《2013新人教b版必修五2.3.1《等比数列》word同步测试1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013新人教b版必修五2.3.1《等比数列》word同步测试1（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、BatchDoc-Word 文档批量处理工具BatchDoc-Word 文档批量处理工具等比数列等比数列例题解析例题解析【例例 1】 已知 Sn是数列an的前 n 项和，Snpn(pR，nN*)，那么数列an A是等比数列 B当 p0 时是等比数列 C当 p0，p1 时是等比数列 D不是等比数列分析分析 由 Snpn(nN*)，有 a1=S1p，并且当 n2 时，an=SnSn-1pnpn-1(p1)pn-1故，因此数列成等比数列 a = (p1)pa p0p10(p1)p2nn 1 ()() ppp p pn212但满足此条件的实数 p 是不存在的，故本题应选 D 说明说明 数列an成等比数
2、列的必要条件是 an0(nN*)，还要注意对任 ， ，都为同一常数是其定义规定的准确含义n*n2Na ann1【例例 2】 已知等比数列 1，x1，x2，x2n，2，求x1x2x3x2n解解 1，x1，x2，x2n，2 成等比数列，公比 q21q2n+1x1x2x3x2nqq2q3q2n=q1+2+3+2n= q2n(1+2n) 2qnnn()212【例例3 3】 a (1)a = 4an25等比数列中，已知，求通项公1 2 式；(2)已知 a3a4a58，求 a2a3a4a5a6的值解解 (1)a = a q q =525 21 2BatchDoc-Word 文档批量处理工具BatchDoc
3、-Word 文档批量处理工具aa q4()()(2)aaa aaaa = 8n2n 2n 2n 43542 345431 21 2a42又a aa aaa a a a a = a = 322635423456452【例例 4】 已知 a0，b0 且 ab，在 a，b 之间插入 n 个正数x1，x2，xn，使得 a，x1，x2，xn，b 成等比数列，求证x xxabnn122证明证明 设这 n2 个数所成数列的公比为 q，则 b=aqn+1qb ax xxaqaqaqaqababnnnnnn11221 22【例例 5】 设 a、b、c、d 成等比数列，求证：(bc)2(ca)2(db)2(ad)
4、2证法证法一 a、b、c、d 成等比数列a bb cc db2ac，c2bd，adbc左边=b22bcc2c22aca2d22bdb2=2(b2ac)2(c2bd)(a22bcd2)a22add2(ad)2右边 证毕 证法二证法二 a、b、c、d 成等比数列，设其公比为 q，则：baq，caq2，d=aq3左边(aqaq2)2(aq2a)2(aq3aq)2a22a2q3a2q6BatchDoc-Word 文档批量处理工具BatchDoc-Word 文档批量处理工具=(aaq3)2(ad)2=右边证毕 说明说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目证法一是抓住 了求证式中右边没有 b、
5、c 的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的 b、c 的路子证法二则是把 a、b、c、d 统一化成等比数列的基本元素 a、q 去解决 的证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法 具有普遍性 【例例 6】 求数列的通项公式： (1)an中，a12，an+13an2 (2)an中，a1=2，a25，且 an+23an+12an0思路：转化为等比数列解解 (1)a= 3a2a1= 3(a1)n+1nn+1nan1是等比数列an1=33n-1 an=3n1(2)a3a2a = 0aa= 2(aa )n+2n+1nn+2n+1n+1nan+1an是等比数列，即an+1an=(
6、a2a1)2n-1=32n-1再注意到 a2a1=3，a3a2=321，a4a3=322，anan-1=32n-2，这些等式相加，即可以得到a = 31222= 3= 3(21)n2n-2n 1 21 211n 说明说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知(1)中发现an1是 等比数列，(2)中发现an+1an是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体 现【例例7 7】 aaaa(aa )a2a(aa )aaa = 0aaaa123412 22 42 213422 32 1234若实数、都不为零，且满足求证：、成等比数列，且公比为证证 a1、a2、a3、a4均为不为零的实数为实系数一
7、元二次方程等式说明上述方程有实数根(aa )x2a (aa )xaa =0(aa )a2a (aa )aaa =0a12 222 21322 3212 22 42 213422 32 4上述方程的判别式 0，即BatchDoc-Word 文档批量处理工具BatchDoc-Word 文档批量处理工具2a (aa )4(aa )(aa )=4(aa a )0(aa a )02132 12 22 22 3222 13222 132又a1、a2、a3为实数必有即(aa a )0aa a = 0a = a a22 13222 1322 13因而 a1、a2、a3成等比数列又a =2a42() ()()a
8、a aaaaa aa aa a1312 2221312 13212 a4即为等比数列 a1、a2、a3的公比【例例 8】 若 a、b、c 成等差数列，且 a1、b、c 与 a、b、c2 都成等比 数列，求 b 的值 解解 设 a、b、c 分别为 bd、b、bd，由已知 bd1、b、bd 与 bd、b、bd2 都成等比数列，有b = (bd1)(bd)b = (bd)(bd2)22 整理，得b = bdbdb = bd2b2d222222 bd=2b2d 即 b=3d 代入，得9d2=(3dd1)(3dd)9d2=(2d1)4d解之，得 d=4 或 d=0(舍)b=12 【例例 9】 已知等差数
9、列an的公差和等比数列bn的公比都是 d，又知d1，且 a4=b4，a10=b10：(1)求 a1与 d 的值； (2)b16是不是an中的项？思路：运用通项公式列方程解解 (1)a = b a= b3d = a da9d = a da (1d ) =3da (1d ) =9d4410101131191319由 aBatchDoc-Word 文档批量处理工具BatchDoc-Word 文档批量处理工具 dd2 = 063舍 或ddadd1231331222()(2)b16=b1d15=32b1且a = a3d =2 2 = bb = bd =2b =2 2b = a =2413 4413 13
10、113b16=32b1=32a1，如果 b16是an中的第 k 项，则32a1=a1(k1)d(k1)d=33a1=33dk=34 即 b16是an中的第 34 项【例例1 10 0】 a b = (1 2)bbb =21 8b b b =1 8nnan 123123设是等差数列，已知，求等差数列的通项解解 设等差数列an的公差为 d，则 an=a1(n1)db = (1 2)b b = (1 2)(1 2)= (1 2)bna13aa +2d2(a +d) 221111()nd1由，解得，解得，代入已知条件整理得 b b b =1 8b =1 8b =1 2b b b =1 8b b =1
11、4bb =17 812323 21231313bbb12321 8解这个方程组，得b = 2b =1 8b =1 8b = 21313，或，a1=1，d=2 或 a1=3，d=2当 a1=1，d=2 时，an=a1(n1)d=2n3 当 a1=3，d=2 时，an=a1(n1)d=52n 【例例 11】 三个数成等比数列，若第二个数加 4 就成等差数列，再把这个等 差数列的第 3 项加 32 又成等比数列，求这三个数BatchDoc-Word 文档批量处理工具BatchDoc-Word 文档批量处理工具解法一解法一 按等比数列设三个数，设原数列为 a，aq，aq2 由已知：a，aq4，aq2成
12、等差数列 即：2(aq4)=aaq2a，aq4，aq232 成等比数列即：(aq4)2=a(aq232) aq2 = 4a，两式联立解得：或 这三数为： ， ，或，a = 2 q = 3a =2 9 q =52618 2 910 950 9解法二解法二 按等差数列设三个数，设原数列为 bd，b4，bd 由已知：三个数成等比数列即：(b4)2=(bd)(bd) 8bd =162bd，b，bd32 成等比数列即 b2=(bd)(bd32) 32bd32d = 02、两式联立，解得：或三数为，或 ， ，b =26 9d =8 3b =10 d = 826182 910 950 9解法三解法三 任意设
13、三个未知数，设原数列为 a1，a2，a3 由已知：a1，a2，a3成等比数列得：a = a a22 13a1，a24，a3成等差数列得：2(a24)=a1a3 a1，a24，a332 成等比数列得：(a24)2=a1(a332) BatchDoc-Word 文档批量处理工具BatchDoc-Word 文档批量处理工具、式联立，解得：或a =2 9a =10 9a =50 9a = 2a = 6a =18123123 说明说明 将三个成等差数列的数设为 ad，a，ad；将三个成等比数列的数设为 ，或， ，是一种常用技巧，可起到aaqaq (aaq)2a q简化计算过程的作用 【例例 12】 有四
14、个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并 且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数 分析分析 本题有三种设未知数的方法 方法一方法一 设前三个数为 ad，a，ad，则第四个数由已知条件可推得：()ad a2方法二方法二 设后三个数为 b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为 2bbq 方法三方法三 设第一个数与第二个数分别为 x，y，则第三、第四个数依次为 12y，16x 由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求 的四个数，解解法法一一 adaad设前三个数为 ， ， ，则第四个数为()ad a2依题意，有 ad=16a(ad) =12()ad a 2解方程组得：或a = 4d = 4a = 9d =61122所求四个数为：0，4，8，16 或 15，9，3，1解法二解法二 设后三个数为：b，bq，bq2，则第一
