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1、授课时间第 次课，第 周星期 第 节课时授课方式理论课 讨论课 习题课 实验课 上机课 技能课 其他授课题目11 线性方程组的消元解法线性方程组的消元解法目的与要求掌握高斯消元法解线性方程组. 掌握初等行变换法求线性方程组解的结构重点与难点重点是高斯消元法解线性方程组. 难点是初等行变换法求线性方程组解的结构教学基本内容方法及手 段在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。一、线性方程
2、组设含有 n 个未知量、有 m 个方程式组成的方程组（3.1）a xa xa xb a xa xaxbaxaxaxbnnnnmmmnnm11112211211222221122 L L LLLLLL L其中系数，常数都是已知数，是未知量（也称为未知数） 。aijbjxi当右端常数项, , , 不全为 0 时，称方程组（3.1）为非齐b1b2bm次线性方程组；当= = 0 时，即b1b2bm（3.2）a xa xa x a xa xaxaxaxaxnnnnmmmnn1111221211222211220 00 L L LLLLLL L称为齐次线性方程组。由 n 个数, , , 组成的一个有序数组
3、（, , , k1k2knk1k2） ，如果将它们依次代入方程组（3.1）中的, , , 后，knx1x2xn（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（, k1, , ）为方程组（3.1）的一个解。显然由=0, =0, , k2knx1x2=0 组成的有序数组（0, 0, , 0）是齐次线性方程组（3.2）的xn一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。）非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：AX = B其中A
4、 = ，X = ，B = mnmmnnaaaaaaaaaLLLLLLL212222111211nxxxM21nbbbM21称 A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。将系数矩阵 A 和常数矩阵 B 放在一起构成的矩阵=BAmmnmmnnbbbaaaaaaaaaLLLLLLLL21212222111211称为方程组（3.1）的增广矩阵。齐次线性方程组（3.2）的矩阵表示形式为：AX = O二、高斯消元法下面介绍利用矩阵求解方程组的方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方程组的解呢？我们先看一个定理。 ）定理 3.1 若用初等行变换将增广矩阵化为，BADC则 AX = B 与
5、 CX = D 是同解方程组。 由定理 3.1 可知，求方程组（3.1）的解，可以利用初等行变换将其增广矩阵化简。又有第二章定理 2.10 可知，通过BA初等行变换可以将化成阶梯形矩阵。因此，我们得到了BA求解线性方程组（3.1）的一般方法：用初等行变换将方程组（3.1）的增广矩阵化成阶梯BA形矩阵，再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组（3.1）的解。这种方法被称为高斯消元法，例 1 解线性方程组 （3.3）xxxx xxxx xxxx xxxx123412341234123421 5320 342 221 解 先写出增广矩阵
6、，再用初等行变换将其逐步化BA成阶梯形矩阵，即=BA11122241130235111211 () ()1 3 213340577401114011211 ()122200666001114011211 ( )1 3 00000666001114011211上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩阵表示的线性方程组为xxxxxxxxx1234234342141666 将最后一个方程乘，再将项移至等号的右端，得1 6x4xx341 将其代入第二个方程，解得 212x再将代入第一个方程组，解得 xx23,2141xx因此，方程组（3.3）的解为 （3.4） 1212143
7、241xxxxx其中可以任意取值。x4由于未知量的取值是任意实数，故方程组（3.3）的解有x4无穷多个。由此可知，表示式（3.4）表示了方程组（3.3）的所有解。表示式（3.4）中等号右端的未知量称为自由未知量，x4用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）称为方程组（3.3）的一般解，当表示式（3.4）中的未知量取定一个值x4（如=1） ，得到方程组（3.3）的一个解（如，x4x11 2 ，） ，称之为方程组（3.3）的特解。x21 2x30x41注意，自由未知量的选取不是唯一的，如例 1 也可以将取作自由未知量。x3如果将表示式（3.4）中的自由未知量取一任意常数 k，x4即令= k，那
8、么方程组（3.3）的一般解为x4，其中 k 为任意常数。 kxkxxkx432112121用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。如果用矩阵将回代的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”方程组的解。例如对例 1 中的阶梯形矩阵进一步化简， 00000666001114011211 1 62 00000111002004011011 1 41 ()0000011100210010211001上述矩阵对应的方程组为121
9、2143241xxxxx将此方程组中含的项移到等号的右端，就得到原方程组x4（3.3）的一般解，（3.4） 1212143241xxxxx其中可以任意取值。x4例 2 解线性方程组 xxx xxx xxx xxx123123123123234 2357 4399 2588 解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成阶梯阵，BA再求解。即=BA885299347532432102107350111043211100220011104321 000011001110432100001100201070210000110020103001一般解为xxx123321例 3 解线性方程组 xxxxxxx
10、xx1231231231242253解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成阶BA梯阵，再求解。即=BA 315224211111 133033301111 200033301111阶梯形矩阵的第三行“0, 0, 0, -2”所表示的方程为：，由该方程可知，无论，取何值，0002123xxx x1x2x3都不能满足这个方程。因此，原方程组无解。三、线性方程组的解的判定前面介绍了用高斯消元法解线性方程组的方法，通过例题可知，线性方程组的解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解。从求解过程可以看出，方程组（3.1）是否有解，关键在于增广 矩阵A B化成阶梯非零行的行数与系数矩阵 A 化成阶梯形矩阵
11、 后非零行的行数是否相等。因此，线性方程组是否有解，就可以 用其系数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。 定理 3.9 线性方程组（3.1）有解的充分必要是 =r A( ) 。r A B()推论 1 线性方程组有唯一解的充分必要条件是r A( )= 。r A B()n推论 2 线性方程组有无穷多解的充分必要条件是r A( )。r A B()n（将上述结论应用到齐次线性方程组（3.2）上，则总有。因此齐次线性方程组一定有解。并且有）r A( )r A B()例 4 判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？(1) (2) xxx xxx xxx xxx1231231231232311 7
12、 236 324 xxx xxx xxx xxx1231231231232311 27 236 325 (3) xxx xxx xxx xxx1231231231232311 7 236 325 解 (1) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即A B = 42136132711111321297702877042101132110000700421011321因为 = 4，=3，两者不等，所以方程组无解。r A B()r A()(2) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即A B = 52136132721111321 00000000411011321因为 =2n（= 3） ，所以方程组有无穷
13、多解。r A B()r A()(3) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即A B = 5213613271111132100000700421011321因为 = 3 = n，所以方程组有唯一解。r A B()r A()例 5 判别下列齐次方程组是否有非零解？ （机动）xxxx xxxx xxxx xxxx12341234123412343780 25440 37230 412160 解 用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即A =16124132734452873185102723202018108731 121300131300201810873110001313002018108731因为 = 4 = n，所以齐次方程组只有零解。r A()思考题、 作业、 参考文 献课 后小 结
