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1、数学通报2011 年第 50 卷第 3 期数学美的丰富蕴含?10 高考数学试题(广东卷)的特色王林全(华南师范大学数科院51 0 631 )2010 年全 国高考数 学试题广 东卷(下称 1 0试题), 重视对基础知识 的掌握,注意考查对数学思想方法 的运用 , 以丰富的数学美学蕴含为特色, 对新课程的教与学有 良好的参考价值 ?1弘扬时代审美精神鼓励数学应用 , 树立环保意识 , 反映时代精神 , 体现了 1 0试题美的数学构思 ?理 1 3 题 , 文n 题 , 把统计 与算法结合起来 , 从一个侧 面反映了节约用水 , 环保意识深人人心 ?试题分别反映了概率统计 , 在产品质量控制 (理
2、 1 7题), 和大众心理调查(文 1 7 题 )方面的应用; 文 1 9 , 理1 9以健康师 为学生设计 营养配餐为背景 , 考查不等式与线性规划 的实际应用, 也反映了对青年学生健康的关 怀 ?理 1 8以亚运灯饰 为题 , 研 究实现一次所有不同的闪烁所需要的时间, 考的是计数原理 , 考生在求解过程中 自然会想象 , 五个彩灯各种不同闪亮 , 绚丽多姿的情境浮现在脑海中, 可以不 自觉地受到数学美的熏陶 ?2普及数学思想方法2.1情境新颖立意美. 平等机会人共享集合与函数 , 几何与空间 , 概率与统计, 计算与算法 , 是高 中数 学 的四条 主线,它们 也是1 0年高考 的重 点
3、 内容 ?新课 程提倡 积极 主动,勇于探索的学习方式 , 从而催生了高考中的新题型 ?例如 , 1 0年高考文科卷第 1 0题是定义新运算的问题 ?文 10 题在集合上定义两种运算 A 和 A 如下:考生需要认 真阅读理解用表格定义的运算 ,根据定义选择正确 的运算结果是 A ?该题 目主要考 察学生 的基本 的阅读 理解能力 , 需要把表格所提供 的信息 , 转化为对新运算定义的理解 , 对运算顺序的要求 ,并且根据定义和运算顺序的要求, 正确得 出运算结果 ?A A A A Aa a ab b b亡亡 d d da a a a aa a ab b bC C Cd d db b b b b
4、b b bb b bb b bb b bC C C C C? ? b b b亡亡 b b bd d d d dd d db b bb b bd d dA A A A Aa a ab b bC C Cd d da a a a aa a aa a aa a aa a ab b b b ba a ab b bf f fd d dC C C C Ca a aC C CC C Ca a ad d d d da a ad d da a ad d d2.2使用符号化语言 , 展示数学化魅力理 1 9 (文 1 9 )某 营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐. 已知一个单位 的午 餐含 12 个单位 的碳水化合物
5、, 6 个单位的蛋 白质和 6 个单位的维生素 C ; 一个单位的晚餐含 8 个单位 的碳水化合物, 6 个单位的蛋 白质和 1 0个单位 的维生素 C ?另外 , 该儿童这两餐需 要的营养中至少含 6 4个单位的碳水化合物, 4 2个单位的蛋白质和 5 4个单位的维生素 C ?如果一个单位 的午餐 ? 晚餐 的费用分别 是2.5 元和 4 元 , 那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少, 应 当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?分析设要为该儿童预定满足要求的午餐 x个单位 , 晚餐 y 个单位 , 所需要费用为 z, 则 目标函数为 z一2. sx + 4y , x , y 满足以下
6、不等式组表示的约束条件 ?需要把约束 条件转化为对 (x , y ) 的可行 域的表述 : 在第一象 限内,由 X 轴 , Y 轴 以及如下图的折线 A B , B C ,CB 所 围成 的平面 闭区域的外部(含边界) ?由于 目标 函数 z 与 x ,y 正相 关,故 函数 z最小值应在可行域的左下方的顶点 A ( 0 . 8 ), B(2, 5), C (4 , 3),D (9, o)之 一 达 到 ? 比较 Z A2011 年第 50 卷第 3 期数学通报= 32 , Z ? = 25 , Z c= 22 , 几 = 22. 5 , 得知,(2 ) 若过点 H (O , h) (h l
7、) 的两条直线 l: 和Z: 与轨迹 E 都只有一个交点, 且 11土Z:, 求 h 的值.分 析 ;由 双 曲 线 荟 一 ,2一 1的 顶 点 出 发 , 分乙别引出两条动直线 A l尸与 A ZQ , 探究两条动直线 交 点R( 二 , ,)轨 迹 , 它 恰 是 与 已 知 双 曲 线 荟?一 y Z一 1在结构上对称的椭圆专+ 犷乙一1(如右下图) ?即使在紧张的应试过程中, 能发现这样对称的图形 , 美妙的规律 , 也会获得美的感受 ?文理 19 题把 约 束 条 件 化 简 为任 刀J 任?U 八b o 自 ?O吵卿岭 必, 一卜 丹 U 1 1脚 Z x - x + x +义1
8、 1 丹h ? 哎?J! | | | r?| | | Lfx 李 O ,v李 O ,3x + Zy) 16,x +v李 7 ,L3x + 5夕 ) 27,当为该儿童预定满足要求 的午餐 4 个单位 ,晚餐 3 个单位时 , 花费最小且符合对学生 的营养要求 ? 以上解决问题过程 , 把文字表述的问题情境 , 转化为用符号化的数学语言表示 的目标函数与约束 条件, 再用数形结合方法转化对 (x , 刃可行域 的几何表示 , 从而找到符合题设要求的最优解, 充分展示 了数学美 的运 用, 数学方 法的魅力 ?3分析变化规律,发现美妙结构数学是研究现实世界空间形式和数量关系的有力工具 ?利用它 ,
9、可以探索点的运动, 分析图形的变化 , 寻找数学对象在运动 中的规律性 ?新课程提倡 自主探索, 独立思考 , 动手实践 , 积极探究等新 型的学习方 式 ?1 0试题 给考 生提供 了独立思考的广阔的空间, 让考生在多种水平上探索数学美 的结构 , 探索数学美的的规律 ?理 20 题誓 一 yZ一 ? 的 左?右顶 点 分 别 为已知双 曲线A , ,A :,点P(x:, 夕 , )(x , , 一y, ) , 是双 曲线上不同的两个动点.求直线 A I尸与A :Q 交点的轨迹 E 的方程 ;Q(1 )理 20考生在求轨迹的过程中也遇到一些障碍或漏洞 ?例如, 不能够有效地利用原有的双曲线方
10、程求出轨迹, 求出轨迹方程后 , 部分考生不能根据条件指出x护?且 x笋士 涯 , 从而把A :, A Z以及点(o, l), (o, 一z)从轨迹 中排除, 如能排除这些暇疵 , 则所得结果更美 ?4探索运动不变性 . 暗含对立统一观1 0 试题展 示 了一幅幅动态变化 的图画, 反映了丰富的数学思想 , 包括 : 以样 本探 知总体(理 1 7 , 文 12 ),函数 的分 段周 期 性 变 化 (文2 0 ), 三维图形的二维(理 6, 文 9 ) 表示 , 二维 图形的三维转化(理 1 8 , 文 18 ) , 图形运动 中的不变性质(文 21), 利用特殊化发现一般 的规律(文2 0
11、 , 理 2 1 ), 等等 ?试题鼓励理性的思考 , 从 中感悟蕴含在 数学 中的哲 理: 动与静 ,必然 与或然 , 变与不变 , 特殊与一般 , 最大与最小等对立与统一规律 , 暗含于思考与判断中 ?这就是辩证法的数学观 , 这也是数学美的魅力所在 ?文 2 1题已知曲线 C : y一n x , ,点 只(几,% )( x , o, 头 0 ) 是曲线 C上的点( n 一1, 2,?).( l )试写出曲线 C , 在点 尸, 处的切线 l, 的方程, 并求出 l, 与 y 轴的交点 Q ?的坐标 ;(2 ) 若原点 O ( 0 , 0 ) 到人的距离与线段 只Q , 的长度之比取得最大
12、值 , 试求点 只 的坐标(几, % );数学通报2011 年第 50 卷第 3 期5 0分析题 中所给 的曲线族由二次函数生成 ,曲线 随着 n 而改 变 , 点一,11? _p ?(云, 森) p ?(x一夕 ,) , (x ? O , 少 , ) O)是.一! |一I t|一一! !一. 1 1一一? ,一 1 1 !一 1 1l ? : ?工 -1 1一 11 1 1 1 1曲线 C ? 上的动点 , 具有可变性 , 随着点 P , 在曲线上位 置的变化 , 切线 l, 的斜 率也在改变, 线段 尸 ,Q , 的长 , 原点 O 到切线 l, 的距 离 O Q n 也文 21一 l当k
13、一1 时函数 f ( x ) 一kf ( x + 2 ) 图像l.lIllllll2l ! 一 1 1 1 1 1.1 1 1?! l在改变 , 从 而线段长度的 比左工 刀/ / / / / 必 火 - - - 2 4入入州T | | |d (x , ) 尸 应, !一1+ 4n,x乏1 1月l+l ! l 也在变化(如上图), 然而, 当 p , (x 二 , y ? ), (x ?_ ?一 人 , ? _11 ?_ , O , y, 0 ) 在某个位置 尸? (分 , 一 )时 , 上述长-一?了?-一/卜 ? 一 一? ?Zn ? 4 n一 确?一 一 一度之 比具有最大值 , 这恰恰
14、反映了运动图形的不变性质 ?在解决问题的过程中, 需要用到求导的知识 , 导数的几何意义, 切线方程 , 点到直线距离 , 不等式 , 最大值等一系列重要 的基础知识 ,和隐含在这些知识中的思想方法和数学美 ?试题能够检查考生的探索能力与综合运用能力 ?4从特殊获得启迪 , 悟出一般原理数学的一般规律寄存于特殊的情境中, 通过把某些条件特殊化 , 可以简化某些条件, 从而获得解决问题的许多启示 ?, 文 2 0已知 函数 f (x )对任 意实数 x 均有 f ( x )一kf ( x + 2 ) , 其 中常数 k 为负数, 且在 区间? O , 2 ?上, 有表达式 f (x )= x (
15、x 一2).(1)求 f (一l), f (2. 5)的值 ;( 2 )写出 f (x )在 ? 一3, 3 ? 上的表达式 , 并讨论函数 f (x )在一3, 3 ? 上的单调性 ;(3 ) 求出 f (x )在一3 , 3上的最小值与最大值 , 并求 出相应的 自变量的取值.分析 : 函数 f (x )一kf (x + 2 ) 具有周期性变化特色 , 但在一般情况下它不是周期函数 , 注意到常数 k 为负数 , 随着 k 的不同取值 , 函数的图像和变化情况各不 相同 ?但是 当 k - 一1 时, 函数 f (x )恰为以 4 为周期 的周期函数 , 则 f (x )在区间 ?O ,
16、2上仍有表达式 f (x )一x (x 一2 ) .在区间(2, 3上有表达式 f (x )- 一(x 一2 )(x 一4) , 在仁 一2.?上有表 达式 f (x )- 一x ( x十2 ) , 在区间 ? 一3, 一2 ) 上有表达式 f (x )一(x+ 2 ) (x + 4 )?当 k- 一1 时 ,函数 f (x )- 一f (xl!11! 一 2 . 一 一.一一 一卜一一 卜 一 一 卜 一 一 +一 一文 2 卜 2 ,一 ? n(六)的 图 像+ 2 ) 的周期性变化情况, 可近似用正弦函数 y -一 Si n子)统 一地予以 刻画(右上图 )?这是一个一 ? ?2兀尸 ? ?J ?曰一 ?一 优雅的表示形式 , 避免 了分段使用不同的代数形式表示 , 更好地反映了 k 一1 时,函数的奇偶性 , 周期性 , 且能对任意实数 x 成立 ?一般地 , 函数 f (x )在 一3 , 3 的表达式为f ( x )矿(x + 2)(x + 4),一3镇 x一2kx (
