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1、 第五讲 向量基本概念及运算 一、向量的基本概念； 1 向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量 2 向量的表示：几何法向量的表示：几何法:用有向线段表示用有向线段表示 （有向线段（有向线段: 规定了起点、方向、长度的规定了起点、方向、长度的 线段）线段）代数法代数法: 用字母表示用字母表示 或ABar3 向量的长度向量的长度(模模): 向量向量 的大小的大小AB表示：表示：| AB4 两个基本向量：两个基本向量： 零向量零向量: 长度为零的向量长度为零的向量(方向任意方向任意). 表示：表示： 单位向量单位向量: 长度为长度为 1 个单位长度的向量个单位长
2、度的向量. 5 向量的关系：向量的关系：平行向量平行向量: 方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量. 表示：表示：barr/相等向量相等向量: 长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量. 表示：表示： 若若 ,则与起点位置无关则与起点位置无关barrbarr共线向量共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上任一组平行向量都可平移到同一直线上. 即平行向量也叫做共线向量即平行向量也叫做共线向量. 二、向量的运算二、向量的运算 1.向量的加法：求两个向量和的运算叫向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算叫向量的加法向量的加法的作法：向量的加法的作法：(1)三角形法则三角形法则
3、 (2).平行四边形法则平行四边形法则向量加法的性质：向量加法的性质：abba: ) 1 (交换律) cb(ac)ba ( : )2(结合律2 向量的减法：求两个向量差的运算叫向量的减法向量的减法：求两个向量差的运算叫向量的减法 从几何图形上看，向量减法同样有三角形法则和平行四边形法则。 3 实数与向量的积实数与向量的积 一般地，实数一般地，实数 与向量与向量 a 的积是一个向量，记作的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定如下：，它的长度和方向规定如下： (1) |a|=| |a|(2) 当当 0 时时,a 的方向与的方向与 a 方向相同；方向相同；当当 0 时时,a 的方向与的方向与
4、a 方向相反；方向相反； 特别地，当特别地，当 =0 或或 a=0 时时, a=0 （3）运算规律）运算规律 aarr)()(aaarrr)(babarrrr )(4)共线向量的充要条件共线向量的充要条件: 向量向量 b 与非零向量与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使，使 得得 b=a5 向量的坐标运算向量的坐标运算（1）向量的坐标表示：）向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示问题：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？取 x 轴、y 轴上两个单位向量 , 作基底，则平面内作一向量=x +y，ijarij记作：
5、=(x, y) 称作向量的坐标arar如：=(2, 2) =(1, 0) arOAi=(2, 1) =(0, 1)br OBj=(1, 5) =(0, 0)c OCj注意：1每一平面向量的坐标表示是唯一的；2设 A(x1, y1) B(x2, y2) 则=(x2x1, y2y1)AB3两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。（2）平面向量的坐标运算1已知(x1, y1) (x2, y2) 和实数 ，则+=(x1+ x2, y1+y2)arbr arbr=(x1 x2, y1y2)arbr=(, )ar112121yyxxba结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。一个向
6、量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。（3）平行向量的充要条件已知(x1, y1) (x2, y2) 则（b0）-=0arbr arbr1221三，向量夹角与模1向量的夹角向量的夹角 OBCAxyar bc已知两个非零向量已知两个非零向量 a 和和 b ,作作，则，则 aOAbOB AOB)1800(oo叫做向量叫做向量 a 和和 b 的夹角。的夹角。当当 时，时，a 与与 b 同向；当同向；当 时，时，a 与与 b 反向反向 o0o180向量垂直向量垂直:如果如果 a 与与 b 的夹角是的夹角是 ，我们说，我们说
7、 a 与与 b 垂直，记作垂直，记作o90ba 2 数量积数量积 已知两个非零向量已知两个非零向量 a 与与 b，它们的夹角为，它们的夹角为，我们把数量，我们把数量叫做叫做 a 与与 b 的数量的数量cos| |ba积（或内积）积（或内积） ，记作，记作 ，即，即 babacos| |ba规定规定 (1)零向量与任一向量的数量积为零零向量与任一向量的数量积为零。 (2)数量积是个数，不是向量（可以是负数）数量积是个数，不是向量（可以是负数）3 性质性质 设设 a、b 都是非零向量，都是非零向量，e 是与是与 b 方向相同的单位向量，方向相同的单位向量，是是 a 与与 e 的夹角，则的夹角，则（
8、1） eaaecos|a（2） （ 设，则）0baba ),().,(2211yxbyxa02121yyxxba(3) |baba(4)当当 a 与与 b 同向时，同向时，当当 a 与与 b 反向时，反向时，特别地，特别地， |baba|baba或或（设设 a =（x，y） ，则，则或或|a |=）2aaaaaa |2|a22yx 22yx (5) （设，则 ）|cosbaba),().,(2211yxbyxa2 12 12121cos yxyyxx4 几 何 意 义oOAB1Bab)1(OAB1Bab)2(OABab)3(的几何意义bacos| |ba数量积数量积等于等于的长度的长度| |
9、| 与与 b 在在的方向上的投影的方向上的投影 的乘积的乘积baararacos|b5 运算律运算律在此处键入公式。（1） （交换律）（交换律） ；abba（2）)()()(bababa（3）cbcacba )(想一想：向量的数量积满足结合律吗？想一想：向量的数量积满足结合律吗？例例 1 如图如图,设设 O 是正六边形是正六边形 ABCDEF 的中心的中心,分别写出分别写出图中与向量图中与向量 、相等的向量相等的向量.OAOBOC问题问题:(1) 与与 相等吗相等吗?OAFE(2) 与与 相等吗相等吗? OBAF(3) 与与 长度相等的向量有几个长度相等的向量有几个?OA(4) 与与共线的向量
10、有哪几个共线的向量有哪几个?OA【巩固巩固】判断下列命题是否正确，判断下列命题是否正确， 1 平行向量是否一定方向相同？平行向量是否一定方向相同？2 不相等的向量是否一定不平行？不相等的向量是否一定不平行？ab方向相同CAB方向相反b ba aA AC C b ba aA AC C aa00a: 注注ab3 与零向量相等的向量必定是什么向量？与零向量相等的向量必定是什么向量？4 与任意向量都平行的向量是什么向量？与任意向量都平行的向量是什么向量？5 若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？6 两个非零向量相等的充要条件是什么？两个
11、非零向量相等的充要条件是什么？7 共线向量一定在同一直线上吗？共线向量一定在同一直线上吗？8 单位向量都相等单位向量都相等 9 四边形四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是是平行四边形的充要条件是 ABDC10 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.11 向量向量与与不共线，则不共线，则与与都是非零向量都是非零向量arar例例 2A AD DE EC CB BA AD DB BC CM MN N例 3 已知：向量、b 如图所示如图所示，则-b=?ararabOABaba-b= 注意方向注意方向 ar例例 4 计算：计算：(1) (-3)4ar(2)
12、3(+b) 2(-b)-ararar(3) (2+3b-c) (32b+c)arar例例 5 如图，已知如图，已知 AD=3AB，DE=3BC，试判断，试判断 AC 与与 AE 是否共线。是否共线。【巩固】 如图，在平行四边形如图，在平行四边形 ABCD 中，点中，点 M 是是 AB 中点，点中点，点N 在线段在线段 BD 上，且有上，且有 BN=BD，求证：，求证：M、N、C 三点共线。三点共线。31提示：设提示：设 AB= BC =bar则则 MN= +b 61ar 61MC= =+b 21ar例 6 已知三个力 (3, 4), (2, 5), (x, y)的合力+=1F2F3F1F2F3
13、F0求的坐标。3F解：由题设+= 得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)1F2F3F0即： (5,1) 054023 yx 15 yx3F例 7 若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，求 xarbr（ -2（ 5（ 2（ 3（ 1（ 2（ABC解：=(-1,x)与=(-x, 2) 共线 (-1)2- x(-x)=0arbrx= 与方向相同 x=2arbr 2【巩固与练习】1 已知 A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量与平行ABCD吗？直线 AB 与平行于直线 CD 吗？解：=(1-(-1), 3-(-1)=(2, 4) =(2
14、-1,7-5)=(1,2)ABCD又：22-4-1=0 ABCD又：=(1-(-1), 5-(-1)=(2,6) =(2, 4)ACAB24-260 与不平行ACABA，B，C 不共线 AB 与 CD 不重合 ABCD2 若 a，b，c，且 c=ma+nb，则 ， .(2, 3)1,29,4m n .),1 , 1 (),32 , 1( 8的夹角与，求已知例babababa.60,1800,21cos)31 (2324231oooQ babababa，解例例 9 例例 2 已知已知 A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断，试判断 ABC 的形的形状，并给出证状，并给出证 明明.) 1 , 1 ()23 , 12(:ABQ证明) 3 , 3()25 , 12(AC031) 3(1ACABACAB .是直角三角形三角形ABC例 10 .43)5 ,(),0 , 3(的值，求的夹角为与，且已知kbakba解解 【巩固与练习巩固与练习】：1 以原点和以原点和 A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形）为两个顶点作等腰直角三角形 OAB， B=90， 求点求点 B 的坐标的坐标. ，的坐标为，则点，且，、已知CABBCOBACOB
