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1、- 1 -1987 年全国高中数学联赛试题一试题(10 月 11 日上午 800930) 一选择题(每个小题选对得 5 分，不选得 1 分；选错或选出的代号超过一个者得 0 分本题满分 20 分)： 1对任意给定的自然数 n，若 n6+3a 为正整数的立方，其中 a 为正整数，则( )A这样的 a 有无穷多个 B这样的 a 存在，但只有有限个C这样的 a 不存在 D以上 A、B、C 的结论都不正确(上海供题) 2边长为 5 的菱形，它的一条对角线的长不大于 6，另一条不小于 6，则这个菱形两条对角线长度之 和的最大值是( )A10 B14 C5 D12(天津供题) 263在平面直角坐标系中纵横
2、坐标均为有理数的点称为有理点，若 a 为无理数，则过(a，0)的所有直线 中( )A有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点B恰有 n(2n0B=(x，y)| |xy|+1=|x|+|y| 若 AB 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则 的值为 (青海供题)3若 k 是大于 1 的整数， 是 x2kx+1=0 的一个根，对于大于 10 的任意自然数 n， +的个位2n2n数字总是 7，则 k 的个位数字是 (河北供题)4现有边长为 3，4，5 的三角形两个，边长为 4，5，的三角形四个，边长为，4，5 的三角形415 62六个，用上述三角形为面，可以拼成 个四面体(江西供题) 5五对
3、孪生兄妹参加 k 个组活动，若规定： 孪生兄妹不在同一组；非孪生关系的任意两个人都 恰好共同参加过一个组的活动，有一人只参加两个组的活动，则 k 的最小值为 (命题组供题)2ABC- 2 -1987 年全国高中数学联赛二试题 一如图，ABC 和ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，现固定ABC，而将ADE 绕 A 点在 平面上旋转，试证：不论ADE 旋转到什么位置，线段 EC 上必存在点 M，使BMD 为等腰直角三角 形EBCDA二在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点试证：存在一个同心圆的集合，使得每个整点都在此集合的某个圆周上；此集合的每个圆周上，有且只有一个整点(辛泽尔定理)三n(n
4、3)名乒乓球选手单打若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总 可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同- 3 -1987 年全国高中数学联赛解答 一试题 一选择题(每个小题选对得 5 分，不选得 1 分；选错或选出的代号超过一个者得 0 分本题满分 20 分)： 1对任意给定的自然数 n，若 n6+3a 为正整数的立方，其中 a 为正整数，则( )A这样的 a 有无穷多个 B这样的 a 存在，但只有有限个C这样的 a 不存在 D以上 A、B、C 的结论都不正确(上海供题) 解：(n2+3k)3=n6+9n4k+27n2k2+27k
5、3=n6+3(3n4+9n2k+9k2)k取 a=(3n4+9n2k+9k2)k，(k 为任意正整数)，则 n6+3a 为正整数的立方，由于 k 可任意取值，且当 k 增大时，a 也随之增大即 a 有无数个选 A 2边长为 5 的菱形，它的一条对角线的长不大于 6，另一条不小于 6，则这个菱形两条对角线长度之 和的最大值是( )A10 B14 C5 D12(天津供题) 26解：设 x3，y3，且 x2+y2=25满足要求的点构成直角坐标系中一段 弧(图中粗线部分)令 x+y=k，则当直线经过点(4，3)时取得最大值 7即2x+2y14选 B 3在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点
6、，若 a 为无 理数，则过(a，0)的所有直线中( )A有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点B恰有 n(2n0B=(x，y)| |xy|+1=|x|+|y| 若 AB 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则 的值为 (青海 供题) 解：集合 A 的图形是依次连(，0)，(0，)，(，0)，(0，)四点的 线段 集合 B 的图形是直线 x=1，x=1，y=1，y=1它们交得一个正八边 形 若此 4 条直线为图中的 4 条实线，则 =tan22.5+1= 或此正八边形2各边与原点距离相等，知直线 x+y= 与原点距离=1= 2若此 4 条直线为图中的 4 条虚线，则=2+2，=2+22
7、2 =2 或 2+ 23若 k 是大于 1 的整数， 是 x2kx+1=0 的一个根，对于大于 10 的任意自然数 n， +的个位2n2n数字总是 7，则 k 的个位数字是 (河北供题)解：另一根=1，+1=k，记 +kn(mod 10)，0kn3)名乒乓球选手单打若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总 可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同 证明 1：用 A、B、表示选手，而用 (A)、(B)表示 A、B 已赛过的对手集合 设 A 是对手集中元素最多的的选手 若命题不成立，则存在两个选手 B、C 使去掉 A 后，B、C 的对
8、手集相同，由于 (B)(C)，故 A 必 属于 (B)与 (C)之一不妨设 B(A)，C(A) 同样存在 D、E，使 D(C)，E(C)，去掉 C 后，(D)=(E)，由于 A(C)，故 DA：又 D(C)， 故 D(B)，即 B(D)=(E)C，从而 B(E)，C(E)，而去掉 A 后，B、C 的对手集相同，从而 E=A 于是 (A)=(E)=(D)C，即 (A)比 (D)少一个元素 C，这与 A 是“对手集中元素最多的”矛盾故 证又证：又证：把这些选手编为 1 至 n 号，以 n 个点表示这 n 个人，各点也相应编为 1 至 n 号 反设去掉任何一各选手后都有两个选手的已赛过的对手完全相同
9、于是先去掉 1 号选手，则有两个选 手的已赛过的对手完全相同，设为第 i 号与第 j 号，在表示此二人的点间连一条线，并在线上注上“1 号” 这说明，此二人在去掉 1 号选手之前必是一人与 1 号赛过，另一人与 1 号没有赛过而且不可能在去掉 1 号后有三人都相同，否则，此三人与 1 号选手比赛的情况只有两种：赛过或没有赛过，如果去掉 1 号后， 此三人的情况完全相同，则去掉 1 号之前必有 2 人赛过的对手完全相同如果去掉 1 号后有不止一对选手 的已赛过对手完全相同，则只任取其中的一对连线，其余的对则不连线 连线后把 1 号选手放回来，再依次去掉 2 号、3 号，直至 n 号，每去掉 1
10、个选手，都会在某两 点之间连出 1 条线这样，就在 n 个选手之间连了 n 条线且这些线上分别注了 1 至 n 号，每条线注了 1 个号码，每个号码只注在 1 条线上 在这 10 个点中，总能找到一点，从这点出发，沿线前进，最后必能回到此点，否则，每到 1 点后， 经过的点数都比线数多 1而图中的点数与线数相等，矛盾现不妨设从点 i 出发，经过点 j、k、最 后回到点 i注意到点 i 与点 j 所代表的两各选手中 1 个是与 1 号比赛的，另一个是没有与 1 号比赛的，不 妨设 i 号没有与 1 号比赛过，j 号与 1 号比赛过而 j 与 k 所连线上注的号码不是 1，故 j 与 k 与 1 号比赛 的情况相同，即 k 号与 1 号比赛过，这样沿线走一圈后回到 i，就应该得出 i 号与 1 号比赛过，矛 盾故证
