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1、复习课: 第三章 空间向量与立体几何（1）一、一、【教学目标教学目标】重点：理解空间向量的概念，掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握空间向量的运算 难点：空间向量的数量积的定义及其性质 知识点：空间向量的数量积的定义及其性质及向量的运算 能力点：分析应用知识的能力，构造转化条件的能力 教育点：学生利用所学解决问题，培养学生对数学学习的兴趣 自主探究点：异面直线所成角的线性运算 易错点：两向量夹角的确定 应用点及考试点:向量数量积寻找异面直线或二面角的大小 拓展点：向量数量积求空间中两点间的距离 2 2、 【知识梳理知识梳理】1空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积； (1)
2、 向量：具有 和 的量 (2) 向量相等：方向 且长度 (3) 向量加法法则： (4) 向量减法法则： (5) 数乘向量法则： 2线性运算律(1) 加法交换律： abrr(2) 加法结合律： ()abcrrr(3) 数乘分配律： ()abrr3共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量，等价于存在实数，使 0)a b b r r rr 、（/abrr (3) 直线的向量参数方程：设直线 l 过定点 A 且平行于非零向量，则对于空间中任意一点，点在ar OP上等价于存在，使 lRt 4共面向量空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量
3、积坐标表示：夹角和距离公式求距离求空间角证明平行与垂直(1) 共面向量：平行于 的向量(2) 共面向量定理：两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对()，arbr Parbr yx,使 P 共面向量定理的推论： 5空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量(2) 空间向量基本定理：如果，三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量，存在一个唯一arbrcr P的有序实数组，使 zyx,空间向量基本定理的推论：设，是不共面的的四点，则对空间中任意一点，都存在唯一OABCP的有序实数组，使 zyx,6空间向量的数量积 (1) 空间向量的夹角： (2) 空间向量的长度或模：
4、 (3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量、，则、 arbrar a b u u rr g空间向量的数量积的常用结论：(a) ； cos, a br r(b) ；2ar(c) abrr(4) 空间向量的数量积的运算律：(a) 交换律 ； a b u u rr g(b) 分配律 ()a bcu u r rrg7空间向量的坐标运算设，123( ,)aa a ar123( ,)bb b br(1) abrr(2) ar(3) a b u u rr g(4) ； /ab rr abrr(5) 设),(),(222111zyxBzyxA则 ， AB uuu rAB uuu r的中点的坐标为 AB
5、M三、三、 【范例导航范例导航】例例 1 1已知正方体中，点是侧面的中心，若，求1111ABCDABC DF11CDDC1AAyABxADAF的值.xy解：解：易求得0,21yxyx变式训练变式训练 1.1. 在平行六面体中，为与的交点，若，1111DCBAABCDMACBD11ABauuuu rr11ADbuuuu rr，则下列向量中与相等的向量是( )1A Acuuu rr1B Muuuu rA B11 22abcrrr11 22abcrrrCD11 22abcrrr11 22abcrrr解：解：A 【考点】考查空间向量基本定理给定空间向量一组基底，在空间中借助空间向量加减法表示所求向 量
6、例例 2.2. 已知四面体中， 分别是和的重心ABCDABCDACBDGH、ABCACD 求证：(1) ； (2) ADBC/GHBD证明：证明：(1) 因为，而ADBC0BCADABCD0CDAB0BDACBDAC0)()(DCBDBDABBCAD所以ADBC(2) 设各为和的中点欲证 GHBD，只需证，E、FBCCD/GHEFGHGAAHuuu ruu u ruuu r) 22()33EAAFEFuu u ruuu ruuu r变式训练变式训练 2 2：已知平行六面体，、分别为棱的中点1111DCBAABCDEFGHABCCCDDA和11111,求证：、四点共面EFGH解：解：CGHCHG
7、1HCGCuuu ruuuu r，1HCGFFCuuu ruuu ruuu u r GFFCFA112EFGFuuuu ruuu r所以共面，即点、共面EHEGEF,EFGH【考点】运用共面向量基本定理证明四点共面或线面平行例例 3.3. 如图，平行六面体中，过的平面与对角1AC13AEEAAFFD1 2AG G BEFG、线交于点，求的值1ACP1:AP PCDFAGBB1C1D1A1CEP解：解：设1ACmAP AFAEAGADAAABCBBBABAC234311111Q4323APmAGmAEmAFuuu ruuu ruuu ruuu r又四点共面，EFGPQ 、43213mmm3 19
8、m 1:3:16AP PC变式训练变式训练 3 3：已知空间四边形中，为的中点，为的中点，为的中点，为OABCMBCNACPOAQ的中点，若，求证OBABOCQNPM 证明：证明：法一：)(21OCOBOM)(21OCOAON)(21OCABOMPOPM)(21ABOCONQOQN0)(4122 ABOCQNPM故QNPM 法二：()()PMQNPQQMQMMN)(21OCAB)(21BAOC 0 )(4122ABOC【考点】向量数量积的考查，在处理问题上没有直接的数量积运算，可以借助向量的加法法则转化成已 知向量的模长及夹角的关系在进行向量数量积运算关键找出已知向量及夹角例例 4.4. 若，
9、(1,5, 1)a r( 2,3,5)b r（1）若，求实数的值；()/(3 )kababrrrrk（2）若，求实数的值；()(3 )kababrrrrk（3）若取得最小值，求实数的值bakk解：解：(1)； (2)； (3)31k3106k8 27k 变式训练变式训练 4.4. 已知为原点，向量，求O3,0,1 ,1,1,2 ,OAOBOCOA BC uu u ruuu ruuu ruu u r uuu rOAuu u rACuuu r解：解：设，, ,1,1,2OCx y zBCxyzuuu ruuu r， ，,OCOA BCuuu ruu u r uuu rQOAuu u r0OC OA
10、uuu r uu u rBCOARuuu ruu u r，即30,1,1,23,0,1xzxyz30, 13 , 10, 2.xz x y z 解此方程组，得。7211,1,101010xyz ，。721,1,1010OC uuu r3711,1,1010ACOCOA uuu ruuu ruu u r【考点】考查空间向量平行或垂直的坐标表示，并进行简单的运算 四、四、 【解法小结解法小结】 对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问 题；(5) 探索性问题 运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势用空间向量解题的关键步骤是把所求向
11、量用某个合适 的基底表示本节主要是用基底表示，空间向量的加法减法的运算；向量的数量积的运算，当问题中没 有很好的建立空间直角坐标系的条件时，可以把问题转化为向量的数量积的运算，转化成向量及其夹角 的关系，如求异面直线所成的角，二面角，空间两点间的距离等问题；空间向量的坐标运算，就是适当 地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量 上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决在寻求向量间的数量关系时，一个基本的 思路是列方程，解方程 五、五、 【布置作业布置作业】 必做题：必做题：1已知向量，向量 与的夹角都是，且，abrrcr, a br
12、 r60o| 1,| 2,| | 3abcrrr试求：（1）；（2）；（3）2()abrr2(2)abcrrr(32 ) (3 )abbcrrrr2.已知线段 AB、BD 在平面内，BDAB，线段 AC，如果 AB=a,BD=b,AC=c,求 C、D 间的距离.3如图，在空间四边形中，OABCcab CABD，求与的夹角的余弦8OA 6AB 4AC 5BC 45OACo60OABoOABC值奎屯王新敞新疆【设计意图】设计这三道题是为了巩固本节课的内容，进一步让学生理解对于立体几何中的我们用常规方法解不出来的题（如线线垂直，线面垂直，异面直线的夹角问题）就可以向量的数量积求出来选做题：选做题：底
13、面为正三角形的斜棱柱中，为的中点，111ABCABCDAC求证：.11/ABC BD平面证明：证明：记1,ABa ACb AAcuuu rr uuu rr uuu rr则cbCCDCDCbaADABDBcaAB21,21,111, 共面.11DBDCacABuuu ruuuu rrruuur11,AB DB DCuuur uuu r uuuu r， .11BC BDQ平面11/ABC BD平面六、六、 【教后反思教后反思】1本节课是对空间向量与立体几何的第一节的复习，主要从空间向量基本定理，共面向量基本定理，数量积，与向量的坐标运算四个方面进行小结复习，四个例题四个练习，讲练结合，适合学生现状2但是对于本节的教案设计例题的选取有些没有充分体现知识点应用的精华，尤其数量积的题目的选取还有待修改ABCDA1C1B1
