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1、17第第 3 章章 能量定理和守恒定律能量定理和守恒定律3-5一圆锥摆的摆球在水平面上作匀速圆周运动。已知摆球质一圆锥摆的摆球在水平面上作匀速圆周运动。已知摆球质量为量为，圆半径为，圆半径为 ，摆球速率为，摆球速率为 ，当摆球在轨道上运动一周时，当摆球在轨道上运动一周时，mR作用在摆球上重力冲量的大小为多少？作用在摆球上重力冲量的大小为多少？解：如 3-5 题图所示，一周内作用在摆球上重力冲量的大小为2PRImgdtmg tmg 3-6用棒打击质量为用棒打击质量为 0.3Kg、速率为、速率为 20m/s 的水平飞来的的水平飞来的球，球飞到竖直上方球，球飞到竖直上方 10 m 的高度。求棒给予球
2、的冲量多的高度。求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为大？设球与棒的接触时间为 0.02s，求球受到的平均冲力。，求球受到的平均冲力。解：设球的初速度为，球与棒碰撞后球获得竖直向上的速度为，球与棒碰撞后球上升的12最大高度为，如 3-6 题图所示，因球飞到竖直上方过程中，只有重力作功，由机械能守恒定律得h2 21 2mghm22gh由冲量的定义可得棒给予球的冲量为21rrImjmi 其冲量大小为22 127.32ImmN S球受到的平均冲力为tFI_ NtIF366_ 3-6 题图3-7 题图3-5 题图183-7 质量为质量为 M 的人，手里拿着一个质量为的人，手里拿着一个质量为 m的球
3、，此人用与水平线成的球，此人用与水平线成 角的速度角的速度 向前跳去。向前跳去。0当他达到最高点时，将物体以相对人的速度当他达到最高点时，将物体以相对人的速度 水水平向后抛出，求由于物体的抛出，跳的距离增平向后抛出，求由于物体的抛出，跳的距离增加了多少加了多少?（假设人可视为质点）（假设人可视为质点） 解：如 3-7 题图所示，把人与物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向后抛物的过程中，满足动量守恒，故有0cosMmMm式中为人抛物后相对地面的水平速率，为抛出物对地面的水平速率，得0cosm Mm人的水平速率的增量为0cosm Mm而人从最高点到地面的运动时间为0sintg所以，人由于向后抛出
4、物体，在水平方向上增加的跳跃后距离为0sinmxtMm g 3-8 一质量为 m2kg 的物体按的规律作直线运动，求当物体由运动 mtx2213mx21到时，外力做的功。mx62解：由，可得 2213tx23 2dxtdt当物体在处时，可得其时间、速度分别为mx2122123 1t st01（1）21 13002m s当物体在处时，可得其时间、速度分别为mx6222163 2t st2221 23262m s（2）19则由（1） 、 （2）式得外力做的功 22 21113622WmmJ3-93-9 求把水从面积为求把水从面积为的的250m地下室中抽到街道上来所需地下室中抽到街道上来所需作的功。
5、已知水深为作的功。已知水深为 1.5m1.5m，水面至街道的距离为水面至街道的距离为 5m5m。解：设分别表示水面至街道的距离、水深，如 3-9 题图所示，将地下室中的水抽到街道01hh、上来所需作的功为100hhhsghdhW012 1221hhhgs5 . 1525 . 1508 . 9100 . 12123 J61023. 43-10 如图所示，一个质量 M2kg 的物体，从静止开始，沿着四分之一的圆周，从 A 滑到 B，在 B 处时速度的大小是 6m/s。已知圆的半径 R4m，求物体从 A 到 B 的过程中，摩擦力所作的功。解：如 3-10 题图所示，以物体和地球为一系统，物体滑动过程
6、中，受重力作功和摩擦力作功，由功能原理可得摩擦力所作的功为21(0)2fWmmgR 2142.42fWmgRmJ 3-11 最初处于静止的质点受到外力的作用，该力的冲量为，在同一时间间隔内，sN 00. 4该力所作的功为，问该质点质量是多少？ J00. 2解：设质点末动量为，末动能为，由于质点最初处于静止状态，因此，初动量，pkE00p初动能， ，根据动量定理和动能定理分别有00kEppppI0kkkkEEEEW03-9 题图3-10 题图20而 22 21 222kpIEmmm所以 kgWI EImk00. 42222 3-12 如 3-12 题图所示，A 球的质量为 m，以速度 u 飞行，
7、与一静止的小球 B 碰撞后，A 球的速度变为其方向与 u 方向成，B 球的质量为 5m，它被撞后以速度飞行，的方向与 u 成109022()角。求：53arcsin(1)求两小球相撞后速度的大小；12、(2)求碰撞前后两小球动能的变化。解：（1）取 A 球和 B 球为一系统，其碰撞过程中无外力作用，由动量守恒定律得水平方向： （1） 25cosmum竖直方向： 2105sinmm（2）联解（1） 、 （2）式，可得两小球相撞后速度大小分别为13 4u21 4u（2）碰撞前后两小球动能的变化为222327 21 43 21mumuumEKA 2232504521muumEKB 3-13 一质量为
8、 10g、速度为的子弹水平地射入铅直的墙壁内 0.04m 后而停止运动，1200sm若墙壁的阻力是一恒量，求墙壁对子弹的作用力。解：以子弹为研究对象，子弹在水平地射入铅直的墙壁内后，在水平方向上只受墙壁的阻力作用，则有22 0011 22xf drmm 2 0102fxm 2 305 102mfNx 3-14 一质量为 m 的质点在 x-y 平面内运动，其位置矢量为，其中tjbtiarsincosa，b 和均是正常数 试证明该质点对于坐标原点角动量守恒。解：由可得tjbtiarsincos3-12 题图21sincosdratibtjdt 22cossindFmammatibtjdt rmtj
9、tiamF22sincos即质点在运动过程中，只受向心力作用，且向心力对坐标原点的力矩为零，所以该质点对于坐标原点角动量守恒。3-15 在光滑的水平面上有木杆，其质量，长，可绕通过其中点并与之kgm0 . 11cml40垂直的轴转动。一质量为的子弹，以的速度射入杆端，其方向与杆及轴gm10222 10/m s正交。若子弹陷入杆中，试求所得到的角速度。解：设分别表示杆相对于轴 O 的转动惯量、子弹相对于 O 轴的转动惯量、子/ 12JJ、弹射向杆前子弹相对于 O 轴的角速度、子弹陷入杆后时杆的角速度，如 3-15 题图所示，以子弹和木杆为一系统，根据角动量守恒定律/ 212JJJ222 /1 2
10、22 2122mlllmml/1212629.13mrad smml3-16 一质量为的小孩，站在一半径为、转动惯量为的静止水平转台kg0 .20m00. 32450mkg 的边缘上，此转台可绕通过转台中心的竖直轴转动，转台与轴间的摩擦不计。如果此小孩相对转台以的速率沿转台边缘行走，问转台的角速率有多大?100. 1sm解：取分别表示转台相对地面的角速度、小孩相对转台的角速度、小孩相对地面01、的角速度，由相对角速度的关系，小孩相对地面的角速度为010R以小孩和转台为一系统，由于系统初始是静止的，根据系统的角动量守恒定律，有010100JJ2 0000JmRR12 01052. 9srad式中
11、负号表示转台的方向与小孩相对转台的速率引起的转动方向相反。3-17 一质量为 m 的地球卫星，沿半径为的圆轨道运动，为地球的半径。已知地球的ER3ER质量为，求：(1)卫星的动能；(2)卫星的引力势能；(3)卫星的机械能。Em解：（1）卫星与地球之间的万有引力是提供卫星作圆周运动的向心力，由牛顿定律可得3-15 题图222233EEEm mGmRR则卫星的动能 21 26E k Em mEmGR（2）取与卫星、地球相距无限远（）时的引力势能为零，则处在轨道上的卫星所具有r的势能为EE PRmmGE3（3）卫星的机械能为EEEEEE PKRmmGRmmGRmmGEEE6363-18 如图所示，一
12、质量为 m 的子弹在水平方向以速度射入竖直悬挂的靶内，并与靶一起运动，v设靶的质量为 M，求子弹与靶摆动的最大高度。解：如 3-18 题图所示，取子弹和靶为一系统，子弹与靶碰撞过程中无水平外力作用，由动量守恒定律得（1）1mmM子弹与靶在摆动过程中，只有重力作功，机械能守恒，则由机械能守恒定律得（2）2 11 2mMmM gh联解（1） 、 （2）式可得子弹与靶摆动的最大高度为2222mh g mM 3-19 如图所示，质量为 m 的钢球。系在长为 的绳子的端，绳子的另一端固定。把绳拉到l水平位置后，再把球由静止释放，球在最低点与质量为 M 的钢块作完全弹性碰撞，问碰撞后钢球能达到多高?解：设
13、分别表示钢球下落到刚要与12Vh、钢块碰撞时的速度、钢球与钢块碰撞后钢球的速度、钢球与钢块碰撞后钢块的速度、钢球与钢块碰撞后钢球能达到的最大高度，如 3-19 题图所示，钢球由静止释放过程中，只有重力作功，由机械能守恒定律得2 11 2mglm（1）12gl以钢球和钢块为一系统，钢球在最低点与钢块作完全弹性碰撞，无水平方向外力作功，则有（2）12mmMV （3）222 12111 222mmMV3-18 题图3-19 题图23（4）2 21 2mmgh联解（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）可得钢球能达到的最大高度为 22mMlmMh3-20长为长为 质量为质量为的细棒可绕垂直于一端的水
14、平轴自的细棒可绕垂直于一端的水平轴自l0m由转动。棒原来处于平衡状态。现有一质量为由转动。棒原来处于平衡状态。现有一质量为 m 的小球的小球沿光滑水平面飞来正好与棒下端相碰沿光滑水平面飞来正好与棒下端相碰(设碰撞为完全弹性设碰撞为完全弹性)使杆向上摆到使杆向上摆到。如。如 3-20 题图所示，求小球的初速度。题图所示，求小球的初速度。060解：设为小球与棒碰撞后棒获得的角速度，为小球与棒碰撞后小球的速度，为小球与0棒碰撞前小球的初速度，如 3-20 题图所示，取小球和棒为一系统，小球与棒碰撞过程中，外力对转的轴力矩为零，则由角动量守恒定律得（1）2 001 3m lJm lm lm l3-20 题图24又小球与棒碰撞为完全弹性碰撞，则在碰撞瞬间，（2）222 0111 222mmJ棒在摆动过程中，只有重力作功，机械能守恒，则由机械能守恒定律得（3）0 0260cos1221lgmJ联解（1） 、 （2） 、 （3）可得小球的初速度为0 03 24mmgl m3-21 如 3-21 题图所示，在光滑的水平面上有一轻质弹簧（其劲度系数为 k） ，它的一端固定，另一端系一质量为
