数学公理化方法

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1、15.3 使用 RMI 方法的条件从前述各例，我们可以归纳出正确使用 RMI 方法的条件。 （1）映射须是两类数学对象之间的一一对应关系； （2）所采用的映射须是可定映的，即目标映象能通过确定的有限多个数学手续从映 象关系结构系统中寻求出来；（3）相对的逆映射（反演）必须具有能行性，即通过目标映象能将目标原象的某-1种需 要的性态经过有限步骤确定下来。 以上几点也从另一角度说明，RMI 方法并非是处处适应的万能法则。 正确有效地应用 RMI 方法的关键显然在于引进合乎要求的映射，这就要求使用者在如 下方面去努力：一是理解原象关系结构系统的能力；二是抽象分析的能力；三是运用数学 手段的能力；四是

2、掌握常用的方法与变换的能力；五是寻求反演公式与手段的能力。数学史的发展表明，谁能巧妙地引进非常有效且具有能行性反演的可定映射，-1谁就对数学的发展作出贡献。反之，正因数学自身的发展（特别是它的现代发展） ，不断产 生了一些新的重要的映射工具，也就为 RMI 方法的运用展示了更广阔的前景。129第六章数学公理化方法 数学公理化方法是一种演绎的方法，当一个理论体系达到充分发展，需要以演绎的形 式来表达它的基本范畴之间，原理、原则之间的关系，形成逐渐演进和发展时，公理化方 法是最为有力的手段。可以说，它对各门数学分支学科都产生着巨大的影响，即使在数学 教育中，也起着重要的作用。6.1 数学公理化方法

3、的意义 所谓公理化方法就是从尽可能少的不加定义的原始概念和不加证明的原始命题（公理、 公社）出发，按照逻辑规则推到出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。 数学发展的历史有力地表明公理化方法在数学方法中有着重要的意义。我们可以归纳 出如下几点： 1总结性：恩格斯说：“数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思 想上的规定。 ”这种方法将数学知识的概念、命题的形式进行了分析和总结，凡是得了公理 化结构形式的数学，均可在已形成的逻辑关联中去使用。这不仅使其运用很方便，同时也 促进了数学理论的发展。如概率论开始形成时，实践性很强，后来公理化了，理论就大大 提高了一步；法国布尔巴基学派在三大结构

4、基础上，建立了各种各样的公理化体系，对促 进数学发展起了极大地作用。 在近、现代，由于在各门数学中广泛采用公理化方法。形成了一批有影响的具有一定 权威性的数学专著。如代数学中的范德瓦尔登所著2130 近世代数 （19301931 年德文版，1948 年英文版） ，作者在序言中认为，近世代数的扩 大主要是由于公理化方法，应用此方法“产生了一系列新的概念，揭露了至今还未发现的 内部联系，并且得到了许多有深远意义的成果，特别是在域论、理想数论、群论和结合代 数方面” ；在拓扑学中，如西尔品斯基拓扑学 （1952 年英文版） ，作者认为，用公理发 研究拓扑学，除了叙述简洁之外，还可以培养抽象思维和逻辑

5、证明的能力。因此，作者从 弗雷舍（Frechet）空间出发得出其它具有更进一步规定的空间，然后逐步引入新的公理。 这种方法类似于几何学中，从绝对几何出发，来逐步引入新的公理的方法；在集合论中， 如贝尔奈斯和弗兰克尔的公理集合论 ，作者为消除集合论悖论，采用公理来限制集合概 念，提出了现代的公理集合论系统集合论的形成系统。弗兰克尔称：“几乎所有数学 和逻辑的分支与某些物理学以及其它科学的分支，从 20 世纪开始，都经过了公理方法的分 析研究” ；还有数学分析中迪多内的现代分析基础 （1960 年英文版，1964 年俄译本） ， 作者在序言中就提出，该书的目的之一，就是要使读者熟练使用当代最基本的

6、数学方法 公理化方法。因此，该书的一个显著特点就是严格地按照公理化方法，系统地使用向量 空间概念，从集合论、实数理论开始，引申出度量空间、正规空间和希尔伯特空间等更一 般的观点。 2示范性：这种方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极 的鉴作用。例如，本世纪 40 年代波兰的巴拿赫曾完成了理论力学的公理化。物理学家还把 相对论表述为公理化形式等等。因此，它在科学方法论上有示范作用和普遍意义，诚如希 尔伯特所说：“任何能成为科学思想追索的对象，一旦理论上成熟，就会处于公理方法的 主宰之下，因而就间接地处在数学的主宰之下。 在 17 世纪，牛顿不是把他之前众多物理学家（如哥白尼，

7、伽利略、开普勒等）研究 的力学知识看成互不关联的经验知识，而是采用欧几里得的公理方法把力学定理组成一个 有机的整体，把它们排列成逻辑的体系，从少数几条公理（牛顿三大运动定律）出发，按 照数学的逻辑推理把力学定律逐个地必然地引申出来。如下是欧几里得的几何原本与131牛顿的自然哲学的数学原理的逻辑结构比较，读者不难看出它们的异曲同工之处。 几何原本 （1）从一些概念的定义开始： 定义定义 1 点没有部分。 定义定义 2 线有长度没有宽度。 定义定义 3 线的界限是点。 定义定义 4 直线是这样的线，它对于它的所有各个点都有同样的位置。 定义定义 5 面只有长度和宽度。 （2）引进公社和公理，即不加

8、证明而采用的命题： 公社 从每个点到每个别的点必定可以引直线。 公社 每条直线都可以无限延长。 公理 等于同量的量相等。3公理 等量加等量得到等量。 （3）根据公社和公理进行证明： 定理定理 1 自然哲学的数学原理 定义定义 1 物质的量是用它的密度和体积一起来量度的。 定义定义 2 运动的量是用它的速度和质量一起来 定义定义 3 定义定义 4 外加力是一种为了改变一个物体的静止或等速直线运动状态而加于其上的作 用力。 规律规律 1 每个物体继续保持其静止或沿一直线作等速运动的状态，除非有力加于其上 迫使它改变这种状态。 规律规律 2 运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在所加的力的那个直线

9、方向上。132规律规律 3 每一个作用力总是有一个相等的反作用和它相对抗。 定理定理 1 3简洁性：由极少量的原始定义和公理，可以演绎出内容浩繁的理论体系，从此意 义上看，只有用公理法才能把握住庞大理论体系的“脉搏” 。早在 300 多年前，牛顿就由衷 赞曰：“几何的辉煌之处就在于只用很少的公理而能得到如此之多的结果。 ” 4系统性：由于公理方法是靠逻辑演绎形成的，故由它处理的数学知识成为一个有 序理论体系，这种系统性形成了一定的知识结果，促进了知识的运用与发展。 5可比较性：公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门 数学的实质性异同，并能促进和推动理论的创立。6.2 数学

10、公理化方法的产生与发展公理化方法的历史，大致可分五个阶段，即：公理化方法的萌芽阶段、实质公理化的 产生阶段、潜形式公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段。 一、公理化方法的萌芽公理化方法的萌芽亚里士多德三段论体系亚里士多德三段论体系 公理化方法是从数学和逻辑学的发展中产生的。 早在公元前 7 世纪，爱奥尼亚学派的创始人哲学家泰勒斯的学生，古希腊的毕达哥拉 斯（公元前 585497 年）及其门徒继承并发展了其老师的证明思想，开创了把几何学作为 证明的演绎科学来进行研究得方向。古希腊的欧多克斯（公元前 408355 年）处理不可公 度比时，建立了以公理为依据的演绎法，至此，古希腊人已清楚地认

11、识到这一点，公理本 身可以无须证明，重要的是根据所选取的公理按演绎法作出推理。显然这是公理思想的萌 芽。 大约在公元前 3 世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里士多德(公元前 384322 年)总结了 古代积累起来的逻辑知识，在其专事探讨演绎证明理论的巨著分析篇中，以演绎证 明的科学（主要是数学）为实例，把完全三段论作为公理，在历史上提出了第一个公理体4系三段论体系，这就为公理方法的产生奠定了基础。 二、实质公理化方法的产生实质公理化方法的产生欧几里得几何公理体系欧几里得几何公理体系 希腊数学家欧几里得（公元前 330275 年）受亚里士多德公理思想方法的影响，将公 理演绎方法运用于几何学，完成了著

12、名数学著作几何原本 ，本书从古代的量地术和关于 几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理，运用演绎方法将 当时所学的几何知识全部推导出来。 欧几里得指明了几何学的研究对象，即点、线、面，在对这些对象进行“定义” （有 25 个）以后，引进了关于这些对象的一些明显的事实作为不加证明而采用的 5 个公社，进 而又引进了更为一般的 5 个断言作为公理，他通过这些公理（设） ，逐步推演出 465 个命题。 由于欧几里得的公理系统具有特定的对象（或者说，这一公理系统被认为是从属于这些特 定对象的） ，又由于这些对象具有明显的直观背景现实空间（从而人们就可以用所谓的 直观性来作为公理

13、的判断依据） ，因此这种公理系统就被称为实质的公理系统。 概括起来，该实质公理系统的有如下特点： 其一，研究对象先于公理给出；欧几里得几何中的概念如点、线、面等，以及 “在之上” 、 “在之间” 、 “叠合”等关系是先于公理给定且是唯一的，公理的确立 乃是为了刻画这些对象的根本特点，这种公理体系是对经验知识的系统整理，具有自明性。 因此，可以说实质公理系统是一种“对象公理演绎”系统。分析篇分前、后两部分， 前分析篇主要论述关于如何进行演绎证明的问题，在该篇中系统地研究了三段论式。 后分析篇主要研究按照演绎证明建立起来的学科本身的逻辑结构与逻辑要求的问题。按照亚里士多德的观点，演绎证明的科学（他

14、指的是数学）是关于某一个确定的领域的全部真命题，这些命题分为二类，一类是基本命题（即公理）再一类是从基本命题引申出来的命题；相应地，概念也分为二类，一类是基本概念，再一类是从基本概念派生出的来的概念。根据上面这个结构，亚里士多德提出了两个逻辑要求，第一，公理必须是明显的。因而无需证明的，同样，基本概念必须是直接可以理解、无需加以定义的；第二，由公理证明定理时，必须遵守逻辑规律和逻辑规则，通过基本概念直接或间接地对派生概念下定义时，也必须遵守下定义的逻辑规则。其二，公理和公设对自明性有不同的要求；在欧氏之前，亚里士多德就区分了公理和 公设，他认为公理是一切科学所共有的真理，而公设只是某一门科学所

15、共有的真理，故其 自明性要弱于公理的自明性。欧氏显然沿袭了亚氏的作法，将公理与公设作了区分，特别 是第五公设的处理，为以后数学历史的发展埋下了极为精彩的“伏笔” 。 其三，用构造作为存在性的证明；因实质公理系统中的公理须受实践检验，因而其原 始概念的定义也具有直观性和可构造性，欧氏的前三个公设就是承认直线和圆可构造性。 这种构造的思想对后来数学的发展产生了极大影响，但另一方面，正因为对直观性的依赖， 使其公理系统在某些方面缺乏必要的严格性。 三、潜形式公理化阶段潜形式公理化阶段非欧几何公理体系非欧几何公理体系 欧氏几何公理系统的不足早就被人们所发现，并一直努力使其更完善。长期以来，不 少数学家

16、对第五公设持保留态度，因为他缺乏说服力，且在陈述和内容上显得复杂和累赘。 人们怀疑这条公理是不是多余的？能否从其它公设和公理推导出来？在两千多年对第五公 设的试证过程中虽然都失败了，但从失败中引出一连串与第五公设等价的命题。19 世纪俄 国年轻的数学家罗巴切夫斯基总结前人试证第五公设屡遭失败的教训，从问题的反面考虑， 给出一个新的公理体系，即去掉第五公设，保留欧氏几何其余公理，再加进一个与第五公 设相反的命题(过平面上直线外的一点至少可以引进两条与该直线不相交)，这个新的系统 人们一般称为非欧几何。后来的数学家们证明了它与欧氏几何是相对相容的，即假定其中 之一无矛盾，则另一个必定无矛盾。 非欧几何的诞生，对公理化方法的发展产生了不可估量的影响，它表现在这样一些方5面：（1）改变了几何公理借助直感达到自明的传统观念，使人们认识到对公理进行科学抽 象的重要