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1、1989 年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1 （3 分） （2000北京）如果 I=a，b，c，d，e，M=a，c，d，N=b，d，e，其中 I 是全集，那 么（CIM）（CIN）等于（ ）A B dC a，cD b，e2 （3 分）与函数 y=x 有相同图象的一个函数是（ ）A B C y=alogax其 中 a0，a1D y=logaax其 中 a0，a13 （3 分）如果圆锥的底面半径为，高为 2，那么它的侧面积是（ ）A B C D 4 （3 分）的值等于（ ）A 1B C D 5 （3 分）已知an是等比数列，如果 a1+a
2、2+a3=18，a2+a3+a4=9，Sn=a1+a2+an，那么Sn的值等于（ ）A 8B 16C 32D 486 （3 分）如果的值等于（ ）A B C D 7 （3 分） （2010宁波模拟）设复数 z 满足关系：z+| |=2+i，那么 z 等于（ ）A +iB +iC iD i8 （3 分）已知球的两个平行截面的面积分别为 5 和 8，它们位于球心的同一侧，且相距为 1，那 么这个球的半径是（ ）A 4B 3C 2D 59 （3 分）已知椭圆的极坐标方程是，那么它的短轴长是（ ）A B C D 10 （3 分）如果双曲线上一点 P 到它的右焦点的距离是 8，那么点 P 到它的右准线的
3、距离是（ ）A 10B C D 11 （3 分）已知 f（x）=8+2xx2，如果 g（x）=f（2x2） ，那么 g（x） （ ）A 在区间（1，0）上是减函数B 在区间 （0，1）上 是减函数C 在区间（2，0）上是增函数D 在区间 （0，2）上 是增函数12 （3 分）由数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50000 的偶数共有（ ）A 60 个B 48 个C 36 个D 24 个二、填空题（共 6 小题，每小 4 分，满 24 分） 13 （4 分）方程的解集是 _ 14 （4 分） （2010焦作二模）不等式|x23x|4 的解集是 _ 15 （4 分）函数
4、的反函数的定义域是 _ 16 （4 分） （2010佛山模拟）若（1+x）6=a0+a1x+a2x2+a6x6，则 a1+a2+a6= _ 17 （4 分）已知 A 和 B 是两个命题，如果 A 是 B 的充分条件，那么 B 是 A 的 _ 条件18 （4 分）如图，已知圆柱的底面半径是 3，高是 4，A、B 两点分别在两底面的圆周上，并且 AB=5，那么直线 AB 与轴 OO之间的距离等于 _ 三、解答题（共 6 小题，满分 60 分）19 （8 分）证明：20 （10 分）如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=（）
5、求证：顶点 A1在底面 ABCD 的射影 O 在BAD 的平分线上； （）求这个平行六面体的体积21 （10 分）自点 A（3，3）发出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y24x4y+7=0 相切，求光线 L 所在直线的方程22 （12 分）已知 a0，a1，试求使方程有解的 k 的取值范围23 （10 分）是否存在常数 a，b，c 使得等式 122+232+n（n+1）2=（an2+bn+c）对于一切正整数 n 都成立？并证明你的结论24 （10 分）设 f（x）是定义在区间（，+）上以 2 为周期的函数，对 kZ，用 Ik表示区间（2k1，2k+1，已
6、知当 xI0时，f（x）=x2（1）求 f（x）在 Ik上的解析表达式； （2）对自然数 k，求集合 Mk=a|使方程 f（x）=ax 在 Ik上有两个不等的实根1989 年全国统一高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1 （3 分） （2000北京）如果 I=a，b，c，d，e，M=a，c，d，N=b，d，e，其中 I 是全集，那 么（CIM）（CIN）等于（ ）A B dC a，cD b，e考点：交、并、补集的混合运算 分析：根据交集、补集的意义直接求解或者根据（CIM）（CIN）=CI（MN）求解 解答：解：CIM=b，e，
7、CIN=a，c，（CIM）（CIN）=， 故选 A 点评：本题考查集合的基本运算，较容易2 （3 分）与函数 y=x 有相同图象的一个函数是（ ）A B C y=alogax其 中 a0，a1D y=logaax其 中 a0，a1考点：反函数 分析：欲寻找与函数 y=x 有相同图象的一个函数，只须考虑它们与 y=x 是不是定义域与解析式都相 同即可 解答：解：对于 A，它的定义域为 R，但是它的解析式为 y=|x|与 y=x 不同，故错； 对于 B，它的定义域为 x0，与 y=x 不同，故错； 对于 C，它的定义域为 x0，与 y=x 不同，故错； 对于 D，它的定义域为 R，解析式可化为 y
8、=x 与 y=x 同，故正确； 故选 D 点评：本题主要考查了函数的概念、函数的定义域等，属于基础题3 （3 分）如果圆锥的底面半径为，高为 2，那么它的侧面积是（ ）A B C D 考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 专题：计算题 分析：根据圆锥的侧面积公式直接解答即可 解答：解：圆锥的底面半径为，高为 2，母线长为：，那么它的侧面积：故选 C 点评：本题考查圆锥的侧面积和表面积，是基础题、必会题4 （3 分）的值等于（ ）A 1B C D 考点：反三角函数的运用 专题：计算题 分析：利用反函数的运算法则，以及两角和的余弦公式求解即可 解答：解：=cos（arcsin ）cos（arcc
9、os ）+sin（arcsin ）sin（arccos ）=1故选 A 点评：本题考查反函数的运算，两角和的正弦公式，是基础题5 （3 分）已知an是等比数列，如果 a1+a2+a3=18，a2+a3+a4=9，Sn=a1+a2+an，那么Sn的值等于（ ）A 8B 16C 32D 48考点：极限及其运算；等比数列的前 n 项和；等比数列的性质 专题：计算题 分析：由题意知，所以，Sn=解答：解：a1+a1q+a1q2=18，a1q+a1q2+a1q3=9，Sn=故选 B 点评：本题考查等比数列的计算和极限，解题时要正确选取公式，注意公式的灵活运用6 （3 分）如果的值等于（ ）A B C D
10、 考点：二倍角的余弦 分析：由题目中给出的角 的范围，确定余弦值，用余弦表示 sin，求出结果，容易出错的地方是，要求结果的正负，要用角的范围帮助分析解答：解：，或，故选 C 点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关 系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角 的半角或二倍角的三角函数值，要用到二倍角公式7 （3 分） （2010宁波模拟）设复数 z 满足关系：z+| |=2+i，那么 z 等于（ ）A +iB +iC iD i考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算 专题：计算题；综合题 分析：解法 1：设
11、出复数，利用复数相等的条件求解即可； 解法 2：利用复数模的性质，移项平方，然后解方程即可； 解法 3：考虑选择题的特点，考查选项复数的模，结合题干推出复数 z 的实部、虚部的符号 即可 解答：解：法 1：设 z=a+bi（a，bR）由已知 a+bi+=2+i由复数相等可得故 z= +i故选 B法 2：由已知可得 z=| |+i 取模后平方可得|z|2=（2|z|）2+1=44|z|+|z|2+1，所以，代入得，故选 B法 3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为 2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数 z 的实部，虚部也必须为正， 故选 B 点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的
12、乘除运算，复数的模，考查计算能力，判断能力， 是基础题8 （3 分）已知球的两个平行截面的面积分别为 5 和 8，它们位于球心的同一侧，且相距为 1，那 么这个球的半径是（ ）A 4B 3C 2D 5考点：球面距离及相关计算 专题：计算题 分析：画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题 解答：解：由题意画轴截面图， 截面的面积为 5，半径为， 截面的面积为 8 的圆的半径是， 设球心到大截面圆的距离为 d， 球的半径为 r，则 5+（d+1）2=8+d2， d=1，r=3 故选 B点评：本题考查球的截面圆的半径，球的半径，球心到截面圆心的距离的关系，是基础题9 （3 分）已知椭圆的极坐标方
13、程是，那么它的短轴长是（ ）A B C D 考点：简单曲线的极坐标方程 专题：计算题 分析：利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的短轴长即可解答：解：将原极坐标方程为，化成：极坐标方程为 =，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e= ，a=3，b=，c=2它的短轴长 2 故选 C 点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题10 （3 分）如果双曲线上一点 P 到它的右焦点的距离是 8，那么点 P 到它的右准线的距离是（ ）A 10B C D 考点：双曲线的简单性质 专题：计算题 分析： 由双曲线的第二定义可知点 P 到双曲线右焦点的距离和点 P 到它的右准线的距离之比等于离心率，由
14、此可以求出点 P 到它的右准线的距离 解答：解：设点 P 到它的右准线的距离是 x，解得故点 P 到它的右准线的距离是故选 D点评：本题考查双曲线的第二定义，解题时注意认真审题11 （3 分）已知 f（x）=8+2xx2，如果 g（x）=f（2x2） ，那么 g（x） （ ）A 在区间（1，0）上是减函数B 在区间 （0，1）上 是减函数C 在区间（2，0）上是增函数D 在区间 （0，2）上 是增函数考点：复合函数的单调性 专题：计算题；综合题；压轴题 分析：先求出 g（x）的表达式，然后确定它的区间的单调性，即可确定选项 解答：解：因为 f（x）=8+2xx2，则 g（x）=f（2x2）=8
15、+2x2x4=（x21）2+9，因为g（x）=4x3+4x，x（1，0） ，g（x）0，g（x）在区间（1，0）上是减函数故选 A 点评：本题考查复合函数的单调性，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题12 （3 分）由数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50000 的偶数共有（ ）A 60 个B 48 个C 36 个D 24 个考点：排列及排列数公式 专题：压轴题分析：由题意本题的要求是个位数字是偶数，最高位不是 5可先安排个位，方法有 2 种，再安排 最高位，方法有 3 种， 其他位置安排方法有 A33=6 种，求乘积即可 解答：解：由题意，符合要求的数字共有 23A33=36 种 故选 C 点评：本题考查有特殊
