群表示理论基础

《群表示理论基础》由会员分享，可在线阅读，更多相关《群表示理论基础（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第三章第三章 群表示理论基础群表示理论基础第一节 分子对称性已知原子轨道、分子轨道及分子的几何构型的对称性，是电子运动状态及 分子结构特点的内在反映。 通过研究分子的对称性，一方面可以把握分子结构的特点及说明分子的有 关性质；另一方面，也可借助于分子对称性，使求解薛定谔方程（以了解分子 的物理化学性质）的过程大为简化。 一、对称元素与对称操作 1、对称操作：每一次操作都能够产生一个与原来图形等价的图形。也就是，当 一个操作作用于一个分子上，所产生的新分子几何图形和作用前的图形如不 借助于标号是无法区分的。123312C3123132 2、对称元素：对分子几何图形施行对称操作时，所依赖的几何要素

2、（点、线、 面及其组合）称为对称元素。 五种对称元素及相应的对称操作： 1) 恒等元素（E） 恒等操作（E） （操作后，分子保持完全不动） 2) 对称轴（Cn） 旋转操作（Cn，Cn2，Cn3.Cnn-1，Cnn = E）123313C3221123C3C33) 对称面（）反映操作（, 2 = E） * 包含主轴的对称面v；垂直于主轴的对称面h； 包含主轴且平分垂直于主轴的两个 C2轴之间夹角d.4) 对称中心（i） 反演操作（i, i2 = E）5) 象转轴（非真轴） （Sn）旋转反映操作（Sn，Sn2，Sn3，Snn）S1 = h S2 = C2h = i； Snk = (Cnh)k =

3、CnkhkSnk = Cnk(k 为偶数)，Snk = Cnkh(k 为奇数) Snn = E（n 为偶数） ，Snn =h(n 为奇数) 3、对称操作的乘积如果一个操作产生的结果和两个或多个其他操作连续作用的结果相同， 则称这一操作为其他操作的乘积。例：对分子先后施行 B 和 A 操作,结果相当于对分子单纯施行 C 操作， 则称 C 是 A 与 B 的乘积. 记为 AB = C。若 AB = BA，则称对称操作 A 与 B 是可交换的. 二、群的基本知识 1、群的定义：一个集合 G 含有 A、B、C、元素，在这些元素之间定义一种 运算(通常称为“乘法”)。若满足如下四个条件，则称集合 G 为

4、群： 1）封闭性: 若 A、B 为 G 中任意两个元素，且 AB=C，A2 =D，则 C、D 仍为 G 中元素。 2）缔合性：G 中各元素之间的运算满足结合律： (AB)C=A(BC) 3）有单位元素 E，使任一元素 A 满足：AE = EA = A 4）G 中任意一元素 A 均有其逆元素 A-1，A-1亦属于 G 中。A A-1 = A-1A=E * 群中元素的数目称为群的阶（h） 。 例：A、整数集合：-3, -2, -1, 0, 1, 2 ,3对“代数加法”构成一个群。 B、CH2Cl2分子（C2v群）的对称操作的集合E，C2，v，v对“对称 操作的乘积”构成一个群。 vvC2H1H2C

5、l1Cl2封闭性：EC2 = C2, Ev = v， Ev = v,C2v = v， C2v = v, vv = C2缔合性：(C2v)v = vv = EC2(vv) = C2C2 = E单位元素：E 逆元素：C2C2 = E, vv = E, vv = E；C2-1 = C2, v-1 = v, v-1 = v* 逆元素为自身。 2、共轭元素和群的类 若 X 和 A 是群 G 中的两个元素，且 B = X-1AX，则 B 仍为 G 中的元素 （上式称为：B 是 A 借助于 X 所得的相似交换） ，则称 A 和 B 为共轭元素。类：群中相互共轭的元素的完整集合称为群的类。 例 1：C2V群（

6、CH2Cl2）E，C2，v，v求与 C2共轭的元素： E-1C2E = C2，C2-1C2C2 = C2，v-1C2v = C2，v-1C2v = C2 可见 C2自成一类。 同理可证：E，v，v亦各自成一类。 因此 C2V群共有四类，每个元素自成一类。 三、分子对称操作群（分子点群） 1、可以证明：对于任意分子完全而不重复的对称操作集合构成一个群，称为分 子对称操作群。 * 由于分子在对称操作下，图形中至少有一点保持不动；换句话说，分子中 所有对称元素至少相交于一点，所以分子对称操作群又称为分子点群。 2、分子点群的确立（见结构化学）第二节 分子对称操作的矩阵表示一、矩阵的基本知识： 1、定

7、义：一些数字的矩形排列。 如： a11 a12 a1n a21 a22 a2n (m 行n 列) am1 am2 amn 方阵：若行数 = 列数(m = n), 称为方阵。 方阵的迹：= aii (方阵的对角元素之和) 单位矩阵（与群的单位元素对照）：对角元素 aii = 1，其他元素均为 0 的方阵 （E） 。 2、矩阵的乘法 1）若 A 的列数等于 B 的行数，则二者可以相乘。 A(nh)B(hm) = C(nm) h1kkjikijbac乘法服从结合律：(AB)C=A(BC); 一般不服从交换律：ABBA.例 1：1 0 1 2 0 2 1 0 1 0 1 1 = 1 1 0 1 1 0

8、 1 1 2 33 32 32例 2：不服从交换律1 2 1 1 3 3 1 1 1 2 2 3= =1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 3例 3：与只有一列的矩阵相乘 1 0 1 1 40 1 0 2 = 20 1 1 3 51 1 0 12 0 1 0 无法运算！3 0 1 1 例 4：求方阵的迹1 0 64 2 2 的迹 = (1+2+3)=6 3 5 3 2) 逆矩阵(与群中逆元素概念对照) 若 AA-1 = A-1A = E（单位矩阵） ，则 A-1为 A 的逆矩阵。 只有方阵才有逆矩阵； 若|A| = 0, 则 A 为奇异矩阵，其逆矩阵无法确定； 若|A| 0，则 A 为非

9、奇异矩阵，具有唯一的逆矩阵。 3）共轭矩阵(与群中共轭元素概念对照) A、B、X 为三个矩阵，若 A = X-1BX，则称 A 与 B 为共轭矩阵。 * 共轭矩阵具有相等的迹。 首先要证明，若 AB=C，BA=D，则 C 和 D 的特征标相等。 A、 ikikkikDkkikkiikkikiik iiiCdababbacB、 ikkiik iiiCbaciniin3ii32ii21ii1)ba.babab(a= a11b11+a12b21+a13b31+a1nbn1+a21b12+a22b22+a23b32+a2nbn2+an1b1n+an2b2n+an3b3n+annbnn= b11a11+

10、b12a21+b13a31+b1nan1+b21a12+b22a22+b23a32+b2nan2+bn1a1n+bn2a2n+bn3a3n+bnnannjnjjn3jj32jj21jj1)ab.ababa(bjljDjjljjldab证明完毕。 再证明：若 A=X -1BX，则 A 和 B 具有相等的迹。 A 的 =X-1BX 的 =(X-1B)X 的 =X(X-1B)的 =(XX-1)B 的 =B 的 4）矩阵乘法的一种特例 当处理的矩阵，所有非零元素都在沿对角线的方块中，这时矩阵乘法情况 特殊，例：1 0 0 4 1 0 4 1 0 1 2 0 2 3 0 = 8 7 0 0 0 3 0

11、0 1 0 0 3该积矩阵最明显特征是，按照乘因子矩阵完全相同的形式划分为方块。 不难看出，这种类型的结果必定是恒成立的。 * 此外，还可看出积矩阵中给定方块的元素只由乘因子中对应方块的 元素所决定。 * 因此，当两个方块形式相同的矩阵相乘时，每个矩阵中的对应方 块可独立于其余方块加以考虑。二、对称操作的矩阵表示矩阵代数的一个重要应用是表示一个点或定义物体的点的集合在空间的变 换性质。例：对称操作对任意点位置坐标（x，y，z）的作用 1、恒等操作：单位矩阵1 0 0 x x0 1 0 y = y0 0 1 z z 2、反映(xy):1 0 0 x x0 1 0 y = y0 0 -1 z z

12、(xz):0 0 0 x x0 -1 0 y = -y0 0 1 z z (yz):-1 0 0 x -x 0 1 0 y = y0 0 1 z z 3、反演：负单位矩阵-1 0 0 x -x0 -1 0 y = -y0 0 -1 z -z 3、真转动：若定义 z 轴为转动轴，绕 z 轴的任何转动都不会改变 z 坐标，因此 矩阵的一部分应为：? ? 0 x ? ? 0 y = ?0 0 1 z z 寻找四个短缺元素的问题可作为在平面中的二维问题来解决。r1(x1, y1)r2(x2, y2)xy利用三角函数：x1=rcos y1=rsinx2=rcos(+)=rcoscos-rsinsin=x

13、1cos-y1siny2=rsin(+)=rsincos+rcossin=x1sin+y1cos即 x2 = x1cos- y1sin y2 = x1sin+ y1cos 写成矩阵形式cos -sin x1 x2=sin cos y1 y2最后总矩阵方程 cos -sin 0 x1 x2sin cos 0 y1 = y20 0 1 z1 z2 4、非真转动 逆时针转动 角, 再依 (xy)反映的矩阵为:cos -sin 0 x1 x2 sin cos 0 y1 = y2 0 0 -1 z1 z2第三节 群表示的基及群的表示一、基本概念 1、基：群元素作用的对象称为与它相应的群表示的基。 基可以有各种类型，如矢量（x，y，z） ，波函数（px，py，pz） 2、群的表示：选定群表示的基以后，则分子点群中的每一个元素都与一个矩阵 相对应，这些矩阵构成的矩阵群可以看作是点群的一个表示。 * 群的表示不是唯一的。给定一个点群，它的表示随所选用基的不同而有差 异，因此群的表示可以有无限多种。 二、群的表示（可约与不可约表示） 1、可约表