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1、1. 已知离散时间系统的差分方程为：2y(n) - y(n-1) - 3y(n-2)=2x(n) - x(n-1)x(n)=u(n) , y(-1)=1,y(-2)=3 , 试用 filter 函数求系统的零输入响应、零状态响应和全0.5n响应. 解：将差分方程 Z 变换得：12112 ( ) ( )( 1) 3( )( 1)( 2)2 ( ) ( )( 1)Y zz Y zyz Y zz yyX zz X zx .(1)依题意有：x(-1)=0,x(-2)=0,y(-1)=1,y(-2)=3 ,X(z)= 11 1 0.50.5z zz 将上式变形如下：.(2)1211(23) ( ) (
2、1) 3( 1) 3 ( 2)(2) ( )zzY zyz yyzX z 1211(23) ( )(2) ( ) ( 1) 3( 1) 3 ( 2)zzY zzX zyz yy .(3)1211(23) ( )(2) ( ) 10 3zzY zzX zz易得系统函数为 H(z)= 1212222 2323zzz zzzz 零输入时零输入时，x(n)=0,差分方程右边为 0，z 变换后应为121(23) ( )103zzY zz112103( )23zY zzz=22103 23zz zz =718 3515 2zz zz将 Y(z)进行 Z 反变换，得到其零输入响应为：y(n)= 718 3
3、( 1)( ) ( )552nnu n 零状态时零状态时，将 y(-1)=0,y(-2)=0 代入上面的式（2）中，得Y(z)= X(z)= =1122 23z zz 1122 23z zz 11 1 0.5z222 23z zz=23 3515 2zz zz将其 Z 反变换，得到零状态响应为：y(n)= 23 3 ( 1)( ) ( )55 2nnu n 全响应与上面同理，y(-1)=1,y(-2)=3将上面式(3)变形得：Y(z)= =22123 23zz zz 921 3515 2zz zzZ 反变换得全响应为Y(n)= 921 ( )3515 2zzu nzz程序代码： %第二章Z变换
4、第2.12题程序clear all;close all; num=2 -1 0; %系统函数分子的系数 den=2 -1 -3; %系统函数分母的系数n=0:50; nl=length(n);%求零输入响应 y01=1 3; %y的初始状态 x01=0 0; %x 的初始状态 x1=zeros(1,nl); zi1=filtic(num,den,y01,x01); %为filter函数准备初始值 y1=filter(num,den,x1,zi1); %求零输入响应subplot(311); stem(n,y1,r.); title(零输入响应);grid on;%求零状态响应y02=0 0;
5、x02=0 0; x2=0.5.n; zi2=filtic(num,den,y02,x02); y2=filter(num,den,x2,zi2); subplot(312); stem(n,y2,r.);title(零状态响应);grid on;%求全响应y03=1 3; x03=0 0; x3=0.5.n; zi3=filtic(num,den,y03,x03); y3=filter(num,den,x1,zi3); subplot(313); stem(n,y3,r.); title(全响应);grid on;运行结果如下：2. 已知离散系统的系统函数分别为(1) (2) 2321( )
6、21zzH zz31( )1zH zz(3) (4) 2322( )2241zH zzzz332( )0.20.30.4zH zzzz试用 MATLAB 实现下列分析过程： 求出系统的零极点位置； 绘出系统的零极点图，根据零极点图判断系统的稳定性； 绘出系统单位响应的时域波形，并分析系统稳定性与系统单位响应时域特性的关系。解：程序代码如下：%第二章 Z 变换第 2.13 题程序clear all;close all; %题(1)a1=2 0 0 -1; %系统函数分母的系数b1=0 2 -2 -1; %系统函数分子的系数p1=roots(a1), %求极点 pa1=abs(p1), %求极点到
7、坐标原点的距离，看它是否大于 1,若有一个大于 1,%则系统不稳定；若所有的都小于 1，则系统稳定q1=roots(b1), %求零点 h1=impz(b1,a1); %求单位响应subplot(421); zplane(b1,a1);%画零极点图title(1)的零极点图);subplot(425); stem(h1,.); %单位响应的时域波形grid on; title(1)的单位响应的时域波形);%题(2)a2=3 0 0 -1; b2=0 0 1 1; p2=roots(a2), pa2=abs(p2), q2=roots(b2), h2=impz(b2,a2); subplot(4
8、22);zplane(b1,a1); title(2)的零极点图);subplot(426);stem(h2,.); grid on; title(2)的单位响应的时域波形);%题(3)a3=1 2 -4 1; b3=0 1 0 2; p3=roots(a3), pa3=abs(p3), q3=roots(b1), h3=impz(b3,a3); subplot(423);zplane(b3,a3); title(3)的零极点图);subplot(427);stem(h3,.); grid on; title(3)的单位响应的时域波形);%题(4)a4=1 0 0 0; b4=1 0.2 0.
9、3 0.4; p4=roots(a4), pa4=abs(p4), q4=roots(b4), h4=impz(b4,a4); subplot(424);zplane(b1,a1); title(1)的零极点图);subplot(428);stem(h4,.); grid on; title(1)的单位响应的时域波形); 运行结果如下：3. 已知描述离散系统的差分方程为：y(n) - y(n-1) - y(n-2)=4x(n) - x(n-1) - x(n-2)试用 MATLAB 绘出系统的零极点分布图，并绘出系统的幅频和相频特性曲线，分析 该系统的作用解： 程序代码如下：clear all;
10、close all;num=4,-1,-1; den=1 -1 -1; H,w=freqz(num,den); subplot(311); zplane(num,den); subplot(312); plot(w/pi,abs(H); grid on; title(幅频响应曲线)subplot(313); plot(w/pi,angle(H); title(相频响应曲线);grid on; 运行结果如下：4. 已知因果（单边）离散序列的 Z 变换分别如下所示，试用 MATLAB 求出其 Z 反变换(1) (2) 221( )2zzF zzz23221( )1 2zzF z zzz (3) (
11、4) 22( )21zF zzz3243221( )32321zzzF zzzzz解： 程序代码如下：clear all;close all; F1=sym(z2+z+1)/(z2+z-2); f1=iztrans(F1),F2=sym(2*z2-z+1)/(z3+z2+z/2); f2=iztrans(F2),F3=sym(z2)/(z2+sqrtm(2)*z+1); f3=iztrans(F3),F4=sym(z3+2*z2+z+1)/(3*z4+2*z3+3*z2+2*z+1); f4=iztrans(F4) 运行结果如下：f1 =(-2)n/2 - kroneckerDelta(n,
12、0)/2 + 1注：kroneckerDelta(n, 0)= nf2 =2*kroneckerDelta(n - 1, 0) - 6*kroneckerDelta(n, 0) + 3*(-1)n*2(1 - n)*i*(i + 1)(n - 1) - 3*(- 1)n*2(1 - n)*i*(1 - i)(n - 1)f3 =2*(-1)n*cos(n*acos(sqrtm(2)/2) + (-1)n*(sqrtm(2)/2 + (sqrtm(2)2/4 - 1)(1/2)(n - 1)/(2*(sqrtm(2)2/4 - 1)(1/2) - (-1)n*(sqrtm(2)/2 - (1/4
13、*sqrtm(2)2 - 1)(1/2)(n - 1)/(2*(sqrtm(2)2/4 - 1)(1/2)f4 =sum(-(r3*r3n + r3n + 2*r32*r3n + r33*r3n)/(2*r33 + 6*r32 + 6*r3 + 4), r3 in RootOf(z14 + (2*z13)/3 + z12 + (2*z1)/3 + 1/3, z1) + kroneckerDelta(n, 0) sum( -(r3*r3n + r3n + 2*r32*r3n + r33*r3n)/(2*r33 + 6*r32 + 6*r3 + 4), r3 in RootOf(z14 + (2*
14、z13)/3 + z12 + (2*z1)/3 + 1/3, z1) ) + kroneckerDelta(n, 0)注： r3 in RootOf(z14 + (2*z13)/3 + z12 + (2*z1)/3 + 1/3, z1)就是说 r3 是关于 Z1 的方程 z14 + (2*z13)/3 + z12 + (2*z1)/3 + 1/3=0 的根。sum( -(r3*r3n + r3n + 2*r32*r3n + r33*r3n)/(2*r33 + 6*r32 + 6*r3 + 4), r3 in RootOf(z14 + (2*z13)/3 + z12 + (2*z1)/3 + 1/3, z1) )就是将上面方程的每个根（即 r3 的值）代入-(r3*r3n + r3n + 2*r32*r3n + r33*r3n)/(2*r33 + 6*r32 + 6*r3 + 4)，然后相加。
