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1、2007 年全国初中数学联合竞赛年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各 题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本 解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试第一试一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 42 分，每小题分，每小题 7 分）分）本题共有本题共有 6 小题，每题均给出了代号为小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的的四个答案，其中有且仅有一个
2、是正确的.将你将你DCBA,所选择的答案的代号填在题后的括号内所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得每小题选对得 7 分；不选、选错或选出的代号字母超过一个分；不选、选错或选出的代号字母超过一个 （不论是否写在括号内）（不论是否写在括号内） ，一律得，一律得 0 分分.1.1. 已知已知满足满足，则，则的值为的值为 （ ）zyx,xzzyx532 zyyx 25 （A A）1.1. （B B）. . （C C）. . （D D）. .31 3121【答】B.解解 由得，所以，故选（B）.xzzyx532xzxy23,331 3335 25 xxxx zyyx注：本题也可用特殊值法来判
3、断.2 2当当分别取值分别取值， ，时，计时，计x20071 20061 20051 2112200520062007算代数式算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于的值，将所得的结果相加，其和等于 （ 2211 xx ） （A A）1.1. （B B）1.1. （C C）0.0. （D D）2007.2007. 【答】C.解解 因为，即当分别取值，为正整数）时，计 222211)1(1)1(1nnnn011 112222 nn nnxn1nn(算所得的代数式的值之和为 0；而当时，.因此，当分别取值，1x0111122 x20071 200612007 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评
4、分标准 第 1 页（共 8 页）， ，时，计算所得各代数式的值之和为 0.故选（C）.20051 21122005200620073.3. 设设是是的三边长，二次函数的三边长，二次函数在在时取最小值时取最小值cba,ABC2)2(2bacxxbay1x，则，则是是 （ ）b58ABC（A A）等腰三角形）等腰三角形. . （B B）锐角三角形）锐角三角形. . （C C）钝角三角形）钝角三角形. . （D D）直角三角形）直角三角形. . 【答】D.解解 由题意可得即所以，因此 ,58 22, 1 )2(2bbacbabac,53,2bcacb bc53ba54，所以是直角三角形. 故选（D）
5、.222bcaABC4.4. 已知锐角已知锐角的顶点的顶点到垂心到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则的距离等于它的外接圆的半径，则的度数是（的度数是（ ABCAHA ） （A A）30.30. （B B）45.45. （C C）60.60. （D D）75.75. 【答答】C. 解解 锐角的垂心在三角形内部，如图，设的外心为，ABCABCO 为的中点，的延长线交于点，连、，则/DBCBOOECEAECE ，/，则，所以30，AHAECHODCEAHOB2OBD 60，所以60.故选（C）.BODABOD5 5设设是是内任意一点，内任意一点，、的重心分别为的重心分别为、，则，则KABCKABKB
6、CKCADEF的值为的值为 （ ）ABCDEFSS:（A A）. . （B B）. . （C C）. . （D D）. .91 92 94 32【答】A.解解 分别延长、，与的三边、交于点、，由于KDKEKFABCABBCCAMNP 、分别为、的重心，易知、分别为、DEFKABKBCKCAMNPABBCAECBDO H的中点，所以.CAABCMNPSS41易证，且相似比为，所以DEFMNP3:2MNPDEFSS2)32(ABCS41 94.ABCS91所以.故选（A）.:DEFS1 9ABCS6袋中装有袋中装有 5 个红球、个红球、6 个黑球、个黑球、7 个白球，从袋中摸出个白球，从袋中摸出
7、15 个球，摸出的球中恰好有个球，摸出的球中恰好有 3 个红球个红球 的概率是的概率是 （ ）（A）. （B）. （C）. （D）.101 51 103 52【答】B. 解解 设摸出的 15 个球中有个红球、个黑球、个白球，则都是正整数，且xyzzyx,，.因为，所以可取值 2，3，4，5.7, 6, 5zyx15zyx13 zyx当时，只有一种可能，即；2x7, 6zy当时，有 2 种可能，或；3x12 zy7, 5zy6, 6zy当时，有 3 种可能，或或；4x11 zy7, 4zy6, 5zy5, 6zy当时，有 4 种可能，或或或5x10 zy7, 3zy6, 4zy5, 5zy.4,
8、 6zy因此，共有 123410 种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有 3 个红球的结果有 2 种，所以所求的概率为.故选（B）.51 102二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 28 分，每小题分，每小题 7 分）分）1.1. 设设，是是的小数部分，的小数部分，是是的小数部分，则的小数部分，则_1_1_._.121xaxbxabba3332007 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 2 页（共 8 页）解解 ，而，.12121x3122122 xa又，而，.，12 x212322)3(xb1ba.abba333abbababa3)(221)(3222baabbaba2.2
9、. 对于一切不小于对于一切不小于 2 2 的自然数的自然数，关于，关于的一元二次方程的一元二次方程的两个根记作的两个根记作nx22(2)20xnxn（） ，则，则= =nnba ,2n)2)(2(122ba)2)(2(133baL)2)(2(120072007ba.1003 4016解解 由根与系数的关系得，所以2nbann22nnabn ，)2)(2(nnba(2nnba4)nnba222(2)42 (1)nnn n 则， 111 11()(2)(2)2 (1)21nnabn nnn )2)(2(122ba)2)(2(133baL)2)(2(120072007ba.11111111 1110
10、03()()()()22334200720082 220084016 L3.3. 已知直角梯形已知直角梯形的四条边长分别为的四条边长分别为，过，过、两点作两点作ABCD6,10, 2ADCDBCABBD圆圆, ,与与的延长线交于点的延长线交于点，与，与的延长线交于点的延长线交于点，则，则的值为的值为_ _4_4_._.BAECBFBFBE 解解 延长交于点，设的中点分别为点，则CDOGDGBE,NM,易知.因为，由割线定理，易证，DNAM 10 CDBCDGBF 所以.42)(2)(2ABAMBMDNBMDGBEBFBE4 若若和和均为四位数，且均为完全平方数，则整数均为四位数，且均为完全平方
11、数，则整数的值是的值是_17_.64100 a64201 aaABCDEFGMN2007 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 3 页（共 8 页）解解 设设，则，则，两式相减得，两式相减得264100ma264201na100,32nm，因为 101 是质数，且，所以)(10122mnmnmna101101mn，故.代入，整理得，解得101 mn1012 nmna264201na0202374022nn，或（舍去）.所以.59n343n171012 na2007 年全国初中数学联合竞赛年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分
12、标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各 题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本 解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第二试第二试 （A）一、一、 （本题满分（本题满分 20 分）分）设为正整数，且，如果对一切实数 ，二次函数nm,2mt的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.mtxmtxy3)3(2x2tnnm,解解 因为一元二次方程的两根分别为和，所以二次函数03)3(2mtxmtxmt3的图象与轴的两个交点间的距离为.mtxmtxy3)3(2x3mt 由题意，即，即.32mttn22(3)(2)mttn222(4)(64 )90mtmn tn由题意知，且上式对一切实数 恒成立，所以042mt, 0)9)(4(4)46(, 042222nmnmm所以或 22,4(6)0,mmn ,
