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1、第一章作业解答第 1 页 共 56 页第二章第二章(2)(2)（20082008 年年 1010 月月 9 9 日）日）1515速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度是 ，用量纲分析方法确定风车vs 获得的功率与、S、的关系.Pv解解: : 设、S、的关系为， 其量纲表达式为:Pv0),(svPfP=, =,=,=,这里是基本量纲.32TMLv1LTs2L3MLTML,量纲矩阵为：A=()()()()()()(001310013212svPTML齐次线性方程组为：030032221414321yyyyyyyy它的基本解为)1 , 1 ,3 , 1(y由量纲定理得 ， ， 其中是无量纲常数.
2、iP1131svP113svP 1616雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义vg 是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞 系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.v解解：设, 的关系为,=0.其量纲表达式为=LM0T-1，=L-v g(fv g)v3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T-2,其中 L，M，T 是基本量g纲. 量纲矩阵为 A=)()()()()()()(210101101131gvTML齐次线性方程组 Ay=0 ，即 02y-y- y-0 yy0yy-3
3、y-y 431324321第一章作业解答第 2 页 共 56 页的基本解为 y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量纲定理 得 . ，其中是无量纲常数.iPgv133gv 1616 雨滴的速度与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关，其中*vg粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.v解解：设,， 的关系为.其量纲表达式为v g0),(gvf=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T0 ，v=LM0T-2g其中 L，M，T 是
4、基本量纲. 量纲矩阵为A=)()()()()()()()(210010110011311gvTML齐次线性方程组 Ay=0 即 020035414354321yyyyyyyyyy的基本解为 )21, 1 , 1,23, 0()21, 0, 0,21, 1 (21yy得到两个相互独立的无量纲量2/112/3 22/12/1 1 ggv 即 . 由 , 得 1 212/12/3 1,ggv0),(21)(1 21, 其中是未定函数. )(12/12/3gg2020.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期
5、计算原型摆的周期.第一章作业解答第 3 页 共 56 页解解：设阻尼摆周期 ,摆长 , 质量,重力加速度，阻力系数的关系为tlmgk0),(kgmltf其量纲表达式为：112120000000)( , , , ,LTMLTvfkTLMgMTLmTLMlTMLt， 其中，是基本量纲.10MTLLMT 量纲矩阵为 A=)()()()()()()()(120011010001010kgmltTML齐次线性方程组 02005415342yyyyyyy的基本解为) 1 ,21, 1,21, 0()0 ,21, 0 ,21, 1 (21YY得到两个相互独立的无量纲量, , glt 1)(212/12/12
6、mgkl ，其中是未定函数 .)(2/12/1mgkl glt考虑物理模拟的比例模型，设和不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为gk,； ,;,. 又 ttllmm)(2/12/1gml k glt当无量纲量时， 就有 .ll mm ll lg gl tt数学模型数学模型作业解答作业解答22/112/112/12/1 kgmlgtl第一章作业解答第 4 页 共 56 页第三章第三章 1 1（20082008 年年 1010 月月 1414 日）日）1.1. 在 3.1 节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允
7、许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少解：解：设购买单位重量货物的费用为,其它假设及符号约定同课本k对于不允许缺货模型，每天平均费用为：01krrTc TcTC2)(2122 21rc Tc dTdC令 ， 解得 0dTdC rccT21*2由 ， 得rTQ 212 crcrTQ与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果没有变对于允许缺货模型，每天平均费用为：02 kQQrTrc rQccTQTC232 2 1)(221),(222 33 22 2 21 222TkQ rTQcrc rTQc Tc TCTk rTQccrTQc QC3 32令 ， 得到驻点： 00QCTC3232222
8、 33232132233221)(22cckr cccrkc ccc crcQcck ccc rccT第一章作业解答第 5 页 共 56 页与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果减少2 2建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数，销售速率为常数，kr在每个生产周期内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来rk 00Tt 的一段时间只销售不生产，画出贮存量的图形.设每次生产准备费为)(0TtT)(tg，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论1c2c和的情况.rk rk 解：解：由题意可得贮存量的图形如下：)(tg贮存费为 niTiitTTrkcdttgctgc1
9、0 202022)()()(lim又 Q)()(00TTrTrk, 贮存费变为 TkrT 0kTTrkrc2)(2于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTrkrcTc kTTrkrc TcTC2)( 2)()(212 21.krkrcTc dTdC 2)(221, 得0dTdC令)(221 rkrckcT易得函数取得最小值，即最优周期为： 处在TTC)()(221 rkrckcT. 相当于不考虑生产的情况.rccTrk212时当rk )(tgrtgT0TO第一章作业解答第 6 页 共 56 页. 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.Trk时当第三章第三章 2 2（2008
10、2008 年年 1010 月月 1616 日）日）3 3在 3.3 节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关，b试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：解：考虑灭火速度与火势有关，可知火势越大，灭火速度将减小，我们作如bb下假设: ，1)(bkb分母而加的.时是防止中的011bb总费用函数 xcbkxbxtc bkxbtctcxC3122 12 12 11) 1( )(2) 1( 2 最优解为 kb kcbbbckbcx) 1( 2) 1() 1(22 322 15 5在考虑最优价格问题时设销售期为 T，由于商品的损耗，成本随时间增长，设q，.又设单位时间的销售量
11、为.今将销售tqtq0)(为增长率)( 为价格pbpax期分为两段，每段的价格固定，记作.求的最优值，TtTTt220和21, pp21, pp使销售期内的总利润最大.如果要求销售期 T 内的总售量为，再求的最优值.0Q21, pp解：解：按分段价格，单位时间内的销售量为TtTbpaTtbpax 2,20 ,21又 .于是总利润为Qtqtq0)(202221121)()()()(),(TTTdtbpatqpdtbpatqpppU=22)( 022)(2 0222 011TT ttqtpbpaT ttqtpbpa =)83 22)()822)(2 02 22 01 1TtqTpbpaTTqTpb
12、pa第一章作业解答第 7 页 共 56 页)(2)822(12 011bpaTTTqTpbpU)(2)83 22(22 022bpaTTtqTpbpU, 得到最优价格为:0, 021 ppUU令 )43(21)4(210201TqbabpTqbabp在销售期 T 内的总销量为2 0221210)(2)()(TTTppbTaTdtbpadtbpaQ于是得到如下极值问题：)83 22)()822)(),(max2 02 22 01 121TtqTpbpaTTqTpbpappUts.021)(2QppbTaT利用拉格朗日乘数法，解得： 880 20 1 T bTQ bapT bTQ bap即为的最优
13、值.21, pp第三章第三章 3 3（20082008 年年 1010 月月 2121 日）日）6.6. 某厂每天需要角钢 100 吨，不允许缺货.目前每 30 天定购一次，每次定购的费用为2500 元.每天每吨角钢的贮存费为 0.18 元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：解：已知：每天角钢的需要量 r=100(吨);每次订货费2500（元）;1c第一章作业解答第 8 页 共 56 页每天每吨角钢的贮存费0.18（元）.又现在的订货周期 T 30（天）2c0根据不允许缺货的贮存模型：krrTcTcTC21 21)(得：kTTTC10092500)(令 ， 解得：0dTdC 350 92500*T由实际意义知：当（即订货周期为）时，总费用将最小.350*T350又300100kkTC10035095025003)(*=35333100kkTC100309302500)(0（353.33100k）（300100k）5333.)(0TC)(*TC32故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为 T =，能节约费用约 5333 元.* 350数学模型数学模型作业
