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1、第三章答案第三章答案1.1.证明：二阶样本中心矩证明：二阶样本中心矩2B不是总体方差不是总体方差2的无偏估计。的无偏估计。证明证明：已知2 2 11()ni iBXXn；不失一般性我们假设总体为2, (), ()X E XD X，12,nXXXK为其样本，它们相互独立，且与总体X服从相同的分布，所以有2(), (), 1,2, .iiE XD XinL计算：112 2 22 11111() () () 111()() () nnii iinnii iiE XEXE XnnnnD XDXD Xnnnnn 所以22222222() () () () () () iiiE XD XE XE XD X
2、E Xn进而有222 2 112212 2221222211() () 1() ()1() ()1() nnii iini iniE BEXXEXnXnnE XnE Xnnnnnnn221(1)nn即：二阶样本中心矩2B不是总体方差2的无偏估计证毕。2.2.设设 12和为为的两个独立的无偏估计，且的两个独立的无偏估计，且 12( )2 ()DD，求常数，求常数, a b，使得，使得 12ab为此种线性组合中有为此种线性组合中有最小方差的无偏估计。最小方差的无偏估计。解解：已知 12和为的两个独立的无偏估计，即： 12( ), ()EE。() 12ab是的无偏估计，即： 12()E ab而 12
3、12()( )()()E abaEbEab，所以有1 abL L() 12ab的方差最小，因为1222 1212() 2()22 2() ( )()(2)()DDD aba Db DabD 且 2()0D，所以 12() D ab取最小值22(2)ab取最小值2(321)aa取最小值（结合式）1 3a213ba ，即：当12, 33ab时 12ab为此种线性组合中有最小方差的无偏估计3.3.设总体设总体X的概率分布密度为的概率分布密度为1, 0( , )0, x exf x ，其他，其中其中0未知，未知，12,nXXXK为其样本。试证为其样本。试证$12min,nnXXXK为为的无偏估计。的无
4、偏估计。证明：证明：已知总体X的概率分布密度为1, 0( , )0, x exf x ，其他，则分布函数1, 0( , )( , )0, x xexF xfd ，其他，因为样本相互独立且与总体服从相同的分布，所以( , )( , ), 1,2, . iXFxF xinL令12min,nYXXXK，则Y的分布函数为： 121212111( )min, y 1min, y 1 y, y, y1 y11 y11( )1, iYnnnni ini inX inyFyP YyPXXXPXXXP XXXP XP XFye KKK00, y ，其他，所以Y的概率分布密度为：, 0( )( )0, nyYYn
5、eyfyFy ，其他，$1200 000( )min,()( )nnynnyynynyEE nXXXE n YnE Ynnyedyneyedynedynennn K$ 12min,nnXXXK为的无偏估计。 4.4.设总体设总体X服从服从0, 的均匀分布，的均匀分布，12,nXXXK为其样本。令为其样本。令$12max,ncXXX K，求，求c使得使得$为为的无偏估计。的无偏估计。解解：已知总体(0, )XU:，则X的分布函数为：0, 0,( ) , 0,1, ,x xF xxx X的概率分布密度为：1, 0,( )0, ,xf x 其他因为样本相互独立且与总体服从相同的分布，所以( )( )
6、, 1,2, . iXFxF xinL令12max,nYXXXK，则Y的分布函数为： 121211( )max, y y, y, yy( )0, 0, 0,1, ,iYnnni inX inFyP YyPXXXP XXXP XFyyyyy KK所以Y的概率分布密度为：1, 0,( )( )0, nn YYnyyfyFy ，其他，100( )1n n nnnynnE Yydyydyn 。欲使$12max,ncXXX K为的无偏估计，则$( ) EL L而$12( )max,()( ) 1nnEE cXXXE c YcE Ycn KL L又、得：1ncn。5.5.设总体设总体X服从几何分布，其分布
7、律为服从几何分布，其分布律为1(1) (1,2,)xP Xxpp xL，样本为，样本为12,nXXXK，求，求p的矩的矩法估计及极大似然估计。法估计及极大似然估计。 解：解：（1）已知总体X服从几何分布，其分布律为1(1) (1,2,)xP Xxpp xL，所以1111()(1) (1)xxxxE Xxpppx q- p= q 令为了求级数的和，可以利用已知的幂级数展开式：211 , | |11nxxxxx LL按幂级数逐项微分性质可得：21 21123 , | |1(1)nxxnxxx LL由此可得：211()(1)E Xpqp所以由()XE X，即：1Xp得p的矩法估计：1pX。（2）似然
8、函数为111( )(1)(1)(1)ni iixn xnniL pppppp两边取自然对数，得：1ln ( )lnln(1)ln(1)ni iL pnpnpxp两边对p求导，并令导数等于 0 得：1dln ( )10d11ni iL pnnxpppp解上述方程，得p的极大似然估计：111 1ni ipXxn 。6 6设总体设总体X的概率分布为：的概率分布为： X0 01 12 23 3p22 (1)2(1 2 )其中其中1(0)2为未知参数，利用总体的如下样本值为未知参数，利用总体的如下样本值3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3求求的矩法估计值和极大似然估计值。的矩法估计值和极大似然估
9、计值。 解：解：（1）由已知易得：221()01 2 (1)23 (1)3411(3 1 303 123)28ni iE XXXn 所以由()XE X，即：342得的矩法估计：$1 4。（2）似然函数为2422624( )(1 2 )2 (1)4(1) (1 2 )L两边取自然对数，得：ln ( )ln46ln2ln(1)4ln(1 2 )L两边对求导，并令导数等于 0 得：2dln ( )6242(12143)0d11 2(1)(1 2 )L 解上述方程，得：127137131, (0)12122Q舍去，所以的极大似然估计1713 12。7.7. 设总体设总体X的概率分布密度为：的概率分布密
10、度为：(1), 0 1( , )0, xxf x ，其他，其中其中1 为未知常数。求为未知常数。求的矩法估计和极大似然估计。的矩法估计和极大似然估计。 解：解：已知总体X的概率分布密度为：(1), 0 1( , )0, xxf x ，其他，（1）计算111001()(1)(1)2E Xxx dxxdx所以由()XE X，即： 1 2X 得的矩法估计：$21 1X X（2）似然函数为11( )(1)(1) ()nn n ii iiLXX两边取自然对数，得：1ln ( )ln(1)lnni iLnX两边对求导，并令导数等于 0 得：1dln ( )ln0d1ni iLnX 解上述方程，得：的极大似
11、然估计$11 lnni inX 。8.8.设总体设总体 X X 服从服从, 的均匀分布，样本为的均匀分布，样本为(1)(2)( )nXXXL，求参数，求参数的极大似然估计。的极大似然估计。解解：X 的概率分布密度为：1, ( , )20, xx 其他.所以，当(1)(2)( )nXXX L时，似然函数为1( )(2 )nL，否则( )0L。故要使得似然函数( )L达到极大，必须在满足(1)(2)( )nXXX L的条件下，使1 (2 )n达到极大，即达到极小。所以的极大似然估计为$(1)( )max|,|nXX。9.9.某工厂生产的一批手表，其走时误差（单位：秒某工厂生产的一批手表，其走时误差
12、（单位：秒/ /日）服从正态分布，现从中随机抽取日）服从正态分布，现从中随机抽取 9 9 只进行检测，结果如下：只进行检测，结果如下：4.0 3.1 2.5 2.9 0.9 1.1 2.0 3.0 2.8，设置信概率为设置信概率为0.95，求这批手表走时误差的均值，求这批手表走时误差的均值和方差和方差2的置信区间。的置信区间。解：解：设X表示这批手表的走时误差，2( ,)XN :由样本值得：样本均值为：1112.5( 4.02.8)0.277899ni ixxnL样本方差为：222211111(63.130.6944)7.8044118nnii iisxxxnxnn（1）由于样本函数(1)Xt nSn:，所以对应于置信概率为1，总体均值的置信区间为22(1), (1)SSXtnXtnnn
