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1、1965 年全国统一高考数学试卷一、解答题（共 8 小题，满分 100 分）1 （14 分）如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积2 （14 分）在 A 处的甲船测得乙船在北偏西 4948的 B 处，以速度 22 里/小时向正北方向行驶，甲 船立即从 A 处出发，以速度 26 里/小时向北偏西 度的方向沿直线驶去追赶乙船，问 是多大角度 时，经过一段时间甲船能够在某 C 处恰好与乙船相遇？（lg2.2=0.3424，lg2.6=0.4150）3 （14 分）把地球看作半径为 R 的球，设 A、B 两地纬度相同，都是 度，它们的经度相差 度 （0180） ，求 A、B 两地之间的球面距
2、离4 （14 分） （1）证明|sin2x|2|sinx|；（x 为任意值） （2）已知 n 为任意正整数，用数学归纳法证明|sinnx|n|sinx| （x 为任意值）5 （14 分）已知一点 P 的坐标是（4，2） ，直线 L 的方程是 yx+5=0，曲线 C 的方程是，求经过 P 点而与 L 垂直的直线和曲线 C 的交点的坐标6 （14 分）当 P 是什么实数时，方程 x2+px3=0 与方程 x24x（p1）=0 有一公共根？7 （16 分）已知抛物线 y2=2x （1）在抛物线上任取二点 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，经过线段 P1P2的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛
3、物线交于点 P3，证明P1P2P3的面积为；（2）经过线段 P1P3、P2P3的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于 Q1、Q2，试将 P1P3Q1与P2P3Q2的面积和用 y1，y2表示出来； （3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一系列的三角形，由此设法求出 线段 P1P2与抛物线所围成的图形的面积8 （1）已知 a，b，c 为实数，证明 a，b，c 均为正整数的充要条件是；（2）已知方程 x3+px2+qx+r=0 的三根 ， 都是实数，证明 ， 是一个三角形的三边的充要条件是1965 年全国统一高考数学试卷 参考答案与试题解析一、解答题（共 8 小题，
4、满分 100 分）1 （14 分）如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题 分析：由题可知图表示的是一个正六棱锥，根据其体积公式求解即可 解答：解：二视图表示的是一个正六棱锥， 其棱长为 2a 底面边长为 a，故底面积，棱锥的高， 故正六棱锥的体积，=点评：本题考查学生的空间想象能力，是基础题2 （14 分）在 A 处的甲船测得乙船在北偏西 4948的 B 处，以速度 22 里/小时向正北方向行驶，甲 船立即从 A 处出发，以速度 26 里/小时向北偏西 度的方向沿直线驶去追赶乙船，问 是多大角度 时，经过一段时间甲船能够在某 C 处恰好与乙船相
5、遇？（lg2.2=0.3424，lg2.6=0.4150）考点：解三角形的实际应用 专题：应用题 分析：先设经过 x 小时后甲船在 C 处追上以船，则根据题意可知 BC=22x，AC=26x 进而根据正弦定理得，两边取对数，求得 解答：解：设经过 x 小时后， 甲船在 C 处追上以船， 则 BC=22x（里） AC=26x（里）由正弦定理，即，取对数得 lgsin（4948）=lg22+lgsin4948，4948=4015，=49484015=933点评：本题主要考查了正弦定理在实际中的应用属基础题3 （14 分）把地球看作半径为 R 的球，设 A、B 两地纬度相同，都是 度，它们的经度相差
6、 度 （0180） ，求 A、B 两地之间的球面距离考点：球面距离及相关计算 专题：计算题；综合题 分析：画出图形，由于 A、B 两地纬度相同，都是 度，先求纬圆半径，通过经度相差 度，解出 AB 距离，求出 AB 的球心角，然后求其球面距离 解答：解：A、B 两地之间的球面距离为过 A、B 所作之大圆的圆弧 AB 的长， 设其长为 L，且设AOB= 过 A、B 作平面 O1ABNS（极轴） ， 此平面与球面交成圆 O1 设其半径为 r，由已知，AO1B= 设 C、D 分别为赤道平面上与点 A、B 同经度之两点， 则由已知，AOC=BOD=在过 A、B 的大圆上有由此可知，只需求出 即可在圆
7、O1中，线段 AB=，又在过 A、C 的大圆中，因为OO1A=90， OAO1=，所以 r=Rcos代入上式，可得线段 AB=在AOB 中，线段 AB=，于是可得=，所以由此可得 A、B 两地之间的球面距离为此处之角度以度为单位点评：本题考查球面距离，经度不同纬度相同的一般问题，具体规律性，是中档题，好题4 （14 分） （1）证明|sin2x|2|sinx|；（x 为任意值） （2）已知 n 为任意正整数，用数学归纳法证明|sinnx|n|sinx| （x 为任意值）考点：数学归纳法 专题：证明题 分析：（1）先利用三角函数的二倍角公式，再结合三角函数的有界性即可证明； （2）用数学归纳法证
8、明三角问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当 n=1 时，结论显然成 立，第二步，先假设假设当 n=k 时结论成立，利用此假设结合三角函数的和角公式以及三角 函数值的有界性，证明当 n=k+1 时，结论也成立即可 解答：证：（1）|sin2x|=|2sinxcosx|=2|sinx|cosx| |cosx|1， |sin2x|2|sinx|； （2）当 n=1 时，结论显然成立 假设当 n=k 时结论成立， 即|sinkx|k|sinx| 当 n=k+1 时， |sin（k+1）x| =|sinkxcosx+coskxsinx|sinkxcosx|+|coskxsinx| =|sinkx|co
9、sx|+|coskx|sinx|k|sinx|+|sinx| =（k+1）|sinx| 故当 n 为任意正整数时，结论均成立 点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式 设 P（n）是关于自然数 n 的命题，若 1P（n0）成立（奠基） 2假设 P（k）成立（kn0） ，可以推出 P（k+1）成立（归纳） ，则 P（n）对一切大于等于 n0 的自然数 n 都成立5 （14 分）已知一点 P 的坐标是（4，2） ，直线 L 的方程是 yx+5=0，曲线 C 的方程是，求经过 P 点而与 L 垂直的直线和曲线 C 的交点的坐标考点：椭圆的应用 专题：计算题 分析：曲线 C 是椭圆，中心在（
10、1，1） ，其长轴平行于 y 轴，短轴平行于 x 轴设直线 L1过点P（4，2）且垂直于直线 L 与曲线 C 相交于点 A、BL1的方程为 y+2=（x4） ，解方程组，可得到直线 L1与曲线 C 的交点解答：解：曲线 C 是椭圆，中心在（1，1） ，其长轴平行于 y 轴，短轴平行于 x 轴设直线 L1过点 P（4，2）且垂直于直线 L 与曲线 C 相交于点 A、BL1的方程为 y+2=（x4）即 y=x+2欲求 L1与曲线 C 的交点，解方程组得故直线 L1与曲线 C 的交点为 A（ ， ） ，B（1，3） 点评：本题考查椭圆的方程、性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用6 （14 分）当
11、 P 是什么实数时，方程 x2+px3=0 与方程 x24x（p1）=0 有一公共根？考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系 专题：计算题 分析：先设 是它们的公共根，代入题中的两个方程消去 2，得到 和 p 的关系式，再代入任意一 个方程解出 p 以及 即可 解答：解：设 是它们的公共根，则由（1） ， （2）消去 2，得（p+4）（4P）=0，将（3）代入（1） ，得，整理后，得到 p3+2p2+16p+32=0， （p+2） （p2+16）=0， p2+160，p=2 代入（3） ，得故当 p=2 时，方程 x2+px3=0 与方程 x24x（p1）=0 有一公共根 3点评：本题考查一
12、元二次方程的根的分布与系数的关系当两个方程有公共根时，这个公共根让这 两个方程同时成立，代入可得关于公共根的两个等式再利用这两个等式解题即可7 （16 分）已知抛物线 y2=2x （1）在抛物线上任取二点 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，经过线段 P1P2的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点 P3，证明P1P2P3的面积为；（2）经过线段 P1P3、P2P3的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于 Q1、Q2，试将 P1P3Q1与P2P3Q2的面积和用 y1，y2表示出来； （3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一系列的三角形，由此设法求出
13、线段 P1P2与抛物线所围成的图形的面积考点：抛物线的应用 专题：综合题 分析：（1）根据 P1和 P2的坐标可表示出 P1P2的中点的坐标，进而求得 P3的横坐标和纵坐标代 入P1P2P3的面积表达式，化简整理即可 （2）根据 P1和 P3的坐标可表示出 P1P3的中点的坐标，可求出点 Q1的横、纵坐标和点 Q2的 横、纵坐标，再由行列式求面积的方法求出面积 （3）根据线段 P1P2与抛物线所围成的图形的面积等于+（+）可得到答案解答：解：（1）P1的坐标为（x1，y1） ，P2的坐标为（x2，y2） ，P1P2的中点为点 P3的横坐标，纵坐标P1P2P3的面积=的绝对值=（2）P1的坐标为
14、（x1，y1） ，P3的坐标为，P1P3的中点为，点 Q1的横坐标，纵坐标同理，点 Q2的横坐标，纵坐标P1P3Q1的面积+P2P3Q2的面积=的绝对值+的绝对值=y2|（y2y1）2|=（3）线段 P1P2与抛物线所围成的图形的面积S=+（+）=点评：本题主要考查抛物线的基本性质和用行列式的方法求面积考查计算能力和综合运用能力8 （1）已知 a，b，c 为实数，证明 a，b，c 均为正整数的充要条件是；（2）已知方程 x3+px2+qx+r=0 的三根 ， 都是实数，证明 ， 是一个三角形的三边的充要条件是考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：证明题 分析：（1）必要性显然，关键是
15、证明充分性可设 a，b，c 是三次方程 x3+px2+qx+r=0 的三个根， 利用根与系数的关系及已知条件即可证明 a，b，c 满足的条件，从而得出 a，b，c 是整数 （2）借助（1）的证明，问题转化为证明 ， 为三角形三条边的充要条件为p34pq8r由三角形的性质和适当的计算，即可证明此充要条件解答：证明：（1）条件的必要性是显然的， 因为已知 a0，b0，c0， 所以立即可得 a+b+c0， ab+bc+ca0，abc0 下面证明条件的充分性： 设 a，b，c 是三次方程 x3+px2+qx+r=0 的三个根，则由根与系数的关系及已知条件有p=a+b+c0，q=ab+bc+ca0，r=abc0，此即 p0，q0，r0 由此即可知三次方程 x3+px2+qx+r=0 的系数正负相间， 所以此方程无负根，即方程根均非负； 又由 abc0 可知，方程无零根， 故 a0，b0，c0； （2）由（1）的证明可知， 均为正数的充要条件是 p0，q0，r0于是问题转化为证明 ， 为三角形三条边的充要条件为 p34pq8r条件的必要性：若 ，
