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1、利用集合思想探究一类充要条件问题利用集合思想探究一类充要条件问题陈 凌 宗平芬六盘水市第一中学 553002 数学思维活动中，探究命题的充要条件有极为重要的数学思维价值，这是因为充要条件与等价转化思想如同孪生兄弟，而等价转化思想的广泛应用可将待证（待解）数学问题转化为与之等价的易证（已解）问题。数学关系中的各种充要条件的应用，是实现这种转化的基本手段。集合思想早已渗透到现代数学研究的各个领域，它也就很自然地成为探索各种充要条件的基础。对于那些可以转化为集合关系的充要条件问题，若能用好集合思想，则能简化思维过程，提高思维效率。并能有效避免对原命题及相应的四种命题形式进行繁琐的转化和过多的（有时甚
2、至是不必要）真假判定，这对于初涉充要条件问题的学生，有更积极的意义。引导学生探究集合思想在充要条件问题中的应用，对提高学生探索充要条件的能力将大有帮助。一、子集，真子集及相等集合关系中所所蕴含的充要条件问题首先，从子集关系理解充分条件与必要条件，是指：对于集合、，若，则“”是“”的充分条件，同时称“ABBA AxBx”是“”的必要条件。BxAx其次，将充要条件问题以集合思想表现出来，是指： 当时， “”是“”的充分且必要条件； BA AxBx 当时（真子集） ， “”是“”的充分不必要条件；ABAxBx同时，称“”是“”的必要不充分条件；BxAx 若上述条件都不成立，则称“”是“”的既不充分B
3、xAx也不必要条件。二、将充要条件问题以集合关系表现出来，这是用集合关系探究数学知识中的各种充要条件问题的基础，如：探索方程或不等式的解集，即是求方程或不等式成立的充要条件；直角坐标系下的曲线交点问题的求解过程，也就是探索以对应的方程组的解集为其充要条件的过程。对于条件与结论 ，若“真”等价于集合，pqp)(|真xpxA “ 真”等价于集合，则条件与结论 的关系可通过q)(|真xqxB pq集合之间的集合关系来体现：BA, 当当时，条件时，条件是结论是结论 的充分且必要条件；的充分且必要条件；BA pq 当当时，条件时，条件是结论是结论 的充分但不必要条件；的充分但不必要条件；ABpq 当当时
4、，条件时，条件是结论是结论 的必要但不充分条件；的必要但不充分条件；ABpq 若在上述情况之外，则条件若在上述情况之外，则条件是结论是结论 的称为既不充分也不必的称为既不充分也不必pq要条件。要条件。以下鳞选出近几年高考试题的典型实例，逐一加以分析，让我们共同欣赏和品味集合思想开出的这朵小花。例 1. (2008 高考湖北省理 2)若非空集合、满足，ABCCBAU且不是的子集，则（ ）BA（A） “”是“”的充分条件但不是必要条件CxAx（B） “”是“”的必要条件但不是充分条件CxAx（C） “”是“”的充要条件 CxAx（D） “”既不是“”的充分条件，也不是“”的必CxAxAx要条件分析
5、 由题意知的集合关系为，因而“”是CA,CACx“”的必要但不充分条件，选（B） 。Ax例 2.(2007 辽宁省理 10)设、 是两个命题，pq， ，则是 的（）0)3|(|log:21xp061 65:2xxqpq（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件分析 由真，则， 真，则p)4 , 3()3, 4(Uxq),21()31,(Ux因为是真子集，所以，是 的充分而不)4 , 3()3, 4(U),21()31,(Upq必要条件，故选（A） 。例 3. (2008 高考福建省理 2)设集合， 01xxxA那么“”是“”的（）30|xxBA
6、mBm（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件分析 由于，可知，因而“10|xxA30|xxBAB”是“” 的充分而不必要条件，选（A） 。AmBm例 4.(2007 江西省理 12)设在12ln)(:2mxxxexfpx内单调递增，则是 的（）), 0( 5:mqpq（A）分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件分析 由，则在时恒成立，mxxexfx41)( 0)( xf), 0( x即在恒成立，设在的最)41(xxemx), 0( xxxex41), 0( x小值为 ，则，所以，。若真，则，a54
7、xea5 ap),am真，则由于，因而选（B） 。q), 5m), 5),a三、 推广应用利用集合关系探索命题真假问题。例 5.(2003 高考全国卷理 19) 已知，设：函数在上0cpxcy R单调递减， ：不等式的解集为，如果和 有且仅有q1|2|cxxRpq一个正确，求 的取值范围.c分析 若真，则， 真，由于不等式的解p) 1 , 0(cq1|2|cxx集与不等式同解。应用数形结合思想，在同坐标系下分1|2|xcx析函数和的图象，可得，将两个集1)(xxf|2|)(cxxg),21(c合表示的数轴上，如右图：由图可知，是和 同时) 1 ,21(cpq为真的充要条件；而，真且21, 0(cp假，假且 真，都满足和 有且仅有一个正确，所以 q), 1 cpqpq为所求。), 1 21, 0(Uc参考文献：罗增儒， 形异而质同要看清问题的深层结构，中学数学教学参考（高中版），2006，10
