见图 a、b）或二个支座的约束反力（见图 c）时，这些问题都属于静定问题；但是工程中为了 提高可靠度，有时采用图 32 所示系统，即图 a、b 中增加 1 根杆，图 c 增加 1 个滚轴支 座，这样未知力数目均增加了 1 个，而系统独立的方程数不变，这样这些问题就变成了一 次静不定问题。图 31 静定问题 图 32 静不定问题静不定问题仅用刚体静力平衡方程是不能完全解决的，需要把物体作为变形体，考虑 作用于物体

3、上的力与变形的关系（见本书第二篇），再列出补充方程来解决。在关于静不 定问题的求解，已超出了本章所研究的范围。二、刚体系统的平衡问题二、刚体系统的平衡问题由若干个物体通过约束联系所组成的系统称为物体系统物体系统，简称为物系。本篇讨论刚体 静力学，将物体视为刚体，所以物体系统也称为刚体系统刚体系统。当整个系统平衡时，则组成该 系统的每一个刚体也都平衡，因此研究这类问题时，既可取系统中的某一个物体为分离体， 也可以取几个物体的组合或取整个系统为分离体。一旦取出分离体后，该分离体以外物体对于这个分离体作用的力称为外力外力，分离体系 统内各物体间相互作用的力称为内力内力。在研究刚体系统的平衡问题时，不

4、仅要分析外界物体对于这个系统作用的力（外力）， 有时还需要分析系统内各物体间相互作用的力（内力）。由于内力总是成对出现的，因此， 当取整个系统为研究对象时，可不考虑其内力。但是内力和外力的概念又是相对的，当研 究刚体系统中某一刚体或某一部分的平衡时，刚体系统中的其它刚体或其它部分对所研究 刚体或部分的作用力就成为外力，必须予以考虑。在选择分离体列平衡方程时，应尽可能避免解联立方程。对于个刚体组成的系统， 在平面任意力系作用下，可以列出 3n 个独立平衡方程。若系统中的刚体受到平面汇交力系 或平面平行力系作用时，则独立平衡方程的总数目将相应地减少（见表 31）。下面通过实例来说明各类物体系统平衡

5、问题的解法。 例例 31 一管道支架尺寸如图 33 所示，设大管道重 G1=12.0kN，小管道重 G2=7.0kN，不计支架自重，求支座 A、C 处约束反力。图 33 例 31 图解解 如果仅考察整个系统的平衡，则按照约束性质，A、C 处各有 2 个未知力，而独 立的平衡方程只有 3 个，所以为求解需要取部分为研究对象。考察 AB 杆，由于不计各杆的重量，所以杆 CD 为二力杆，CD 杆对 AB 杆的作用力（见图 33b 所示），作用在 AB 杆上的还有主动力 F1、F2，支座 A 的约束反力、，共 5 个力。选择 Axy 坐标系，由平衡方程式（214）得到：， ， ， 解上述方程，得到：（

6、负号说明实际指向与假设相反）根据作用力与反作用力定律，CD 杆在 D 点所受的力与等值、反向，由 CD 杆的平衡条件可知，支座 C 处的约束反力FC=26.0kN，指向 D 点。例例 32 多跨静定梁由 AB 梁和 BC 梁用中间铰连接而成，支承和荷载情况如图34a 所示，已知 F=10kN，q=2.5kN/m, 。求支座、的反力和中间铰处的内力。图 34 例 32 图解解：静定多跨梁往往是由几个部分梁组成，主要包括基本部分和附属部分。基本部分 是指单靠本身就能承受载荷并保持平衡的部分梁；附属部分是指单靠本身不能承受载荷并 保持平衡的部分梁。本题 AB 梁是基本部分，而 BC 梁是附属部分。这

7、类问题的求解，通 常是先讨论附属部分，再计算基本部分。 先取附属部分即 BC 梁为研究对象，受力图如图 34所示，由平衡方程，得到：， 由得到：,7.07sin450 kN =5.0kN由得到：, 107.07cos450kN=5.0kN再取 AB 梁为研究对象，受力图如图 34所示，由平衡方程（214）得到：， (1)， (2)， (3)由作用和反作用定律得5.0kN, 5.0kN，代入式(1)(2)(3)解得：22.55.0 kNm =15kNm=5.0kN22.5+5.0kN=10kN例例 33 图 35a 所示多跨静定梁结构由两根梁在 B 处用铰链连接，各梁长均为。 已知其上作用有集中

8、力偶 M 及集度为 q 的均布载荷。试画出 AB 梁、BC 梁受力图，并求 支座、处的约束反力，以及铰链 B 受到的力。图 35 例 33 图解解 （1） 按照约束性质，画出图 35a 所示的整体受力图，由于未知力、MA、共有 4 个，而只有 3 个独立的平衡方程，所以仅考察整体平衡不能求得全部约束反力。 将系统分为基本部分 AB 和附属部分 BC，将两部分受到的均布载荷分别等效为集中力，大小为，得到受力图 35b、35c。（2）取附属部分即 BC 梁为研究对象，列写平衡方程：， , ， ， 解得：， (3) 取整体为研究对象，列写平衡方程：， ， ， ， 解得：， 例例 34 一构架由杆 A

9、B 和 BC 所组成，载荷 F=20kN，如图 36a 所示。已知 AD=DB=1.0m，AC=2.0m，滑轮半径均为 0.30m，不计滑轮重和杆重，求铰链和处的 约束反力。图 36 例 34 图解解： 此构架不能分为基本部分和附属部分，我们首先取整个系统研究，列平衡方程求 得部分未知量，或建立未知量之间的关系式。之后取分体研究，以求出全部未知量。（1）取整体为研究对象，受力图如图 36a 所示，由力矩平衡方程得：， kN（负号表示指向与图示相反）由力平衡方程得：， 由力平衡方程得：(1)（2）再取 BC 杆研究，受力如图 36b 所示，由定滑轮的性质可知 T=P，由力矩平衡方程得到：， =1

10、0kN代入（1）式得到：例例 35 图 37a 所示结构中，AD=DB=2.0m，CD=DE=1.5m，FP=120kN。不计滑轮 和各个杆的重量，试求支座 A、B 的约束反力及 BC 杆的内力。图 37 例 35 图解解 (1)取整个系统为研究对象，按照约束的性质画出 A、B 处的约束反力，如图 37b 所示。由定滑轮的性质可知 FT=FP。由平衡方程式（214）得到：， ， ， 解得支座 B、A 的约束反力, (2) 为求 BC 杆内力 F，取 CDE 杆连同滑轮为分离体，画受力图 37c，列平衡方程：， 解得 BC 杆内力（负值表示 BC 杆受压力）例例 36 图 38所示曲柄连杆机构由

11、活塞、连杆、曲柄和飞轮组成。已知飞轮重 G，曲柄长，连杆长 ，当曲柄在铅垂位置时系统平衡，作用于活塞上的 总压力为 F，不计活塞、连杆和曲柄的重量，求阻力偶矩 M、轴承 O 的反力。图 38 例 36 图解解：本题的刚体系统由曲轴（连飞轮）、连杆和活塞组成，特点是系统的构件是可 动的，主动力与阻力之间要满足一定关系才能平衡。通常解这类问题是从受已知力作用的 构件开始，依传动顺序选取研究对象，逐个求解。本题中连杆 AB 为二力杆。（1）以活塞为研究对象，受力图如图 38，由平衡方程，得到：， 计算结果为负值，说明的实际指向与所设相反，即连杆 AB 受压力。由平衡方程，得到：， =(2) 取飞轮为

12、研究对象，受力图如图 38所示，列平衡方程：， ， ， +由于，解上面三个方程，得：FGGrFr例例 37 三铰刚架结构尺寸如图 39a 所示，承受集中力 F1、F2的作用，试求 A、B、C 三个铰的约束反力。图 39 例 37 图解解 画出三铰刚架的整体受力图（见图 39a），由于有 4 个未知力，而独立的平 衡方程只有 3 个。所以需要对三铰刚架的 AC、BC 部分进行受力分析。画出刚架 AC 部分受力图，如图 39b 所示，由平衡方程式（214）得到：， （1）， （2）， （3）画出刚架 BC 部分受力图，如图 39c 所示，由平衡方程式（214）得到：， （4）， （5）， （6）由作用和反作用定律可知，联立（1）、（4）二式，解得将上述结果代入（2）、（3）、（5）、（6）式，得到：本题如果 A、B 二支座高度相同，即 h=0，则可以在三铰刚架整体分析时，通过取A、B 点为力矩中心，使力矩平衡方程、中均只含有垂直方向的一个未知反力，从而求出、。但是水平方向的二个未知约束反力只能通过分析三铰刚架的 AC、BC 部分求得。