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1、 13.1.1 空间向量及其运算空间向量及其运算学习目标 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法； 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及 它们的运算律； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立 体几何中的问题学习过程 一、课前准备 （预习教材 P84 P86，找出疑惑之处） 复习复习 1：平面向量基本概念： 具有 和 的量叫向量， 叫向量的 模（或长度） ； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， 的相反向量记着 . ar叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ， 和 共三种方法. 复习复习 2：平面向量有加减以及数乘向量运算： 1. 向量的加法和减法的运算法则有
2、法则 和 法则. 2. 实数与向量的积： 实数 与向量 a 的积是一个 量，记作 ，其 长度和方向规定如下：(1)|a| .(2)当 0 时，a 与 A. ； 当 0 时，a 与 A. ； 当 0 时，a . 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：abba 加法结合律：(ab)ca（bc） 数乘分配律：(ab)ab二、新课导学 学习探究 探究任务一：空间向量的相关概念空间向量的相关概念 问题问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量， 单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为 两个平面向量的加法
3、和减法运算，例如右图中， ，OB uuu rAB uuu r试试试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,.ab abrr rrab2. 点 C 在线段 AB 上，且,则5 2AC CB, .AC uuu rABuuu rBC uuu rABuuu r反思反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？ 加法交换律：加法交换律：A. + B. = B. + a； 加法结合律：加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)； 数乘分配律：数乘分配律：(A. + b) =A. +b 典型例题 例 1 已知平行六面体（如图） ，ABCDA B C D 化简下列向量表达式，并标
4、出化简结果的向量：ABBCuuu ruuu u r；ABADAAuuu ruuu u ruuuu r； 12ABADCCuuu ruuu u ruuuu r1()2ABADAAuuu ruuu u ruuuu r变式变式：在上图中，用表示和,AB AD AAuuu ruuu r uuu r,AC BDuuu u r uuu u r.DBuuu u r小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若 干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量 的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平 移使它们转化为首尾相接的向量 例例 2 化简下列各式： ; ABBCCAuuu ruuu ruu u r;AB
5、MBBOOMuuu ruuu ruuu ruuuu u r .;ABACBDCDuuu ruuu ruuu ruuu rOAODDCuuu ruuu ruuu r2变式变式：化简下列各式： ;OAOCBOCOuuu ruuu ruuu ruuu r ;ABADDCuuu ruuu ruuu r .NQQPMNMPuuu ruuu ruuu u ruuu r小结小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则 或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按 减法法则进行运算，加法和减法可以转化. 动手试试练练 1. 已知平行六面体, M 为 A CABCDA B C D1 与 B D 的交点，化简下列
6、表达式：111 ;111AAABuuu ruuuu r ;111111 22ABADuuuu ruuuu r 1111111 22AAABADuuu ruuuu ruuuu r .1111ABBCCCC AA Auuu ruuu ruuu u ruuuu ruuu r三、总结提升 学习小结 1. 空间向量基本概念； 2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的 平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共 同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相 同的长度” ，空间的平移包含平面的平移. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况
7、为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 下列说法中正确的是（ ）A. 若=，则，的长度相同，方arbrarbr向相反或相同;B. 若与是相反向量，则=;arbrarbrC. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形 ABCD 中，一定有.ABADACuuu ruuu ruuu r2. 长方体中，化简ABCDA B C D= AAABADuuuu ruuuu ruuuu u r3. 已知向量，是两个非零向量，是与，arbr00,a bu u r u u rar同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ br）A. B. 或0
8、0abu u ru u r00abu u ru u r00ab u u ru u rC. D. =01a u u r0ar0br4. 在四边形 ABCD 中，若,则四边形ACABADuuu ruuu ruuu r是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 5. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动 C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量课后作业 1.在三棱柱 ABC-ABC中，M,N 分别为 BC,BC的 中点，化简下列式子： + + AMuuuu rBNuuu rA Nuuuu rMC
9、uuuu r BBuuur2. 如图，平行六面体中，点为1111ABCDABC DM 与的的交点，ACBD，ABauuu rrADbuuu rr1A Acuuu rr则下列向量中与相等的是（ ）1B Muuuu rA. 11 22abcrrrB. 11 22abcrrrC. 11 22abcrrrD. 11 22abcrrr3.1.2 空间向量的数乘运算（一）空间向量的数乘运算（一）学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数 式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立3体几何中的问题学习过程 一、课前准备 （预习
10、教材 P86 P87，找出疑惑之处） 复习 1：化简： 5（）+4（） ；32abrr23barr . 63abcabc rrrrrr复习 2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量， 若是非零向量，则, a br rbr与平行的充要条件是 arbr二、新课导学 学习探究 探究任务一探究任务一：空间向量的共线空间向量的共线 问题问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判 定它们的位置关系？新知新知：空间向量的共线： 1. 如果表示空间向量的 所在的直 线互相 或 ，则这些向量叫共线向量， 也叫平行向量. 2. 空间向量共线：定理：定理：对空间任意两个向量（） ， 的, a br
11、r0b rr/abrr充要条件是存在唯一实数，使得 推论：推论：如图，l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量的直 线，对空间的任意一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是 试试试试：已知5 ,28 ,ABab BCab uuu rrr uuu rrr，求证: A,B,C 三点共线. 3CDabuuu rrr反思：充分理解两个向量共线向量的充要条件, a br r中的，注意零向量与任何向量共线.0b rr 典型例题 例 1 已知直线 AB，点 O 是直线 AB 外一点，若，且 x+y1，试判断 A,B,P 三点是OPxOAyOBuuu ruuu ruuu r否共线？变式变式：已知 A,B
12、,P 三点共线，点 O 是直线 AB 外一点，若，那么 t 1 2OPOAtOBuuu ruuu ruuu r例例 2 已知平行六面体，点 M 是ABCDA B C D 棱 AA 的中点，点 G 在对角线 A C 上，且CG:GA =2:1,设=，试用向量CDuuu rar,CBb CCcuuu u ruuu rrr表示向量., ,a b cr r r,CA CA CM CGuuu ruu u ruuuu r uuu r变式变式 1：已知长方体，M 是对角ABCDA B C D 线 AC 中点，化简下列表达式： ;AACBuuu ruuu r ABBCC Duuu u ruuuu ruuuu
13、r 111 222ADABA Auuu ruuu ruuu r变式变式 2：如图，已知不共线，从平面外, ,A B CABC任一点，作出点,使得：O, ,P Q R S22OPOAABACuuu ruuu ruuu ruuu r32OQOAABACuuu ruuu ruuu ruuu r32OROAABACuuu ruuu ruuu ruuu r.23OSOAABACuuu ruuu ruuu ruuu r4小结小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加 法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点， 并且要注意向量的方向. 动手试试 练练 1. 下列说法正确的是（ ）A. 向量与非零向量共线
14、，与共线，则arbrbrcr与 共线；arcrB. 任意两个共线向量不一定是共线向量； C. 任意两个共线向量相等；D. 若向量与共线，则. arbrabrr2. 已知，若32 ,(1)8amn bxmnrrrrrr0a rr，求实数 /abrr. x三、总结提升 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的 平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共 同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相 同的长度” ，空间的平移包含平面的平移. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 下列说法正确的是（
