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1、第二章第二章 微分方程方法微分方程方法在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就 需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具， 在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着 广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题. 利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已 知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数 值解法；另一类问题只要求知
2、道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根 据微分方程定性理论来研究.2.12.1 微分方程的一般理论微分方程的一般理论2.1.12.1.1 微分方程简介所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程若未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程而未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程 例如 xyyyyy2sin512 10 44（2.1.1）2 12 50x yxyy（2.1.2）2( )0yxy（2.1.3）2 0y yxy（2.1.4）01)(ny（2.1.5）（2.1.62 txxua u）其中，方程（2.1.6）是偏微分方程，其他都是常微分方程微分方
3、程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶例如，方程（2.1.1）是四阶微分方程， （2.1.3）是一阶微分方程.一般 n 阶微分方程具有形式 F(x y y y(n) )0或y(n)f(x y y y(n1) ) 必须指出，是必须出现的，而等变量则可以不出现，)(ny)1(, ,nyyyxL如方程（2.1.5）.若 F(x y y y(n) )是关于 及其各阶导数的线性函数，则称y此方程是线性的，否则，称为非线性的.例如，方程（2.1.1） 、（2.1.2）是线性微分方程，方程（2.1.3）是非线性微分方程.线性微分方程可以分为常系数和变系数两大类，常系数线性微分方程中未知函数及
4、其导数的系数均为常数，而变系数线性微分方程中未知函数及其导数的系数不完全是常数.例如，方程（2.1.1） 、（2.1.5）是常系数线性微分方程，而方程（2.1.2）是变系数线性微分方程.满足微分方程的函数(也就是，把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数 y(x)在区间 I上有 n 阶连续导数 如果在区间 I 上 Fx (x) (x) (n) (x)0那么函数 y(x)就叫做微分方程 F(x y y y(n) )0 在区间 I 上的解如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解若以显函数形式给出的解，称为显
5、式解，以隐函数形式给出的解，就称为隐式解.为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必须满足的条件，这就是所谓的定解条件。常见的定解条件是初始条件。用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如xx0 时 yy0 y y0 一般写成 00yyxx00yyxx求微分方程满足初始条件的特解这样一个问题，叫做微分方程的初值问题，例如求微分方程 yf(x y)满足初始条件的解00yyxx的问题 记为 00),( yyyxfyxx微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线2.1.22.1.2微分方程初微分方程初值问题值问题的适定性的适定性在实际问题中，由于自然界本身就给出了问题唯一的
6、答案，所以一个初值问题提得是否符合实际情况，从数学角度来看，可以从三个方面加以检验：（1）解的存在性，即初值问题是否有解？（2）解的唯一性，即初值问题的解是否只有一个？（3）解的稳定性，即当初值条件有微小变动时，解相应的只有微小的变动.一个初值问题的解如果满足存在性、唯一性和稳定性，则称此初值问题是适定的.微分方程的初值问题解的适定性具有重要的实际意义.微分方程模型通常是用来描述确定性的模型的.对于一个由实际问题所建立的微分方程模型，如果其初值问题的解不存在，或解不唯一，这样的模型本身就是不合理的，是没有实际意义的.因为在一定的条件下实际问题到最后总会有确定的结果，这反映在模型上，就是定解问题
7、有唯一解.而解的稳定性更是具有重要的实际应用背景.由于由实际问题导出初值问题时，总要经过一些简化、近似的过程以及一些附加的假设，并且在测量初始条件的值和测量方程中各项系数（或参数）等的值时，不可避免地会出现测量误差，从而致使我们得到的微分方程模型，通常只能是近似地描述所讨论的实际问题，难免存在误差.当测量的数据出现微小的误差时，相应模型的“解”是否也只有微小的误差？如果回答是肯定的，我们就说这个模型的解（在某种意义下）是稳定的，否则，就说这个模型的解是不稳定的.显然，只有“稳定的”解才具有可靠性，只有“稳定的”解才会有使用价值.相反， “不稳定的”解是不会有任何使用价值的.因为初值、参数等的微
8、小误差或干扰将导致“差之毫厘，谬以千里”的严重后果.同时，稳定性也是计算机利用数值方法求解的前提和保证.2.22.2 微分方程的平衡点及稳定性微分方程的平衡点及稳定性一个微分方程即使存在解，也有可能解不出.事实上，我们在学习高等数学的时候就知道，能用初等的方法求出解的微分方程只是极少数.更多的情况下，是没有初等解法的，这 一事实为法国数学家刘维尔(Liouville)在 1841 年所证明.如果一个微分方程的解不是一个 初等函数，由于我们不能将方程的解函数像初等函数一样地将它表示出来，也就可能出现 方程解不出的情况.既然初等积分法有着不可克服的局限性，那么是否可以不求微分方程的 解，而是从微分
9、方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发 展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincar，1854-1912)在 19 世纪 80 年代所创立，后 者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov，1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是 在不求出方程的解的情况下，直接根据微分方程本身的结构和特点，来研究其解的性质.由 于这种方法的有效性，近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流，并且在实际 中有大量的应用.比如，在研究许多实际问题时，其变量的变化率仅与平衡状态有关而与时 间并无直接的联系，或者人们最为关心的并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终
10、（时间充分大之后）的发展趋势.例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或 今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群， 使之免于绝种等等问题.要解决这类问题，就需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论.本 节对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍.2.2.12.2.1一一阶阶方程的平衡点及方程的平衡点及稳稳定性定性函数的变化率只和函数本身有关而与自变量无关的微分方程或微分方程组被称为自治系统，也称为动力系统.通常，一阶微分方程可写成，而自治系统则可写成),( xtfdtdx，即右端不显含自变量 t.)(xfdtdx方程的实根称为自治
11、系统的平衡点（或奇( )0f x 0xx)(xfdtdx点）.显然，根据平衡点的定义，也是自治系统的一个解（奇0xx解） ，即微分方程不变化的解，也就是常数解.如果对任意给定的，存在（ 一般与 和 有关） ，使000t得只要初始条件满足时，自治系统的解0( )x t00( )x tx( )dxf xdt均满足)(tx (对所有的)0( )x tx0tt 则称自治系统的平衡点是（在李雅普洛夫意义下）稳定( )dxf xdt0x的.如果自治系统的平衡点稳定，且存在这样的使( )dxf xdt0x00当时，自治系统的解都满足000( )x tx( )x t0lim ( ) tx tx 则称平衡点是（
12、在李雅普洛夫意义下）渐近稳定的；否则，称0x是不稳定的.特别的，如果从所有可能的初始条件出发，都是是渐0x近稳定的，则称平衡点是全局渐近稳定的.我们在这里讨论的稳定0x性都是指渐近稳定性.判断平衡点是否稳定通常有两种方法：0x（1）间接法：求出自治系统的解，利用上述稳定)(xfdtdx( )x t性的定义判断；（2）直接法：不求自治系统的解，按线性近似判)(xfdtdx( )x t定稳定性，即利用在处的泰勒展开式，只取一次项，( )f x0xx,则方程近似为：0( )( )()f xfxxx)(xfdtdx00()()dxfxxxdt（2.2.1）方程（2.2.1）称为方程的近似线性方程.显然
13、，也)(xfdtdx0xx是近似线性方程（2.2.1）的平衡点.因为方程（2.2.1）的通解为0() 0( )fxtx tcex（2.2.2）其中 是由初始条件决定的常数.由稳定性的定义很容易证明：c若，则是方程（2.2.1）的稳定的平衡点；0()0fx0x若，则是方程（2.2.1）的不稳定的平衡点.0()0fx0x同样，根据李雅普洛夫理论，对于自治系统，若)(xfdtdx，则是稳定的平衡点；若，则是不稳定的平衡0()0fx0x0()0fx0x点.例例 2.2.1 讨论微分方程的平衡点稳定性.2dyyydt解解 I 间接法：易知，方程有两个常数解2( )0f yyy 和 1( )0y t 2(
14、 )1y t 这也是原微分方程的两个平衡点. 当和时，原方程可写成0y1y (1)dydty y 解得 ln |ln |1|yytc 即原方程的通解为 1 1tyce 若有初始条件，求得00(0)(0,1)yyy，011cy 那么所给初值问题的解是01 111ty ey 易知01lim ( )lim0111ttty t ey根据稳定性定义，是稳定的平衡点，是不稳定的平衡点.0x1x II 直接法：由于( )21fyy,，从而，是稳定的平衡点，是不稳(0)10f (1)10f0x1x 定的平衡点.在微分方程模型中，微分方程解的这种特性对许多实际问题的讨论是非常重要的.例如， 研究对象为某温度控制
15、系统.我们有一个理想温度和一个实际温度，和都是时间xyxy 的函数，而,满足某个微分方程，假如我们能够设定一个控制器，使得和的关系txyxy更接近我们的需求，那么保证这个控制器稳定就是一个非常重要的前提.我们以空调为例， 假设室内温度为，空调的设定温度为，和都是时间 的函数，并且满足某个微分yxxyt 方程，现在我们要控制空调的制冷和加热系统，让在更短的时间内更快的接近或者空yx 调最节能，首先就要保证这个控制系统稳定.特别是对于这种带时滞的系统，不稳定的情形 往往是这样：假如室内温度是 32 度，设定温度是 26 度，模型不稳定的话有可能会过制冷 一直到 23 度，然后又会加热到 30 度，接着又制冷到 23 度，再加热到 30 度，无限工作下 去，这就是临界稳定，甚至在绝对不稳定的情况下，温度波动会离 26 度的平衡位置越来越 远.2.2.22.2.2二阶（平面）方程的平衡点和稳定性二阶方程的一般形式可用两个一阶方程表示为（2.2.3）1 122 12( )( ,)( )( ,)dx tf x xdt dx tg x xdt 右端不
