因式分解(—)提公因式法

《因式分解(—)提公因式法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《因式分解(—)提公因式法（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 引领学生成长、成才、成功!1 版权所有，翻版必究教师：_万老师_ 学生：_ 时间:_年_月_日 段第 2 章 分解因式分解因式授课目的与考点分析：授课目的与考点分析：1、了解分解因式的意义，感受其作用。2、掌握用提公因式法把多项式分解因式。 重、难点重、难点：1、整式乘法与分解因式之间的关系。2、正确地确定多项式的最大公因式。一、 本章知识归纳本章知识归纳：1. 分解因式的概念：分解因式的概念：把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为 把这个多项式分解因式。2. 用提公因式法分解因式：用提公因式法分解因式： （1）概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这

2、个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提 公因式法。 （2）依据：提公因式法的依据是逆用乘法分配律。 （3）找公因式的方法： （a）公因式的系数：如果多项式的系数为整数，则取各项系数的绝对值的最大 公因数作为公因式的系数，如果原来多项式的第 1 项系数为负，则把负号 提出，此时括号内的 各项要变号。（b）公因式含的字母是各项中相同的字母，字母的指数取各项中次数最低的。（c）公因式含的式子是各项中相同的式子，该式子的指数取各项中次数最低。 （4）提取公因式后余下的因式的确定： 余下的因式应是多项式除以公因式后的商式。3. 运用公式法分解因式：运用公式法分解因

3、式： （1）概念利用分解因式与整式乘法的互逆关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以 用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。（2）平方差公式：abab ab22它适用于分解的多项式是二项式且是平方差的形式。它的特点是：（a）左边是二项式，两项都可以写成平方的形式，并且符号相 反。 （b）右边是两个数的和与这两个数的差的积，而且被减数是左边平方项为正的那个数。（3）完全平方公式：aabbab2222aabbab2222它适用于分解的多项式是三项式并且是完全平方式。它的特点是： （a）左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的完全 平方，这两项的符号相同，中间一项是

4、这两个数（或两个式子）的 积的 2 倍，符号正负均可。 （b）右边是两个数（或两个式子）的和（或者差）的平方，当中间的乘 积项与首末两项的符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首备 注学思源个性化辅导教案提纲 ggggggggggggangganggang 纲引领学生成长、成才、成功!2 版权所有，翻版必究末两项的符号相反时，是差的平方。的式子称为完全平方式或者）形如（222222cbabababa4. 分解因式的步骤及要求：分解因式的步骤及要求： （1）常常先提公因式再用公式法进行因式分解。 （2）分解因式一定要进行到每一个因式不能再分解为止。 （3）多项式第一项为负系数，常先提出负号使分

5、解后的第一项系数为正。 （4）多项式分解因式结果中常用小括号出现，因式中不含中括号。 我们用四字口诀概括为：方法先后，分解彻底，符号处理，书写规范。5. 综合运用分解因式的方法的技巧：综合运用分解因式的方法的技巧： （1）先看多项式是否有公因式，尽量先提公因式。 （2）再看多项式是几项式，如果是二项式，考虑是否符合平方差公式的特点，能 否运用平方差公式分解因式。如果是三项式，考虑是否符合完全平方公式特 点，能否运用完全平方公式分解因式。用一句话概括为：一提二公三化简。二、二、 本章思想方法归纳本章思想方法归纳1. 类比思想：类比思想：类比是学习数学常用的数学方法本章中多次利用类比的方法，通过分

6、解因数与分解因式的类比，来体会、理解， 认识分解因式的意义；还类比整式的乘法探索分解因式的方法，通过类比，学起来 学生会感觉新的知识易于接受。2. 逆向思维：逆向思维：分解因式与整式乘法之间是互逆关系，如提公因式是由乘法分配律反过来得到 的一种分解因式的方法，通过分解因式的学习，我们可以体会到逆向思维给我们 发现新知识和深入研究相关旧知识带来帮助。3. 整体思想：整体思想：整体思想也是常见的一种数学思想方法，尤其是在分解因式的过程中，运用整 体思想可以使解题思路清晰，解法步骤更简捷。4. 数学方法：数学方法： 本章所应用的分解因式方法有：（1）提公因式法；（2）运用公式法。三、典型例题讲解：三

7、、典型例题讲解： 基础知识题基础知识题例 1. 分解因式：（ ）（ ）12242242x yx yaxaxa分析分析：此题给出的多项式是两项，对于两项的分解通常有两种方法：一是提公因式，二是利用平方差公式。观察此题先提公abab ab22因式，再用平方差公式分解。x y22引领学生成长、成才、成功!3 版权所有，翻版必究解：解：x yx y4224 x yxyx yxyxy222222（2）此题给出的多项式是三项，三项式的因式分解通常有三种方法：一是，三是利用公式平方公式提公因式，二是用完全2222bababaxpq xpqxp xqa2，观察本题先提负号和公因式，再用完全平方公式。解：解：a

8、xaxa22 a xxa x22211知识拓展题知识拓展题 上例中我们介绍了二项和三项的多项式分解因式通常采用的方法，那么四项或四项 以上的采用什么方法呢？下面介绍一种新的方法：分组分解法。例 2. 分解因式：（ ）（ ）1442122222xyyxabab分析：分析：此题含有四项，对于四项或四项以上的通常采用分组分解法，用这种方法的思路 是：先看有公因式可提吗？如果有先提公因式，然后再决定分组，分组的时候要 考虑分组后是否可以分解因式，然后又可以再分解因式，最后的结果一定要是 n 个整式的积的形式。（ ）14422xyyx xyyxxyxyyxxyxyxyxyxy2244444（ ）2122

9、2abab 12111112222ababababababab引领学生成长、成才、成功!4 版权所有，翻版必究分解因式技巧题分解因式技巧题 分解因式问题方法灵活，技巧性强，初学者不太容易掌握，尤其对于一些较特殊的 多项式，往往需要一些特殊技巧，下面我们就介绍一些因式分解的技巧。 （一）技巧一：重新整理组合 方法：在给定的代数式中，若含有括号，且保持括号不变不能直接分解因式，那么 我们可以考虑去括号，重新组合，从而达到因式分解的目的。例 3. 分解因式：ab cdabcd2222分析：分析：此多项式的形式无法再继续分解，因此需先打破原来的形式，而后重组分解即先 破后立。解：解：原式 abcabd

10、a cdb cd2222 abca cdabdb cdac bcadbdadbcbcadacbd2222例 4. 分解因式： xxxx1234120分析：分析： 我们观察到首末两个一次式，的常数项之和正好等于中xx14间那个一次式，的常数项之和，故可部分乘开，即把首末两个一()()xx23 次式和中间两个一次式分别相乘，得和，这两个式子xxxx225456中又有相同部分，将其看作一个整体，再相乘后与合并同类项，xx25120就可以达到分解的目的了。解：解：原式 xxxx1423120 xxxxxxxxxxxxxxxx2222222254561205105965651661516（二）技巧二：换

11、元法 对于比较复杂的多项式分解因式，将代数式中的某些部分看作一个整体，设辅助未引领学生成长、成才、成功!5 版权所有，翻版必究知数，运用换元法可使多项式中的数与式的关系明朗化，使问题简洁清晰，化难为易， 从而达到比较容易分解的目的。例 5. 分解因式： mmmm24221881分析：分析：把看作一个整体，设，则原式可化为()()mmmma2222，81182aa解：解：设，则原式可化为：mma2aa21881a92 mm222 9mmmm2233（三）技巧三：拆项添项法 将代数式中的某一项拆为两项或添加一些项，然后与其他原有的项组合分解。例 6. 分解因式：xx376分析一：分析一：考虑将一次

12、项拆成，然后分成两组和763xxxxx()66x，可达到分解的目的。解法一：解法一：原式 xxx366xxx366x xxx1161 xx x116xxx162xxx123若将常数项拆成和，然后分成两组和，6171773xx同样可达到分解的目的。解法二：解法二：原式 xx3177引领学生成长、成才、成功!6 版权所有，翻版必究xx3177xxxx11712 xxx1172xxx162xxx123指出：（ ）此例用到了立方差公式：1abab aabb3322()()m（2）此例用到了拆项法。例 7. 分解因式：x44分析：分析：此题为两个完全平方之和，不可直接套用公式，注意到xx4244xxx2

13、222244，故考虑添上一个完全平方项和，可使问题得以解决。解：解：原式xxx422444 xxx422444 xx22222xxxx222222xxxx222222四、检测试题四、检测试题 （一） 、选择题：1. 分解因式4x2y+2xy2xy 的结果是（ ） A. 4（x2+2xy2xy）B. xy（4x+2y1） C. xy（4x2y+1）D. xy（4x2y） 2. 下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A. x2xy2B. 1+y2C. 2y2+2D. x3y3 3. 多项式 4a2+ma+25 是完全平方式，那么 m 的值是（ ） A. 10B. 20C. 20D. 2

14、0 4. 在一个边长为 12.75 cm 的正方形纸板内，割去一个边长为 7.25 cm 的正方形，剩下 部分的面积等于（ ）A. 100 cm2B. 105 cm2C. 108 cm2D. 110 cm2 5. 下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ）引领学生成长、成才、成功!7 版权所有，翻版必究A. 4x2+1B. 4x24x1 C. x2+xy+y2D. x24x+46. 把分解因式为（ ）412 mmA. B. C. D. 2)41(m2)41(m2)21(m2)21(m7. 若 m+n=3，则222426mmnn的值为（ ） A. 12B. 6C. 3D. 08. 无论 x，y 取何值时，的值都是（ ）4012222yxyxA. 正数 B. 负数 C. 零 D. 非负数9. 若是二次三项式，那么 a 的值是（ ）xx47xax228A. 3B. C. 11D. 31110. 是一个完全平方式，那么 m 的值是（ ）91622xmxyyA. 12B. 24C. D. 12