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1、第十五章第十五章 多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性1 平面点集平面点集1设是平面点列，是平面上的点. 证明的充,nnnPxy000,Pxy0limnnPP 要条件是，且.0limnnxx 0limnnyy 2 设平面点列收敛，证明有界. nP nP3 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点：(1)；2,|Ex yyx(2)；22,|1Ex yxy(3)；,|0Ex yxy(4)；,|0Ex yxy(5)；,|02,222Ex yyyxy(6)；1,|sin,0Ex yyxx(7)；22,|10,01Ex yxyyx或(8).,| ,Ex yx y均为整
2、数4设是闭集，是开集，证明是闭集，是开集.FGF GG F 5证明开集的余集是闭集.6设是平面点集. 证明是的聚点的充要条件是中存在点列，满足E0PEE nP且.01,2,nPP nL0limnnPP 7用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理. 8用致密性定理证明柯西收敛原理. 9设是平面点集，如果集合的任一覆盖都有有限子覆盖，则称是紧集. 证明EEE 紧集是有界闭集.10设是平面上的有界闭集，是的直径，即E d EE. , sup, P PEd Er P P 求证：存在 ，使得.12,P PE 12,r P Pd E11仿照平面点集，叙述维欧氏空间中点集的有关概念 (如邻域、极限、开集、聚n
3、点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等). 12叙述并证明三维空间的波尔察诺魏尔斯特拉斯致密性定理.2 多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性1叙述下列定义：(1) ；0 0lim, xx yyf x y (2) ；lim, x yf x yA (3) ；lim, xa yf x yA (4) .lim, xa yf x y 2求下列极限（包括非正常极限）：(1) ；220 0lim x yxy xy (2) ；33220 0sinlim x yxyxy (3) ；22220 0lim 11x yxyxy (4) ；220 01limsin x yxyxy (5) ；22220 0lim
4、ln x yx yxy (6) ； 0 0limcossinxyx yee xy (7) ；3 22420 0lim x yx y xy (8) ； 0 2sinlim x yxy x (9) ；221 0lnlimyx yxexy (10) ； 1 21lim2x yxy (11) ；440 01lim x yxy xy (12) ；22220 01lim x yxy xy (13) ；22limx yx yxye (14) .222limxx yxy xy 3讨论下列函数在点的全面极限和两个累次极限：0,0(1) ；222,xf x yxy(2) ； 11,sinsinf x yxyxy(
5、3) ； ,sinxyeef x yxy(4) ；22222,x yf x y x yxy (5) ；332,xyf x yxy(6) ；2233,x yf x yxy(7) ；422322232,xx yxyf x y xy (8) .44324,x yf x y xy 4叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理.5叙述并证明存在的柯西收敛准则.0 0lim, xx yyf x y 6试作出函数，使当时，,f x y00,x yxy(1) 全面极限和两个累次极限都不存在； (2) 全面极限不存在，两个累次极限存在但不相等； (3) 全面极限和两个累次极限都存在. 7讨论下列函数
6、的连续范围：(1) ； 221,f x y xy (2) ；1,sin sinf x yxy(3) ；,f x yxy(4) ；33,xyf x yxy(5) sin, 0,0, 0;xyyf x yyy (6) 222222sin, 0,0, 0;xyxyf x yxyxy (7) ；0, , xf x yyx 为无理数 为有理数(8) 2222222ln, 0, 0, 0;yxyxyf x y xy (9) .222222, 0, , (0)0, 0,pxxy xyf x ypxy 8若在某区域内对变量连续，对变量满足利普希茨条件，即对任意,f x yGxy和，有,x yG,x yG，,f x yf x yL yy其中为常数，求证在内连续.L,f x yG9证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理.10设二元函数在全平面上连续，求证：,f x y 22lim, xyf x yA (1) 在全平面有界；,f x y(2) 在全平面一致连续.,f x y11证明：若分别对每一变量和是连续的，并且对其中的一个是单调的，,f x yxy则是二元连续函数.,f x y12证明：若是有界闭域，是上的连续函数，则是闭区间.E,f x yE f E
