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1、511.3.21.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数一、教学目标一、教学目标1 知识与技能1结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值2过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。3情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。二、重点：二、重点：利用导数求函数的极值难点：难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件三、教学基本流程三、教学基本流程回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系提出问题，激发求知欲组织学生
2、自主探索，获得函数的极值定义通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解四、教学过程四、教学过程一一 、创设情景，导入新课、创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提高学生回答）2观察图 1.3.8 表示高台跳水运动员的52高度 h 随时间 t 变化的函数=-4.9t2+6.5t+10 的图象，回答以下问题( )h t（1）当 t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在 t=a 处的导数 h t是多少呢？（2）在点 t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点 t=a 附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳共同归纳: : 函数 h(t)在 a 点处 h
3、/(a)=0,在 t=a 的附近,当 ta 时,函数单 h t调递增, 0;当 ta 时,函数单调递减, 0,即当 t 在 a 的附近从小 h t h t h t到大经过 a 时, 先正后负,且连续变化,于是 h/(a)=0. h t h t3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？、探索研讨、探索研讨1、观察 1.3.9 图所表示的 y=f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数 y=f(x)在 a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2） 函数 y=f(x)在 a.b.点的导数值是多少?aoht53（3）在 a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么
4、，并且有什么关系呢?2、极值的定义:我们把点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数 y=f(x)的极大值。极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点 x0取得极值的充要条件吗？充要条件：f(x0)=0 且点 x0的左右附近的导数值符号要相反4、引导学生观察图 1.3.11，回答以下问题：（1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？（2）极大值一定大于极小值吗？5、随堂练习:1 如图是函数 y=f(x)的函数,试找出函数
5、y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数 y=的图象? fx、讲解例题、讲解例题例 4求函数的极值 31443f xxx教师分析:求 f/(x),解出 f/(x)=0,找函数极点； 由函数单调性确定在极点 x0附近 f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值.学生动手做,教师引导x54解:=x2-4=(x-2)(x+2) 31443f xxx fx令=0,解得 x=2,或 x=-2. fx下面分两种情况讨论:(1)当0,即 x2,或 x-2 时; fx(2) 当0,即-2x2 时. fx当 x 变化时, ,f(x
6、)的变化情况如下表: fxx(-,-2)-2(-2,2)2(2,+) fx+0_0+f(x)单调递增28 3单调递减4 3单调递增因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值,且极大值为 f(-2)= ;当 x=2 时,f(x)有极28 3小值,且极小值为 f(2)= 4 3函数的图象如: 31443f xxx归纳：求函数 y=f(x)极值的方法是:1 求,解方程=0,当=0 时: fx fx fx(1)如果在 x0附近的左边0,右边0,那么 f(x0)是极大值. fx fx(2)如果在 x0附近的左边0,右边0,那么 f(x0)是极小值 fx fx、课堂练习、课堂练习1、求函数 f(x)=3x-
7、x3的极值2、思考：已知函数 f（x）=ax3+bx2-2x 在 x=-2，x=1 处取得极值,求函数 f（x）的解析式及单调区间。、课后思考题：1、若函数 f(x)=x3-3bx+3b 在（0，1）内有极小值，求实数 b 的范围。2、已知 f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1 有极大值和极小值，求实数 a 的范围。、课堂小结: 1、函数极值的定义22 31443f xxx552、函数极值求解步骤3、一个点为函数的极值点的充要条件。 、作业 P32 5 教学反思:本节的教学内容是导数的极值,有了上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.教
8、学反馈中主要是书写格式存在着问题.为了统一要求主张用列表的方式表示,刚开始学生都不愿接受这种格式,但随着几道例题与练习题的展示,学生体会到列表方式的简便,同时为能够快速判断导数的正负,我要求学生尽量把导数因式分解.本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条件与充分条件,为了说明这一点多举几个例题是很有必要的.在解答过程中学生还暴露出对复杂函数的求导的准确率比较底,以及求函数的极值的过程板书仍不规范,看样子这些方面还要不断加强训练.研讨评议:教学内容整体设计合理,重点突出,难点突破,充分体现教师为主导,学生为主体的双主体课堂地位,充分调动学生的积极性,教师合理清晰的引导思路,使学生的数学思维得到培养和提高,教学内容容量与难度适中,符合学情,并关注学生的个体差异,使不同程度的学生都得到不同效果的收获.
